Топология в множеството на комплексните числа

Определение 1. Нека $X$ е произволно множество и $\tau$ съвкупност от подмножества на $X$. Казваме, че $\tau$ е топология в $X$, ако
1) $X\in\tau$ и $\emptyset\in\tau$,
2) ако $U\in\tau$ и $V\in\tau$, то $U\cap V\in\tau$,
3) ако $\sigma\subset\tau$, то $\cup\sigma\in\tau$.
Ако $\tau$ е топология в $X$, двойката $(X,\tau)$ се нарича топологично пространство, елементите на $X$ се наричат точки, а елементите на $\tau$ се наричат отворени множества в $X$.

Определение 2. Казваме, че топологичното пространство $(X,\tau)$ е хаусдорфово (или че $\tau$ е хаусдорфова топология), ако за всеки две различни точки $a,b\in X$ съществуват $U,V\in\tau$, такива че $a\in U$, $b\in V$ и $U\cap V=\emptyset$.

Упражнение 1. Нека $X$ е произволно множество. Проверете, че
а) $\{Y|Y\subset X\}$ е хаусдорфова топология в $X$ (нарича се дискретна топология),
б) $\{\emptyset, X\}$ е топология в $X$, която не е хаусдорфова (нарича се антидискретна топология).

Забележка. Когато в едно множество $X$ е зададена топология, може да се дефинира понятието сходяща редица. Редица в множество $X$ се нарича всяко изображение от $\mathbb{N}$ към $X$. Казваме, че редицата $a:\mathbb{N}\to X$ е сходяща, ако съществува елемент $\alpha\in X$, такъв че за всяко отворено множество $U$ в $X$, за което $\alpha\in U$, съществува $m\in\mathbb{N}$, такова че за всички $n\in\mathbb{N}$, за които $n>m$ е вярно $a_n\in U$.

Упражнение 2. Да се определи кои редици са сходящи в дискретната и антидискретната топология на дадено множество $X$.

Твърдение 1. Нека $\tau$ е съвкупност от подмножества на $\mathbb{C}$, която се определя по следния начин: $U\in \tau$ тогава и само тогава, когато за всяко $a\in U$ съществува $\delta>0$ такова, че за всяко $z\in\mathbb{C}$, за което $|z-a|<\delta$ е вярно, че $z\in U$. Тогава $\tau$ е топология в $\mathbb{C}$ (която се нарича стандартна).
Доказателство.
1) Ясно е, че $\emptyset$ и $\mathbb{C}\in\tau$,
2) Ако $U,V\in\tau$, и $U\cap V=\emptyset$, то $U\cap V\in\tau$. Ако $U\cap V\neq\emptyset$, нека $a\in U\cap V$. Тъй като $a\in U$ съществува $r>0$, такова че за всяко $z\in\mathbb{C}$, за което $|z-a|<r$ е вярно, че $z\in U$. Също така, тъй като $a\in V$ съществува $t>0$, такова че за всяко $z\in\mathbb{C}$, за което $|z-a|<t$ е вярно, че $z\in V$. Следователно за всяко $z\in\mathbb{C}$, за което $|z-a|<\min\{r,t\}$ е вярно, че $z\in U\cap V$, т. е. $U\cap V\in\tau$.
3) Нека $\sigma\subset\tau$. Ако $\sigma=\emptyset$, то $\cup\sigma=\emptyset$ и следователно $\cup\sigma\in\tau$. Ако $\cup\sigma\neq\emptyset$ нека $a\in\cup\sigma$. Тогава съществува $U\in\sigma$, такова че $a\in U$. Следователно съществува $r>0$, такова че за всяко $z\in\mathbb{C}$, за което $|z-a|<r$ е вярно, че $z\in U$ и тъй като $U\subset\cup\sigma$, имаме че $z\in\cup\sigma$. Следователно $\cup\sigma\in \tau$. Следователно $\tau$ е топология в $\mathbb{C}$.

