Основна теорема на Коши-Гурса

В настоящия параграф ще установим най-важаната теорема в комплексния анализ, а именно теоремата на Коши, която в най-проста формулировка гласи, че всяка холоморфна функция в отворено множество задава локално точен диференциал. Следствията от този факт са огромни, какато за самия комплексен анализ, така и за математиката като цяло. Свойствата на интегралите от локално точни диференциали, които установихме в предните параграфи, позволяват да получим еквивалентни формулировки на теоремата, които са по-често срещани в литературата, и които на свой ред ни позволяват да получим по-дълбоките свойства на холоморфните функции, които нямат аналог за диференцируемите функции на реална променлива.

Твърдение 1. (локална теорема на Коши) Нека $D\subset\mathbb{C}$ e отворено множество и $f:D\to\mathbb{C}$ е холоморфна функция. Тогава диференциалът $fdz$ е локално точен в $D$.
Доказателство. Ще докажем теоремата с допускане на противното, като на места е удобно да си служим с геометричен език. Ако диференциалът $\omega=fdz$ не е локално точен в $D$, то съществува $a\in D$, такова че за всеки кръг $K(a,\delta)\subset D$ съществува поне един затворен правоъгълник $P$ с върхове $a,a+\Re h,a+i\Im h,a+h$, където $|h|<\delta$, такъв че $\int_{\partial P}\omega\neq 0$ (Твърдение ) (ориентацията на $\partial P$ е без значение). Тогава съществува $\varepsilon_0>0$, такова че $$\left|\int_{\partial P}\omega\right|\geq\varepsilon_0.$$ Разделяме $P$ на четири подправоъгълника $Q_j, j\in\{1,\ldots,4\}$, прокарвайки средите на страните на $P$. Тогава $P=\cup_{j=1}^4Q_j$ и ориентирайки $\partial Q_j$, както $\partial P$ получаваме $$\left|\int_{\partial P}\omega\right|=\left|\sum_{j=1}^4\int_{\partial Q_j}\omega\right|\leq\sum_{j=1}^4\left|\int_{\partial Q_j}\omega\right|\leq 4\max_{1\leq j\leq 4}\left|\int_{\partial Q_j}\omega\right|.$$ Нека $P_1$ е един от правоъгълниците $Q_j$, за който $|\int_{\partial P_1}\omega|=\max\limits_{1\leq j\leq 4}\left|\int_{\partial Q_j}\omega\right|$. Тогава $$\left|\int_{\partial P_1}\omega\right|\geq\frac{\varepsilon_0}{4}.$$ Продължавайки по същия начин, получаваме редица от вложени един в друг затворени правоъгълници $P_{j+1}\subset P_j\subset P ,j\in\mathbb{N}$, чиито дължини на диагоналите клонят към нула, когато $j$ е произволно голямо, и такива, че
\begin{equation}\label{intineq}
\left|\int_{\partial P_j}\omega\right|\geq\frac{\varepsilon_0}{4^j}, \quad j\in\mathbb{N}.
\end{equation} Съгласно теоремата на Кантор за вложените компакти (Твърдение 5 от Тема 4) съществува $b\in D$, такова че $$\bigcap_{j\in\mathbb{N}}P_j=\{b\}\subset P\subset K(a,\delta).$$ Тъй като $f$ е холоморфна в $b$, имаме че $f(z)=f(b)+f'(b)(z-b)+\alpha(z)(z-b)$, където $\alpha(z)\to 0$ при $z\to b$. Тогава \begin{equation}\label{usinghol}
\int_{\partial P_j}\omega=f(b)\int_{\partial P_j}dz+f'(b)\int_{\partial P_j}(z-b)dz+\int_{\partial P_j}\alpha(z)(z-b)dz.
\end{equation}
Първите два интеграла в последната сума са нули, тъй като интегрираме точни диференциали по затворени криви в $D$. От друга страна, за всяко $\varepsilon>0$ съществува положително $\delta_1<\delta$, такова че $|\alpha(z)|<\varepsilon$ при $0<|z-b|<\delta_1$. Нека $d_j$ дължината на диагонал на $P_j$. Тогава $d_j=\frac{|h|}{2^j}$. Тъй като $d_j\to 0$ при $j\to\infty$, съществува $m\in\mathbb{N}$, такова че при $j\geq m$ имаме $P_j\subset K(b,\delta_1)$. Следователно от (2) получаваме
$$\left|\int_{\partial P_j}\omega\right|=\left|\int_{\partial P_j}\alpha(z)(z-b)dz\right|\leq\int_{\partial P_j}|\alpha(z)||z-b||dz|\leq\varepsilon d_j\int_{\partial P_j}|dz|.$$ Тъй като $\int_{\partial P_j}|dz|$ е периметърът на $P_j$, виждаме, че $d_j<\int_{\partial P_j}|dz|=\frac{1}{2^j}\int_{\partial P}|dz|$. Следователно $$\left|\int_{\partial P_j}\omega\right|<\varepsilon\left(\frac{1}{2^j}\int_{\partial P}|dz|\right)\left(\frac{1}{2^j}\int_{\partial P}|dz|\right)=\frac{\varepsilon}{4^j}\left(\int_{\partial P}|dz|\right)^2.$$ Оттук виждаме, че при $\varepsilon<\frac{\varepsilon_0}{\left(\int_{\partial P}|dz|\right)^2}$ и $j\geq m$ имаме $|\int_{\partial P_j}\omega|<\frac{\varepsilon_0}{4^j}$, което е противоречие с (1).

