Интегриране на комплексни функции

Определение 1. Казваме, че функцията $f:[\alpha,\beta]\to\mathbb{C}$ е интегруема в интервала $[\alpha,\beta]$, ако $\Re f$ и $\Im f$ са интегруеми в този интервал. Ако $f$ е интегруема в интервала $[\alpha,\beta]$ и $a,b\in[\alpha,\beta]$, дефинираме $$\int_a^bf(x)dx=\int_a^b\Re f(x)dx+i\int_a^b\Im f(x)dx.$$

Забележка. Напомняме, че ако $f:[\alpha,\beta]\to\mathbb{R}$ е интегруема в интервала $[\alpha,\beta]$ и $a,b\in[\alpha,\beta]$, то по определение $\int_a^bf(x)dx$ е граница на редица от Риманови суми (или суми на Дарбу) при $a<b$, $\int_a^bf(x)dx=-\int_b^af(x)dx$, при $a>b$ и $\int_a^af(x)dx=0$.

Твърдение 1. Нека $f:[\alpha,\beta]\to\mathbb{C}$ и $g:[\alpha,\beta]\to\mathbb{C}$ са интегруеми функции в интервала $[\alpha,\beta]$, $a,b\in[\alpha,\beta]$ и $\lambda\in\mathbb{C}$. Тогава $f+g$ и $\lambda f$ са интегруеми в $[\alpha,\beta]$ и $$\int_a^bf(x)+g(x)dx=\int_a^bf(x)dx+\int_a^bg(x)dx$$ и $$\int_a^b\lambda f(x)dx=\lambda \int_a^bf(x)dx.$$
Доказателство. Съгласно Определение 1 и свойствата на определения интеграл от реално-значни функции имаме
$$\int_a^bf(x)+g(x)dx=\int_a^b\Re f(x)+i\Im f(x)+\Re g(x)+i\Im g(x)dx=\int_a^b\Re f(x)+\Re g(x)+i(\Im f(x)+\Im g(x))dx=$$$$=\int_a^b\Re f(x)+\Re g(x)dx+i\int_a^b\Im f(x)+\Im g(x)dx=\int_a^b\Re f(x)dx+\int_a^b\Re g(x)dx+i\left[\int_a^b\Im f(x)dx+\int_a^b\Im g(x)dx\right]=$$$$=\int_a^b\Re f(x)dx+i\int_a^b\Im f(x)dx+\int_a^b\Re g(x)dx+i\int_a^b\Im g(x)dx=\int_a^bf(x)dx+\int_a^bg(x)dx.$$
Аналогично
$$\int_a^b\lambda f(x)dx=\int_a^b(\Re\lambda+i\Im\lambda)(\Re f(x)+i\Im f(x))dx=\int_a^b(\Re\lambda \Re f(x)-\Im\lambda \Im f(x)+i[\Im\lambda \Re f(x)+\Re\lambda \Im f(x)]dx=$$$$=\int_a^b\Re\lambda \Re f(x)-\Im\lambda \Im f(x)dx+i\int_a^b\Im\lambda \Re f(x)+\Re\lambda \Im f(x)dx=$$$$=\Re\lambda\int_a^b \Re f(x)dx-\Im\lambda \int_a^b\Im f(x)dx+i\Im\lambda\int_a^b\Re f(x)dx+i\Re\lambda\int_a^b \Im f(x)dx=$$$$=(\Re\lambda+i\Im\lambda)\left(\int_a^b \Re f(x)dx+i\int_a^b\Im f(x)dx\right)=\lambda\int_a^bf(x)dx.$$

Твърдение 2. Ако $f:[a,b]\to\mathbb{C}$ е интеруема функция в интервала $[a,b]$ и $\{\{t_j\}_{j=0}^n\subset[a,b]|a=t_0<\ldots<t_n=b, n\in\mathbb{N}\}$ е разбиване на интервала $[a,b]$, то $$\int_a^bf(x)dx=\sum_{k=1}^n\int_{t_{k-1}}^{t_k}f(x)dx.$$
Доказателство. Следва от адитивните свойства на определения интеграл от реално-значни функции и Определение 1 $$\int_a^bf(x)dx=\int_a^b\Re f(x)dx+i\int_a^b\Im f(x)dx=\sum_{k=1}^n\int_{t_{k-1}}^{t_k}\Re f(x)dx+i\sum_{k=1}^n\int_{t_{k-1}}^{t_k}\Im f(x)dx=$$$$=\sum_{k=1}^n\left(\int_{t_{k-1}}^{t_k}\Re f(x)dx+i\int_{t_{k-1}}^{t_k}\Im f(x)dx\right)=\sum_{k=1}^n\int_{t_{k-1}}^{t_k}f(x)dx.$$