Забележка. В целия курс ще разглеждаме $\mathbb{C}$ като топологично пространство само със стандартната топология.

Твърдение 2. Нека $a\in\mathbb{C}$ и $r>0$. Тогава множеството $K(a,r)=\{z\in\mathbb{C}||z-a|<r\}$ (кръг с център $a$ и радиус $r$) е отворено в $\mathbb{C}$.
Доказателство. Нека $b\in K(a,r)$. Тогава за всяко $z\in\mathbb{C}$, за което $|z-b|<r-|b-a|$ е вярно, че $z\in K(a,r)$. Действително $|z-a|=|(z-b)+(b-a)|\leq|z-b|+|b-a|<r-|b-a|+|b-a|=r$. Следователно $K(a,r)$ е отворено.

Твърдение 3. Стандартната топология в $\mathbb{C}$ е хаусдорфова.

Доказателство. Нека $a,b\in\mathbb{C}$, $a\neq b$ и $r=\frac{1}{2}|b-a|$. Тогава $K(a,r)$ и $K(b,r)$ са отворени множества (Твърдение 2), за които $a\in K(a,r)$, $b\in K(b,r)$ и $K(a,r)\cap K(b,r)=\emptyset$. Действително, ако $K(a,r)\cap K(b,r)\neq\emptyset$ и $c\in K(a,r)\cap K(b,r)$, то $|c-a|<\frac{1}{2}|b-a|$ и $|c-b|<\frac{1}{2}|b-a|$. Следователно $|c-a|+|c-b|<\frac{1}{2}|b-a|+\frac{1}{2}|b-a|=|b-a|\leq|b-c|+|c-a|$, което е противоречие.

Упражнение 3. Дайте примери на подмножества на $\mathbb{C}$, които не са отворени.

Определение 3. Некa $(X,\tau)$ е топологично пространство и $A\subset X$. Казваме, че $A$ е затворено в $X$, ако $X\setminus A\in \tau$.

Упражнение 4. Покажете, че ако $(X,\tau)$ е топологично пространство, то 1) $\emptyset$ и $X$ са затворени множества, 2) ако $U,V$ са затворени, то $U\cup V$ е затворено, 3) ако $\sigma$ е непразна съвкупност от затворени множества, то $\cap\sigma$ е затворено.

Определение 4. Некa $(X,\tau)$ е топологично пространство, $A\subset X$ и $\sigma$ е съвкупност от подмножества на $A$ дефинирана по следния начин: $U\in \sigma$ тогава и само тогава, когато съществува $Y\in\tau$, такова че $U=A\cap Y$. От основните свойства на операциите с множества следва, чв $\sigma$ е топология в $A$. Тази топология се нарича индуцирана (от $\tau$) топология върху $A$, а нейните елементи се наричат отворени множества в $A$.

Упражнение 5. Некa $(X,\tau)$ е топологично пространство и $A\subset X$. Покажете, че всяко затворено множество в $A$ е сечение на $A$ със затворено множество в $X$.
Решение. Нека $U\subset A$ е затворено множество в $A$, тогава $A\setminus U$ е отворено в индуцираната топология върху $A$. Следователно съществува $V\in\tau$, такова че $A\setminus U=A\cap V$. Следователно $U=A\setminus(A\setminus U)=A\setminus(A\cap V)=A\setminus V=A\cap(X\setminus V)$. Множеството $X\setminus V$ е затворено в $X$, тъй като $X\setminus(X\setminus V)=V\in\tau$.