Прилагайки свойствата на интегралите от локално точни диференциали, от Твърдение 1 можем да получим като следствия следните твърдения:

Твърдение 2. Ако $D\subset\mathbb{C}$ е произволна област и $f:D\to\mathbb{C}$ е холоморфна функция, то $\int_{\gamma}f(z)dz=0$ за всяка затворена крива $\gamma$, която се свива в точка в $D$.
Доказателство. Следва от Твърдение 1 и Твърдение 2 от Тема 16.

Твърдение 3. Ако $D\subset\mathbb{C}$ едносвързнана област и $f:D\to\mathbb{C}$ е холоморфна функция, то $\int_{\gamma}f(z)dz=0$ за всяка затворена крива $\gamma$ в $D$.
Доказателство. Следва от Твърдение 1, Определение 4 и Твърдение 2 от Тема 16.

Твърдение 4. Ако $D\subsetneq\mathbb{C}$ е произволна област и $f:D\to\mathbb{C}$ е холоморфна функция, то за всяко $a\in D$, $f$ има примитивна в $K(a,\text{dist}(a,\partial D))$.
Доказателство. Следва от Твърдение 1 и Твърдение 2 от Тема 15.

Твърдение 5. Ако $D\subset\mathbb{C}$ едносвързнана област и $f:D\to\mathbb{C}$ е холоморфна функция, то тя има примитивна в $D$.
Доказателство. Следва от Твърдение 1 и Твърдение 3 от тема 16.

Забележка. Ясно е, че ако $f$ е холоморфна функция в едносвързана област $D$ и $f$ има примитивна в $D$, то $fdz$ е точен диференциал в $D$ и в частност е локално точен в $D$. Също така, ако $D\subsetneq\mathbb{C}$ е произволна област и $f$ има примитивна в кръга $K(a,\text{dist}(a,\partial D))$, то $fdz$ е точен в този кръг и следователно е локално точен в $D$. Следователно Твърдение 4 и Твърдение 5 са еквивалентни на Твърдение 1. Да забележим също, че ако $f$ е холоморфна функция в областта $D$ и $\int_{\gamma}f(z)dz=0$ за всяка затворена частично гладка крива $\gamma$, която се свива в точка в $D$, то $fdz$ е локално точен диференциал в $D$ (вж. Твърдение 1 от Тема 15). Също така, ако $f$ е холоморфна функция в едносвързана област $D$ и $\int_{\gamma}f(z)dz=0$ за всяка затворена частично гладка крива $\gamma$ в $D$, то $fdz$ е локално точен диференциал в $D$. Следователно, при условие че $\gamma$ е частично гладка крива (тъй като в общия случай, нямаме дефиниция за интеграл по произволна крива) Твърдение 4 и Твърдение 5 са еквивалентни на Твърдение 1.
Забележка. Предвид Твърдение 2 от Тема 16, Твърдения 1 и 2 допускат съответно следните еквивалентни формулировки:

Ако $D\subset\mathbb{C}$ е произволна област и $f:D\to\mathbb{C}$ е холоморфна функция, то $$\int_{\alpha}f(z)dz=\int_{\beta}f(z)dz$$ за всеки две хомотопни в $D$ криви $\alpha$ и $\beta$, с общо начало и край.

Ако $D\subset\mathbb{C}$ едносвързнана област и $f:D\to\mathbb{C}$ е холоморфна функция, то $$\int_{\alpha}f(z)dz=\int_{\beta}f(z)dz$$ за всеки две криви $\alpha$ и $\beta$ в $D$, с общо начало и край.

Формула на Коши

Следващото твърдение е обобщение на теоремата на Коши, което има важно приложение.