Забележка. От Определение 1 и свойствата на определения интеграл от реално-значни функции могат да се получат много други аналогични свойства на интегралите от комплексно-значни функции. Едно важно свойство, е, че всяка непрекъсната комплексно значна-функция е интегруема в даден интервал, тъй като нейните реална и имагинерна част са непрекъснати, а както е добре известно, непрекъснатите реално-значни функции са интегруеми.

Твърдение 3. Нека $f:[\alpha,\beta]\to\mathbb{C}$ e непрекъсната функция, а $\mu:[a,b]\to\mathbb{R}$ е непрекъснато- диференцируема функция, такава че $\mu([a,b])\subset[\alpha,\beta]$ и $\mu(a)=\alpha$, $\mu(b)=\beta$, тогава $$\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx=\int_a^bf(\mu(t))\mu'(t)dt$$
Доказателство. От Определение 1, Търдение 1 и теоремата за смяна на променливата в определените интеграли от реално-значни функции имаме
$$\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}\Re f(x)dx+i\int_{\alpha}^{\beta}\Im f(x)dx=\int_a^b\Re f(\mu(t))\mu'(t)dt+i\int_a^b\Im f(\mu(t))\mu'(t)dt=$$$$=\int_a^b\Re f(\mu(t))\mu'(t)dt+\int_a^bi\Im f(\mu(t))\mu'(t)dt=\int_a^b\Re f(\mu(t))\mu'(t)+i\Im f(\mu(t))\mu'(t)dt=$$$$=\int_a^b[\Re f(\mu(t))+i\Im f(\mu(t))]\mu'(t)dt=\int_a^bf(\mu(t))\mu'(t)dt.$$

Определение 2. Функцията $\mu:[a,b]\to\mathbb{C}$ се нарича частично диференцируема, ако тя е непрекъсната функция, за която съществуват разделяне $\{\{t_j\}_{j=1}^{n}\subset[a,b]|a=t_1<\ldots<t_{n+1}=b, n\in\mathbb{N}\}$ на $[a,b]$ и функция $g:[a,b]\to\mathbb{C}$, такива че $g(t)=\mu'(t)$ за всяко $t\in(t_{j},t_{j+1})$, $j\in\{1,\ldots, n\}$ и $g$ има едностранни граници във всяка точка $t\in[a,b]$.
Забележка. От Oпределение 2 следва, че $\mu$ има непрекъсната производна във всяка точка на $(a,b)\setminus\{t_2,\ldots,t_n\}$, а в точките $t_1,\ldots,t_{n+1}$, функцията $\mu’$ има едностранни граници, които съвпадат с едностранните граници на съответните диференчни частни на $\mu$. От друга страна, функцията $g$ може да приема произволни стойности в точките $t_1,\ldots,t_{n+1}$. Предвид Твърдение 2, виждаме че Твърдение 3 остава в сила и за частично диференцируема функция $\mu$.

Следващото твърдение е основна оценка, за интеграла на комплексно-значна функция.

Твърдение 4. Aко $f:[a,b]\to\mathbb{C}$ е интегруема функция, то $|f|$ е интегруема и $$\left|\int_a^bf(x)dx\right|\leq\int_a^b|f(x)|dx.$$
Доказателство. Да отбележим, че щом $f$ е интегруема, то и $|f|$ е интегруема, тъй като тя е композиция на непрекъсната от интегруема функция.
Ако $I=\int_a^bf(x)dx$ и $I=0$, то твърдението е тривиално. Ако $I\neq 0$, то $I=|I|\exp{(i\text{Arg }I)}$ и следователно $$|I|=I \exp{(-i\text{Arg }I)}=\Re(I \exp{(-i\text{Arg }I)})=\Re\left[\left(\int_a^bf(x)dx\right)\exp{(-i\text{Arg }I)}\right]=\Re\int_a^bf(x)\exp(-i\text{Arg }I)dx=$$$$=\int_a^b\Re[f(x)\exp{(-i\text{Arg }I)}]dx\leq\int_a^b|f(x)\exp{(-i\text{Arg }I)}|dx=\int_a^b|f(x)|dx.$$