Определение 5. Нека $(X,\tau)$ е топологично пространство и $A\subset X$. Сечението на всички затворени множества, които съдържат $A$ се нарича затворена обвивка на $A$ и се означава с $\overline{A}$. Обединението на всички отворени множества, които се съдържат в $A$ се нарича вътрешност на $A$ и се означава с $int A$. Елементите му се наричат вътрешни точки на $A$. Допълнението на вътрешността на $A$ до затворената обвивка на $A$ се нарича граница на $A$ и се означава с $\partial A$. Елементите на границата на $A$ се наричат гранични точки на $A$. Вътрешността на $X\setminus A$ се нарича външност на $A$ и се означава с $\text{ext }A$, и елементите му се наричат външни точки на $A$. Всяко отворено множество, което съдържа $A$ се нарича околност на $A$.

Упражнение 6. Нека $a\in\mathbb{C}$ и $r>0$. Определете вътрешността, външността, затворената обвивка и границата на множествата $\mathbb{C}$, $K(a,r)$, $K(a,r)\setminus\{a\}$, $\mathbb{C}\setminus\{a\}$.

Затворени, ограничени и компактни множества в $\mathbb{C}$

Твърдение 4. Нека $A\subset\mathbb{C}$. Тогава следните условия са еквивалентни:
а) $A$ е затворено множество в $\mathbb{C}$
б) границата на всяка сходяща редица от елементи на $A$ е елемент на $A$.
Доказателство. Нека е изпълнено условие a) т. е. $A$ е затворено множество в $\mathbb{C}$ и нека $z:\mathbb{N}\to A$ е сходяща редица с граница $a\in\mathbb{C}$. Ако допуснем, че $a\in \mathbb{C}\setminus A$, то съществува $r>0$, такова че $K(a,r)\subset\mathbb{C}\setminus A$, и тъй като $\lim z=a$, съществува $m\in\mathbb{N}$, такова че за всяко $n>m$ е вярно неравенството $|z_n-a|<r$, т. е. $z_n\notin A$ при $n>m$, което е противоречие. Следователно $a\in A$, т. е. изпълнено е условие б).
Нека е изпълнено условие б) и да допуснем, че $A$ не е затворено, т. е. че $\mathbb{C}\setminus A$ не е отворено в $\mathbb{C}$. Тогава съществува точка $a\in\mathbb{C}\setminus A$, такава че за всяко $n\in\mathbb{N}$, съществува $z_n\in\mathbb{C}\setminus(\mathbb{C}\setminus A)=A$, за което $|z_n-a|<\frac{1}{n}$. Нека $\varepsilon>0$. Тогава съществува $m\in\mathbb{N}$, такова че $\frac{1}{m}<\varepsilon$. Следователно за всяко $n>m$ е вярно неравенството $|z_n-a|<\frac{1}{n}<\frac{1}{m}<\varepsilon$, което показва, че редицата $(z_n)_{n=1}^{\infty}$ от елементи на $A$ е сходяща и $\lim z_n=\alpha$. Следователно $a\in A$, което е противоречие. Следователно $A$ е затворено в $\mathbb{C}$, т. е. изпълнено е условие а).

Забележка. Твърдение 1 показва, че затворените множества в $\mathbb{C}$ са тези, които съдържат границите на всички свои сходящи редици.

Упражнение 7. Покажете, че $\mathbb{N}$ е затворено множество в $\mathbb{C}$.

Упражнение 8. Дайте пример на подмножество на $\mathbb{C}$, което е нито отворено нито затворено.
Забележка. Оказва се, че повечето подмножества на $\mathbb{C}$ са нито отворени, нито затворени. Отворените и затворените множества са множества с добри свойства. Причината да разглеждаме подмножества на $\mathbb{C}$ е, че по-нататък ще се интересуваме от функции, дефинирани върху такива подмножества, тъй като не е достатъчно да се разглеждат само функции дефинирани върху цялото $\mathbb{C}$. Ще се убедим, че свойствата на функциите зависят от множествата, върху които те са дефинирани, и че свойствата на функциите, дефинирани върху отворени или затворени множества, силно се различават.

