Теорема на Морера
Следващото твърдение е обръщане на локалната теорема на Коши и се нарича теорема на Морера.
Твърдение 1. Нека $f$ е непрекъсната функция в областта $D\subset\mathbb{C}$ и $fdz$ е локално точен диференциал в $D$. Тогава $f$ е холоморфна в $D$.
Доказателство. Всяка точка от $D$ има околност $U$, в която диференциалът $fdz$ има примитивна $F$, която е холоморфна функция в тази околност и $F’=f$ в $U$. От Твърдение 2 от Тема 19 имаме че $F’$ е холоморфна в $U$, което показва, че $f$ е холоморфна в $U$. Следователно $f$ е холоморфна във всяка точка от $D$.
Теорема на Вайерщрас
Като приложение на теоремата на Морера ще установим следната теорема на Вайерщрас за равномерно сходящи редици от холоморфни функции.
Твърдение 2. Нека $D\subset\mathbb{C}$ е област и $\{f_j\}_{j=1}^{\infty}$ е равномерно сходяща върху всеки компакт $K\subset D$ редица от холоморфни функции. Тогава равномерната граница $f$ на тази редица е холоморфна функция в $D$ и за всяко $k\in\mathbb{N}$, редицата $\{f_j^{(k)}\}_{k=1}^{\infty}$ е равномерно сходяща върху всеки компкат $K\subset D$, и $\lim\limits_{j\to\infty}f_j^{(k)}=f^{(k)}$.
Доказателство. Функцията $f$ е непрекъсната в $D$, тъй като всяка точка от $D$ се съдържа в някой компакт $K\subset D$, върху който редицата от холоморфни (и следователно непрекъснати) функции е равномерно схояща (Твърдение 5 от Тема 13). Ще проверим, че $fdz$ е локално точен диференциал в $D$. Нека $a\in D$ и $r>0$ е такова, че $K(a,r)\subset D$. Тогава за всяко $h\in K(0,r)$, правоъгълникът $P_h$ с върхове $a,a+\Re h,a+i\Im h,a+h$ се съдържа в $K(a,r)$ и според Твърдение 6 от Тема 13 $$\int_{\partial P_h}fdz=\int_{\partial P_h}\lim\limits_{j\to\infty}f_jdz=\lim\limits_{j\to\infty}\int_{\partial P_h}f_jdz.$$ Тъй като за всяко $j\in\mathbb{N}$ функцията $f_j$ е холоморфна в $D$ и $P_h$ се свива в точка в $K(a,r)$, виждаме, че $\int_{\partial P_h}f_jdz=0$ (Твърдение 2 от Тема 18). Следователно $\int_{\partial P_h}fdz=0$, което показва, че $fdz$ е локално точен диференциал (Твърдение 1 от Тема 15). От теоремата на Морера (Твърдение 1) получаваме, че $f$ е холоморфна в $D$ и следователно $f$ има производни от произволен ред.
Нека $K\subset D$ е произволен компакт. От теоремата на Хайне-Борел (Твърдение 6 от Тема 4) виждаме, че $K$ може да се покрие с краен брой кръгове. Следователно, достатъчно е да покажем, че редицата $\{f_j^{(k)}\}_{k=1}^{\infty}$ е равномерно сходяща върху всеки затворен кръг, съдържащ се в $D$. Нека $a\in D$ и $r>0$ е такова, че $\overline{K(a,r)}\subset D$. Тогава за всяко $\delta\in(0,1)$ имаме $\overline{K(a,\delta r)}\subset D$ и ако $\gamma(t)=a+r\exp(2\pi i t)$, $t\in[0,1]$ и $z\in \overline{K(a,\delta r)}$, то за всяко $k\in\mathbb{N}$, според Твърдение 2 от Тема 19 имаме $$f^{(k)}(z)=\frac{k!}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f_j(\zeta)}{(\zeta-z)^{k+1}}d\zeta$$ и $$f_j^{(k)}(z)=\frac{k!}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f_j(\zeta)}{(\zeta-z)^{k+1}}d\zeta,\quad j\in\mathbb{N}.$$ Следователно $$\left|f_j^{(k)}(z)-f^{(k)}(z)\right|=\left|\frac{k!}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f_j(\zeta)-f(\zeta)}{(\zeta-z)^{k+1}}d\zeta \right|\leq\frac{k!}{2\pi }\int_{\gamma}\frac{|f_j(\zeta)-f(\zeta)|}{|\zeta-z|^{k+1}}|d\zeta|.$$ От равномерната сходимост, върху всеки компакт в $D$, на редицата $\{f_j\}_{j=1}^{\infty}$ виждаме, че за всяко $\varepsilon>0$ съществува $m\in\mathbb{N}$, такова че при $j>m$ неравенството $|f_j(z)-f(z)|<\varepsilon$ е изпълнено за всяко $z\in \overline{K(a,r)}$ и при $\zeta\in\gamma([0,1])$ имаме $|\zeta-z|\geq|\zeta-a|-|z-a|=r-|z-a|\geq r-\delta r=(1-\delta)r$. Следователно при $j>m$ имаме $$\left|f_j^{(k)}(z)-f^{(k)}(z)\right|<\frac{k!}{2\pi }\int_{\gamma}\frac{\varepsilon}{[(1-\delta)r]^{k+1}}|d\zeta|=\frac{k!\varepsilon 2\pi r}{2\pi (1-\delta)^{k+1}r^{k+1}}=\frac{\varepsilon k!}{(1-\delta)^{k+1}r^{k}}$$ за всяко $z\in \overline{K(a,\delta r)}$. Следователно редицата $\{f_j^{(k)}\}_{k=1}^{\infty}$ е равномерно сходяща върху $\overline{K(a,\delta r)}$.
Забележка. Да забележим, че Твърдение 2 не е вярно за диференцируеми функции на реална променлива. Например редицата $\{f_j\}_{j=1}^{\infty}$, където $f_j(x)=\frac{\sin jx}{j}$ е равномерно сходяща в $\mathbb{R}$ и нейната граница е тъждествено нула, обаче редицата $\{f_j’\}_{j=1}^{\infty}$ дори не е сходяща.
Да забележим още, че Твърдение 2 може да се формулира, и остава в сила, за аналитични функции на комплексна променлива. От друга страна горният пример ни показва, че това твърдение не е вярно за аналитични функции на реална променлива. Това е забележително явление, тъй като резултатите, които са в сила за холоморни функции, и които не са верни за диференцируеми функции, обикновено са резултати валидни за аналитични функции. В този случай обаче се натъкваме на една съществена разлика между аналитичните функции на реална и комплексна променлива.