Интегриране на редици от комплексни функции

Определение 3. Нека $M\subset\mathbb{C}$ е множество и $(f_k)_{k=1}^{\infty}$ е редица от комплексно-значни функции, дефинирани в $M$. Казваме, че редицата $(f_k)_{k=1}^{\infty}$ е равномерно сходяща в $M$, ако съществува такава функция $f:M\to\mathbb{C}$, че за всяко $\varepsilon>0$ съществува $m\in\mathbb{N}$, такова че за всяко $k>m$, неравенството $|f_k(z)-f(z)|<\varepsilon$ е изпълнено за всяко $z\in M$.
Забележка. От Определение 3 непосреднствено виждаме, че ако редицата $(f_k)_{k=1}^{\infty}$ е равномерно сходяща в $M$, то за всяко $z\in M$, редицата от комплексни числа $(f_k(z))_{k=1}^{\infty}$ е сходяща и $\lim\limits_{k\to\infty}f_k(z)=f(z)$. Следователно функцията $f$, с описаните в определението свойства, е единствена. Тя се нарича равномерна граница на редицата $(f_k)_{k=1}^{\infty}$. Да забележим, че ако за всяко $z\in M$, редицата от комплексни числа $(f_k(z))_{k=1}^{\infty}$ е сходяща и $\lim\limits_{k\to\infty}f_k(z)=f(z)$, от това не следва, че редицата $(f_k)_{k=1}^{\infty}$ е равномерно сходяща към $f$ в $M$. Например редицата $n\mapsto z^n$ не е равномерно сходяща в $K(0,1)$.

Твърдение 5. Нека $(f_k)_{k=1}^{\infty}$ е равномерно сходяща редица от непрекъснати комплексно-значни функции, дефинирани в непразно множество $M\subset\mathbb{C}$. Тогава равномерната граница $f$ на тази редица е непрекъсната в $M$.
Доказателство. Нека $z\in M$ и $(z_j)_{j=1}^{\infty}$ е редица от елементи на $M$, за която $z_j\to z$. От равномерната сходимост на редицата $(f_k)_{k=1}^{\infty}$ имаме, че за произволно $\varepsilon>0$ съществува $m\in\mathbb{N}$, такова че при $n>m$ са изпълнени неравенствата $|f_n(z)-f(z)|<\frac{\varepsilon}{3}$ и $|f_n(z_j)-f(z_j)|<\frac{\varepsilon}{3}$, за всяко $j\in\mathbb{N}$. От непрекъснатостта на всяка от функциите $f_n$, виждаме, че за всяко $n\in\mathbb{N}$ съществува $p\in\mathbb{N}$, такова че при $j>p$ е изпълнено $|f_n(z_j)-f_n(z)|<\frac{\varepsilon}{3}$. Следователно при фиксирано $n>m$ и произволно $j>p$ виждаме, че $$|f(z_j)-f(z)|=|(f(z_j)-f_n(z_j))+(f_n(z_j)-f_n(z))+(f_n(z)-f(z))|\leq$$$$\leq|f_n(z_j)-f(z_j)|+|f_n(z_j)-f_n(z)|+|f_n(z)-f(z)|<\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon.$$ Следователно $f$ е непрекъсната.