Определение 6. Казваме, че множеството $A\subset\mathbb{C}$ е ограничено, ако съществува реално число $r>0$, такова, че $A\subset K(0,r)$. Ако $A$ е ограничено, то съществува числото $\sup\{|z-w||z,w\in A\}$ (защо?), което се нарича диаметър на $A$ и се означава с $\text{diam }U$.

Упражнение 9. Нека $K=[a,b]\times[c,d]$, където $a<b$ и $c<d$. Пресметнете $\text{diam }K$.

Следващата теорема на Кантор има важни приложения в анализа.
Твърдение 5. Нека $\{K_j|j\in\mathbb{N}\}$ е съвкупност от непразни, ограничени и затворени множества в $\mathbb{C}$, за която $K_{j+1}\subset K_j$, за всяко $j\in\mathbb{N}$ и $\text{diam }K_j\to 0$ при $j\to\infty$. Тогава съществува $a\in \mathbb{C}$, такова че $\bigcap_{j\in\mathbb{N}}K_j=\{a\}$.
Доказателство. Нека $z_j\in K_j$, $j\in\mathbb{N}$. Тогава за всяко $p\in\mathbb{N}$ имаме $z_{j+p}\in K_j$. Тъй като $\text{diam }K_j\to 0$ при $j\to\infty$, за всяко $\varepsilon>0$, съществува $m\in\mathbb{N}$, такова че при $j>m$ имаме $\text{diam }K_j<\varepsilon$. Следователно при $j>m$ и $p\in\mathbb{N}$ имаме $|z_{j+p}-z_j|\leq \text{diam }K_j<\varepsilon$, което показва, че редицата $(z_j)_{j=1}^{\infty}$ е фундаментална. Тъй като в $\mathbb{C}$ всяка фундаментална редица е сходяща (Твърдение 6 от Тема 2), съществува $a\in\mathbb{C}$, такова че $z_j\to a$. От друга страна, за всички $j\in\mathbb{N}$, редицата $(z_{p+j})_{p\in\mathbb{N}}$ е сходяща с граница $a$. Тъй като $K_j$ е затворено множество, то съдържа границите на всички свои сходящи редици (Твърдение 1). Следователно $a\in \bigcap_{j\in\mathbb{N}}K_j$. Ако $b\in\bigcap_{j\in\mathbb{N}}K_j$, то за всяко $j\in\mathbb{N}$ имаме $|a-b|\leq\text{diam }K_j$. В частност при $j>m$ имаме $|a-b|\leq\text{diam }K_j<\varepsilon$, откъдето $a=b$. Следователно $\bigcap_{j\in\mathbb{N}}K_j=\{a\}$.

Определение 7. Нека $(X,\tau)$ е топологично пространство и $\sigma\subset\tau$. Казваме, че $\sigma$ е отворено покритие на $X$, ако $\cup\sigma=X$. Ако $\sigma$ е отворено покритие на $X$, $\xi\subset\sigma$ и $\cup\xi=X$, казваме, че $\xi$ e отворено подпокритие на $\sigma$.

Определение 8. Казваме, че топологичното пространство $(X,\tau)$ е компактно, ако за всяко отворено покритие на $X$ съществува крайно подпокритие. Казваме, че множеството $K\subset X$ е компактно, ако пространството $(K,\sigma)$, където $\sigma$ е индуцираната топология върху $K$, е компактно.

Следващото твърдение ни дава още две еквивалетни описания на компактните множества в $\mathbb{C}$.

