Основи на математиката
Курсът представлява систематично въведение в математиката, основано само на аксиоми от теория на множествата. Макар и този курс да е твърде абстрактен, за разбирането му не са необходими никакви предварителни сведения, освен умение за правене на логически изводи. Всички понятия свързани с езика на математиката, като релации, функции, наредби и др. се дефинират предварително и се разглеждат основните им свойства. Постепенно и последователно се изгражда теорията на естествените, целите, рационалните и реалните числа, като междувременно се дефинират и показват свойства на алгебрични обекти, като групи, пръстени и полета. Курсът е подходящ за студентите, които имат желание да си изяснят напълно теорията, която обикновено се предполага за известна от училищните курсове (без точна обосновка) и същевременно да изградят стабилна основа за разбиране на други математически дисциплини, като теория на множествата, висша алгебра, линейна алгебра, математически анализ, теория на числата, дискретна математика и др.
Линейна алгебра и аналитична геометрия (ЛААГ)
Видео курсът се състои от записи на семинарните занятия, проведени през зимния семестър на учебната 2021/2022 година, със студентите от ФЗФ (ККТФ, Ф и ФМ), с хорариум 60 часа лекции и 60 часа упражнения, което го прави най-разширения курс по ЛААГ в България. Една особеност на курса, е, че аналитичната геометрия се построява изцяло на база линейната алгебра, а действията с геометрични вектори се разглеждат само за онагледяване на ситуации в частния вариант на геометрията в равнината и в пространството. Задачите, които се разглеждат по линейна алгебра обхващат темите комплексни числа, системи от линейни уравнения, матрични уравнения, векторни пространства и подпространста, дуални пространства и дуални базиси, базиси на сума и сечение на подпространства, евклидови и унитарни пространства, детерминанти, линейни изображения, линейни оператори в евклидови и унитарни пространства, квадратични форми. Задачите, които се разглеждат по аналитична геометрия са върху темите: линейни многообразия, взаимни положения на линейни многообразия, задачи от АГ в равнината и пространството, криви, повърхнини и хиперповърхнини от втора степен, в афинни и евклидови пространства. Изложението е систематично и не предполага почти никакви предварителни знания.
Комплексен анализ
Курсът представлява систематично въведение в класическия комплексен анализ. Въвежда се полето на комплексните числа, което геометрично се интерпретира, като реална евклидова равнина. Разширяват се основните понятия от реалния анализ като, редици редове, граница на функция, непрекъснатост и диференцируемост. Разглежда връзката на тези понятия с анализа на функции на две реални променливи. Това позволява да се направят много изводи от геометричен характер и да се свържат холоморфните функции (основният обект в комплексния анализ) с конформните изображения в реалната равнина. Изучават се основните елементарни функции, трансформациите на Мьобиус и свързаните с тях конформни изображения. Разглеждат се степенните редове, чрез които се въвеждат аналитичните функции и се установяват редица техни свойства. Теорията на интегрирането се развива с помощта на основните резултати за криволинейни интеграли от втори род, което позволява лесно да се получат удобни еквивалентни формулировки на теоремата на Коши (централният резултат в комплексния анализ). Най-важното следствие е формулата на Коши, чрез която се установява аналитичността на холоморфните функции. Това свойство на свой ред води до много следствия с фундаментално значение, сред които теоремата на Лиувил и основната теорема на алгебрата. Междувременно се установяват и други важни резултати за комплексния анализ, като хармоничност на холоморфните функции, принцип за максимума и лема на Шварц. В последната част на курса се разглеждат редовете на Лоран, чрез които се изяснява поведението на холоморфните функции в близост до изолираните особени точки, и чрез които се развива теорията на резидуумите в разширената комплексна равнина. Основния резултат – теоремата за резидуумите, се прилага за установяване на още няколко важни резултата, като принципа за аргумента, теоремата на Руше и принципа за запазване на областите. Накрая се разглеждат основните геометрични свойства на дробно-линейните функции (трансформациите на Мьобиус) и се описват групите от холоморфни автоморфизми на основните канонични области – равнината, разширената равнина и единичния кръг.