Твърдение 6. Нека $(f_k)_{k=1}^{\infty}$ е равномерно сходяща редица от непрекъснати комплексно-значни функции, дефинирани в компактен интервал $[a,b]$. Тогава равномерната граница $f$ на тази редица е непрекъсната в $[a,b]$ и $\int_a^bf(x)dx=\lim\limits_{k\to\infty}\int_a^bf_k(x)dx$
Доказателство. Непрекъснатостта на $f$ в $[a,b]$ следва от Твърдение 5. Нека $\varepsilon>0$. От равномерната сходимост на редицата $(f_k)_{k=1}^{\infty}$, съществува $m\in\mathbb{N}$ (независещо от $x$), такова че при $n>m$, неравенството $|f_n(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{b-a}$ е изпълнено за всяко $x\in[a,b]$. Тогава от Твърдение 4 имаме $$\left|\int_a^bf_k(x)dx-\int_a^bf(x)dx\right|=\left|\int_a^bf_k(x)-f(x)dx\right|\leq\int_a^b|f_k(x)-f(x)|dx<\frac{\varepsilon}{b-a}\int_a^bdx=\varepsilon.$$ Следователно $\lim\limits_{k\to\infty}\int_a^bf_k(x)dx=\int_a^bf(x)dx$.

Определение 4. Нека $(f_k)_{k=1}^{\infty}$ редица от комплексно-значни функции, дефинирани в непразно множество $M\subset\mathbb{C}$. Казваме, редът $\sum\limits_{k\geq 1}f_k$ е равномерно сходящ в $M$, ако редицата от частичните му суми $n\mapsto\sum_{k=1}^{n}f_k$ е равномерно сходяща в $M$.

Твърдение 7. (критериий на Вайерщрас)
Ако редът $\sum\limits_{k\geq 1}\alpha_k$ с неотрицателни членове е сходящ и $|f_k(z)|\leq\alpha_k$ за всяко $z\in M$, то редът $\sum\limits_{k\geq 1}f_k$ е равномерно сходящ в $M$.
Доказателство. Тъй като редът $\sum\limits_{k\geq 1}\alpha_k$ е сходящ, редицата от частичните му суми е фундаментална. Следователно за всяко $\varepsilon>0$ съществува такова $m\in\mathbb{N}$, че за всяко $n>m$ и всяко $p\in\mathbb{N}$ е изпълнено неравенството $$\left|\sum_{k=1}^{n+p}\alpha_k-\sum_{k=1}^{n}\alpha_k\right|=\left|\sum_{k=n+1}^{n+p}\alpha_k\right|=\sum_{k=n+1}^{n+p}\alpha_k<\varepsilon.$$ От неравенството $|f_k(z)|\leq\alpha_k$ виждаме, че за всяко $n>m$ и всяко $p\in\mathbb{N}$ неравенството $$\left|\sum_{k=n+1}^{n+p}f_k(z)\right|\leq\sum_{k=n+1}^{n+p}|f_k(z)|\leq\sum_{k=n+1}^{n+p}\alpha_k<\varepsilon$$ е изпълнено за всяко $z\in M$. Следователно редицата от частични суми на реда $\sum\limits_{k\geq 1}f_k(z)$ е фундаментална и предвид пълнотата на $\mathbb{C}$, тя сходяща за всяко $z\in M$. Следователно съществува функция $f:M\to\mathbb{C}$, такава че неравенството $\left|\sum\limits_{k=1}^nf_k(z)-f(z)\right|<\varepsilon$ е изпълнено за всяко $z\in M$ при $n>m$, т. е. редът $\sum\limits_{k\geq 1}f_k$ е равномерно сходящ в $M$.

Криви

Определение 5. Нека $D\subset\mathbb{C}$ е отворено множество. Крива в $D$ наричаме всяко непрекъснато изображение $\gamma:[a,b]\to D$ ($a<b$). Точките $\gamma(a),\gamma(b)\in D$ се наричат начало и край на $\gamma$. Кривата $\gamma$ се нарича затворена, ако $\gamma(a)=\gamma(b)$ и се нарича жорданова, ако $\gamma$ е инективно изображение в $(a,b)$. Множеството $\gamma([a,b])\subset D$ се нарича носител на кривата $\gamma$. Кривата $\gamma:[a,b]\to D$ се нарича гладка, ако функцията $\gamma$ е непрекъснато-диференцируема в $(a,b)$, а в $a,b$ има лява и дясна производна (които съвпадат съответно с дясната и лява граница на $\gamma’$ в тези точки). Кривата $\gamma:[a,b]\to D$ се нарича частично гладка, ако $\gamma$ е частично диференцируема функция. Казваме, че две (частично) гладки криви $\gamma_j:[a_j,b_j]\to D$, $j\in\{1,2\}$ са еквивалентни, ако съществува биективна (частично диференцируема) непрекъснато-диференцируема функция $\mu:[a_2,b_2]\to[a_1,b_1]$, чиято обратна функция е също (частично диференцируема) непрекъснато-диференцируема и $\gamma_2=\gamma_1\circ\mu$.