Твърдение 6. Нека $K\subset\mathbb{C}$. Тогава следните условия са екивалентни:
а) $K$ е компактно,
б) $K$ е ограничено и затворено в $\mathbb{C}$,
в) За всяка редица от елементи на $K$ съществува сходяща подредица с граница в $K$.
Забележка. Еквивалентността на условията а) и б) е известна като теорема на Хайне-Борел и тя не е вярна във всяко топологично пространство!
Доказателство. Ще покажем, че условията а) и б) са еквивалентни, след което ще видим, че б) и в) са еквивалентни.
Нека е изпълнено улсовие a) т. е. $K$ е компактно. Ако допуснем, че $K$ не е ограничено, то $\{K(0,n)\cap K|n\in\mathbb{N}\}$ е отворено покритие на $K$, за което не съществува крайно подпокритие, което противоречи на а). Следователно $K$ е ограничено. За да докаже, че $K$ е затворено, ще покажем, че $\mathbb{C}\setminus K$ е отворено. За целта ще използваме, че стандартната топология на $\mathbb{C}$ е хаусдорфова (Твърдение 3). Нека $a\in\mathbb{C}\setminus K$. Тогава за всяко $z\in K$ съществуват отворени множества $U_z,V_z\subset\mathbb{C}$, такива че $z\in U_z$, $a\in V_z$ и $U_z\cap V_z=\emptyset$. Нека $\sigma=\{U_z\cap K|z\in K\}$. Тогава $\sigma$ е отворено покритие на $K$ и тъй като $K$ е компактно, съществува крайно подпокритие $\{U_{z_j}\cap K|j\in\{1,\ldots,n\}\}\subset\sigma$.
Нека $V=\cap_{j=1}^nV_{z_j}$. Тогава $V$ е отворено множество в $\mathbb{C}$, $a\in V$ и $V\subset\mathbb{C}\setminus K$. Действително, ако съществува $z\in V\cap K$, то съществува $j\in\{1,\ldots,n\}$, такова че $z\in U_{z_j}\cap K\subset U_{z_j}$ и $z\in V\subset V_{z_j}$, т. е. $z\in U_{z_j}\cap V_{z_j}$, което е противоречие, тъй като $U_{z_j}\cap V_{z_j}=\emptyset$. Следователно $\mathbb{C}\setminus K$ е отворено, т. е $K$ е затворено.
Нека е изпълнено условие б) и да допуснем, че съществува отворено покритие $\sigma$ на $K$, за което всяко подпокритие не е крайно. Тъй като $K$ е ограничено множество, съществува затворен квадрат $Q=[a,b]\times[c,d]$ ($a<b$, $c<d$, $b-a=d-c$), такъв че $K\subset Q$. Разделяме $Q$ на четири затворени квадрата, прокарвайки средите на страните му, т. е. представяме $Q$ както обединение на затворени квадрати в следния вид: $$Q=\left(\left[a,\frac{a+b}{2}\right]\cup \left[\frac{a+b}{2},b\right]\right)\times\left(\left[c,\frac{c+d}{2}\right]\cup \left[\frac{c+d}{2},d\right]\right)=$$$$=\left(\left[a,\frac{a+b}{2}\right]\times\left[c,\frac{c+d}{2}\right]\right)\cup \left(\left[a,\frac{a+b}{2}\right]\times\left[\frac{c+d}{2},d\right]\right)\cup$$$$\cup\left(\left[\frac{a+b}{2},b\right]\times\left[c,\frac{c+d}{2}\right]\right)\cup\left(\left[\frac{a+b}{2},b\right]\times\left[\frac{c+d}{2},d\right]\right).$$ Тогава сечението на поне един от тези квадрати с $K$ не се покрива с краен брой елементи на покритието $\sigma$, (иначе $\sigma$ има крайно подпокритие). Нека $Q_1$ е един от тези квадрати. Тогава $\text{diam }Q_1=\frac{1}{2}\text{diam }Q$. Да разделим $Q_1$ по същия начин, както $Q$, на четири затворени квадрата. Тогава сечението на поне един от тях с $K$ не се покрива с краен брой елементи на $\sigma$ и т. н. Получаваме съвкупност $\{Q_j|j\in\mathbb{N}\}$ от ограничени и затворени множества, за които $Q_{j+1}\subset Q_j$, $\text{diam }Q_{j+1}=\frac{1}{2}\text{diam }Q_j$ (т. е. $\text{diam }Q_j=2^{-j}\text{diam }Q\to 0$) и $Q_j\cap K$ не се покрива с краен брой елементи на $\sigma$. От теоремата на Кантор (Твърдение 5), съществува $a\in\mathbb{C}$, такова че $\cap_{j\in\mathbb{N}}Q_j=\{a\}$. При това $a$ е граница на сходяща редица от елементи на $K$. От затвореността на $K$ следва, че $a\in K$ (Твърдение 4). Тъй като $K=\cup\sigma$, съществува $A\in\sigma$, такова че $a\in A$. Понеже $A$ е отворено в $K$, съществува $\delta>0$, такова че $K(a,\delta)\cap K\subset A$. Тъй като $\text{diam }Q_j\to 0$, съществува $m\in\mathbb{N}$, такова че $\text{diam }Q_m<\delta$. Следователно $Q_m\cap K\subset A$, т. е. сечението на $Q_m$ с $K$ се покрива с един елемент на $\sigma$, което е противоречие. Следователно $K$ е компактно, т. е. изпълнено е условие а).
Нека е изпълнено условие б), т. е. $K$ е затворено и ограничено. Тогава всяка редица от елементи на $K$ е ограничена и според теоремата на Вайерщрас (Твърдение 3 от Тема 2) тя има сходяща подредица, чиято граница е елемент на $K$, тъй като $K$ е затворено (Твърдение 4). Следователно е изпълнено условие в). Нека е изпълнено условие в) и $a:\mathbb{N}\to K$ е сходяща редица с граница $\alpha\in \mathbb{C}$. Тогава тя има сходяща подредица $b$, с граница в $K$. Тъй като всяка подредица на сходяща редица е също сходяща и клони към същата граница (Твърдение 2 а) от Тема 2) виждаме, че $\alpha\in K$, т. е. $K$ е затворено. Ако допуснем, че $K$ не е ограничено множество, то за всяко $n\in\mathbb{N}$, съществува $a_n\in K$, такова че $|a_n|\geq n$. Тогава всяка подредица на редицата $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ е неограничена, което противоречи на в).