Забележка. От определението за частично гладка крива следва, че кривата $\gamma|_{[t_{j},t_{j+1}]}$ е гладка, за всички $j\in\{1,\ldots, n\}$. Също така всяка гладка крива е частично гладка.

Упражнение 1. Проверете, че релацията „еквивалентност на (частично) гладки криви“ е релация на еквивалентност.

Твърдение 8. Нека $D\subset\mathbb{C}$ е област и $z,w\in D$. Тогава съществува крива $\gamma:[a,b]\to D$, такава че $\gamma(a)=z$, $\gamma(b)=w$.
Доказателство.

Твърдение 9. Всяка гладка крива разделя локално равнината на две части. По-точно, ако $\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}$ е гладка крива и $t_0\in(a,b)$ е такова, че $\gamma'(t_0)\neq 0$, то съществуват $\delta>0$ и дифеоморфизъм $\alpha:K(t_0,\delta)\to \alpha(K(t_0,\delta))$, за който $d\alpha_{t_0}$ запазва ориентацията на $\mathbb{C}$ и такъв, че $\alpha(t)=\gamma(t)$ за всяко $t\in(t_0-\delta,t_0+\delta)$ и $$\alpha(K(t_0,\delta))\setminus\gamma((t_0-\delta,t_0+\delta))=\alpha(\{t+is\in K(t_0,\delta)|s>0\})\cup\alpha(\{t+is\in K(t_0,\delta)|s<0\}).$$
Доказателство. Нека $\gamma=\sigma+i\tau$. Можем да дефинираме $\alpha(t+is)=\gamma(t)+ is$, ако $\sigma'(t_0)>0$ и $\alpha(t+is)=\gamma(t)-is$, ако $\sigma'(t_0)<0$. Също така, можем да дефинираме $\alpha(t+is)=\gamma(t)-s$, ако $\tau'(t_0)>0$ и $\alpha(t+is)=\gamma(t)+s$, ако $\tau'(t_0)<0$. Във всички случаи, от теоремата за обратната функция, следва че $\alpha$ е дифеоморфизъм в някоя $\delta$ околност на точката $t_0+i0$, който удовлетворява условията на твърдението.
Да проверим това за случая $\sigma'(t_0)>0$. Очевидно $\alpha(t+is)=\gamma(t)+ is$ е непрекъснато-диференцируемо изображение в $$\{t+is|a< t<b, s\in\mathbb{R}\}$$ и $\alpha(t+i0)=\gamma(t)$ за всяко $t\in [a,b]$. От теоремата за обратната функция следва, че съществува $\delta>0$, такова че в интервала $(t_0-\delta,t_0+\delta)$, функцията $\sigma$ е обратима и има непрекъснато-диференцируема обратна функция $\sigma^{-1}$ в интервала $\sigma(t_0-\delta,t_0+\delta)$, съдържащ $\sigma(t_0)$. Тогава в областта $\alpha(K(t_0,\delta))$, която представлява околност на точката $\gamma(t_0)$, е дефинирана и непрекъснато-диференцируема обратната функция $$\alpha^{-1}(p+iq)=\sigma^{-1}(p)+i(q-\tau(\sigma^{-1}(p))).$$ Следователно $\alpha$ е дифеоморфизъм. Тъй като $d\alpha_{t_0}(h)=\gamma'(t_0)\Re h+i\Im h$, за $\det(d\alpha_{t_0})$ имаме $$\Im[(\gamma'(t_0)\Re h+i\Im h)\overline{(\gamma'(t_0)\Re k+i\Im k)}]=\Im(-i\gamma'(t_0)\Re h\Im k)+\Im(i\overline{\gamma'(t_0)}\Im h\Re k)=\sigma'(t_0)\Im(h\overline{k}),$$ т. е. $\det(d\alpha_{t_0})=\sigma'(t_0)>0$, което показва, че $d\alpha_{t_0}$ запазва ориентацията на $\mathbb{C}$. Последната част на твърдението е очевидна.