Свързани множества

Определение 9. Казваме, че топологичното пространство $(X,\tau)$ е свързано, ако $X$ не може да се представи като обединение на две непразни, непресичащи се отворени подмножества, т. е. не съществуват $U,V\in\tau$, такива че $U\cap V=\emptyset$ и $X=U\cup V$. Казваме, че множеството $A\subset X$ е свързано, ако топологичното пространство $(A,\sigma)$, където $\sigma$ е индуцираната топология върху $A$, е свързано. Всяко отворено и свързано множество в $X$ се нарича област.

Твърдение 7. Нека топологичното пространство $(X,\tau)$ е свързано. Тогава $X$ и $\emptyset$ са единствените едновременно отворени и затворени множества в $X$.
Доказателство. Нека $Y\subset X$ е едновременно отворено и затворено множество в $X$ и $Y\notin\{\emptyset, X\}$. Тогава $X\setminus Y\notin\{\emptyset, X\}$, $Y\in\tau$, $X\setminus Y\in\tau$, $Y\cap (X\setminus Y)=\emptyset$ и $X=Y\cup(X\setminus Y)$. Следователно $(X,\tau)$ не е свързано, което е противоречие.

Упражнение 10. Покажете, че
а) $K(a,r)$ ($a\in\mathbb{C}$, $r>0$) е област, б) $\mathbb{C}$ е област.
Упътване. Допуснете противното и използвайте, че всеки две различни точки могат да се съединят с отсечка, която се съдържа изцяло в множеството.

Упражнение 11. Докажете, че ако два отворени кръга се пресичат, то сечението им е област.

Упражнение 12. Всяко отворено множество в $\mathbb{C}$ е обединение на най-много изброимо много области.

назад