Забележка. Нека $\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}$ е гладка крива, $t_0\in (a,b)$ и $\gamma'(t_0)\neq 0$. Тогава е определена правата $\{\gamma(t_0)+t\gamma'(t_0)|t\in\mathbb{R}\}$, която се нарича допирателна към $\gamma$ в точката $\gamma(t_0)$. От Твърдение 9 следва, че всяка точка, в която кривата $\gamma$ има допирателна, има свързана околност, такава, че допълнението на дъгата от кривата попадаща в тази околност се състои от две компоненти. При това тази околност е дифеоморфна на кръг, чийто хоризонтален диаметър се изобразява посредством този дифеоморфизъм, запазвайки ориентацията, в дъгата от кривата, центърът на кръга се изобразява в избраната точка, а горната и долната половина на този кръг се изобразяват в двете компоненти на допълнението на дъгата. Компонентата съответстваща на горния (долния) полукръг обикновено се нарича положителна (отрицателна).

Определение 6. Казваме, че компактът $K\subset\mathbb{C}$ е компакт с положително ориентирана граница $\partial K$, ако:
1) $\partial K=\bigcup\limits_{j=1}^n\Gamma_j$, където $\Gamma_j$ е носител на частично гладка затворена жорданова крива $\gamma_j$,
2) $\Gamma_i\cap\Gamma_j=\emptyset$ при $i\neq j$,
3) за всяко $t_0$, за което $\gamma’_j(t_0)\neq 0$ за някое $j\in\{1,\ldots,n\}$, съществуват $\delta>0$ и дифеоморфизъм $\alpha_j:K(t_0,\delta)\to\alpha_j(K(t_0,\delta))$, за който $d(\alpha_j)_{t_0}$ запазва ориентацията на $\mathbb{C}$ и такъв, че \newline $\alpha_j(t+i0)=\gamma_j(t)$ при $t\in(t_0-\delta,t_0+\delta)$ и $$\alpha_j(\{t+is\in K(t_0,\delta)|s>0\})\subset \text{int }K,\quad \alpha_j(\{t+is\in K(t_0,\delta)|s<0\})\subset \text{ext }K.$$
Забележка. Горното определение може да се онагледи по следния начин. Границата на компакта $K$ е обединение на краен брой непресичащи се затворени частично гладки жорданови криви и всяка гладка (не ъглова) точка има околност, която се разделя от кривата на положителна и отрицателна компонента (Твърдение 9), които се съдържат съответно във вътрешността и външността на компакта. Нагледно това означава също, че в околност на всяка гладка точка, границата на компакта може да се параметризира така, че при нарастване на параметъра, движението по границата на компакта е такова, че точките от вътрешността на компакта остават отляво.

Пример. Да разгледаме компакта $K=\{z\in\mathbb{C}|a\leq \Re z\leq b,c\leq \Im z\leq d\}$ (правоъгълник със страни успоредни на координатните оси). Границата на този компакт е носител на една затворена частично гладка жорданова крива, която може да се параметризира посредством изображението $\gamma:[0,1]\to\mathbb{C}$, където $$\gamma(t)=\begin{cases}(1-4t)a+4tb+ic, 0\leq t\leq\frac{1}{4},\\ b+i[(2-4t)c+(4t-1)d], \frac{1}{4}\leq t\leq\frac{1}{2}, \\ (3-4t)b+(4t-2)a+id, \frac{1}{2}\leq t\leq\frac{3}{4}, \\ a+i[(4-4t)d+(4t-3)c],\frac{3}{4}\leq t\leq 1\end{cases}$$ При изменение на $t$ от $0$ до $1$, границата на правоъгълника $K$ се описва в посока обратна на движението на часовниковата стрелка, започвайки и завършвайки в точката $a+ic$, така че точките от вътрешността на правоъгълника $K$ остават отляво. За всяка точка от $\partial K$, освен върховете $a+ic,b+ic,b+id,a+id$, съществува дифеоморфизъм със свойствата посочени в Твърдение 9.

назад