Твърдение 6. Нека $D\subset\mathbb{C}$ е отворено множество, $a\in D$, $b\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$, $$L\subset\{a+bt\in D|t\in\mathbb{R}\}$$ и $f:D\to\mathbb{C}$ е непрекъсната функция, която е холоморфна в $D\setminus L$. Тогава диференциалът $fdz$ е локално точен в $D$.
Доказателство. Нека $G=\{w\in\mathbb{C}|a+bw\in D\}$ и $g:G\to\mathbb{C}$ се дефинира с $g(w)=f(a+bw)$. Тогава $g$ е непрекъсната функция в отвореното множество $G$ и е холоморфна в $G\setminus M$, където $M\subset G\cap\mathbb{R}$. Според Твърдение 1, диференциалът $gdw$ е локално точен в $G\setminus M$. Нека $p\in M$. Тъй като $G$ е отворено, съществува $r>0$, такова че $K(p,r)\subset G$. Тогава за всяко $h\in\mathbb{C}$, за което $|h|<r$, затвореният правоъгълник $P_h$, с върхове $p,p+\Re h, p+i\Im h,p+h$ се съдържа в $G$. Нека $\Im h>0$, $0<\varepsilon<\Im h$ е произволно и $\gamma_{h,\varepsilon}$ е параметризация на затворената начупена линия през точките $$p,p+\Re h,p+\Re h+i\varepsilon,p+i\varepsilon,p+\Re h+i\varepsilon,p+h,p+i\Im h,p+i\varepsilon,p.$$ Тогава от една страна $$\int_{\gamma_{h,\varepsilon}}g(w)dw=\int_{\partial P_h}g(w)dw,$$ където $\partial P_h$ е ориентирана положително, а от друга страна $$\int_{\gamma_{h,\varepsilon}}g(w)dw=\int_{\partial Q_{h,\varepsilon}}g(w)dw+\int_{\partial R_{h,\varepsilon}}g(w)dw,$$ където $Q_{h,\varepsilon}$ е правоъгълникът с върхове $p+i\varepsilon,p+\Re h+i\varepsilon,p+h,p+i\Im h$, а $R_{h,\varepsilon}$ e правоъгълника с върхове $p,p+\Re h,p+\Re h+i\varepsilon,p+i\varepsilon$ и границите на $Q_{h,\varepsilon}$ и $R_{h,\varepsilon}$ са ориентирани положително. Тъй като $g$ е холоморфна в $G\setminus M$ от Твърдение 1 имаме, че $gdw$ е локално точен диференциал в $G\setminus M$ и тъй като $Q_{h,\varepsilon}\subset G\setminus M$, виждаме, че $\int_{\partial Q_{h,\varepsilon}}gdw=0$. Следователно $$\int_{\partial P_h}g(w)dw=\int_{\partial R_{h,\varepsilon}}g(w)dw.$$ От друга страна $$\int_{R_{h,\varepsilon}}g(w)dw=\int_0^{\Re h}g(p+t)dt+i\int_0^{\varepsilon}g(p+\Re h+it)dt-\int_0^{\Re h}g(p+\Re h-t+i\varepsilon)dt-i\int_0^{\varepsilon}g(p+i(\varepsilon-t))dt=$$
$$=\int_0^{\Re h}g(p+t)dt+i\int_0^{\varepsilon}g(p+\Re h+it)dt+\int_{\Re h}^0g(p+s+i\varepsilon)ds+i\int_{\varepsilon}^0g(p+is)ds=$$$$=\int_0^{\Re h}g(p+t)-g(p+t+i\varepsilon)dt+i\int_0^{\varepsilon}g(p+\Re h+it)-g(p+it)dt.$$ Тъй като $g$ е непрекъсната функция върху компата $P_h$, тя е равномерно непрекъсната и следователно първият интеграл в последното равенство клони към нула, когато $\varepsilon\to 0$. От друга страна, $g$ е ограничена върху компакта $P_h$ и следователно вторият интеграл също клони към нула, когато $\varepsilon\to 0$. Следователно $$\int_{\partial P_h}g(w)dw=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\int_{\partial R_{h,\varepsilon}}g(w)dw=0,$$ което показва, че $gdw$ е локално точен диференциал в $G$ (Твърдение 1 от Тема 15). Следователно, ако $h:D\to G$ се дефинира с $h(z)=\frac{z-a}{b}$, то $$h^*(gdw)=(g\circ h)dh=f\left(a+b\frac{z-a}{b}\right)d\left(\frac{z-a}{b}\right)=\frac{1}{b}f(z)dz$$ е локално точен диференциал в $D$ (Твърдение 9 от Тема 15). Следователно $fdz$ е локално точен диференциал в $D$.

Следващото твърдение е известно като формула на Коши и от него следват най-важните свойства на холоморфните функции.

Твърдение 7. Нека $f$ е холоморфна функция в областта $D\subset\mathbb{C}$ и $\gamma:[0,1]\to D$ е затворена крива, която се свива в точка в $D$. Тогава за всяко $a\in D\setminus\gamma([0,1])$ е изпълнено $$\int_{\gamma}\frac{f(z)}{z-a}dz=2\pi i \text{Ind}(\gamma,a)f(a).$$
Доказателство. Нека $a\in D\setminus\gamma([0,1])$ и $g:D\to\mathbb{C}$ е дефинирана с $$g(z)=\begin{cases}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}, \quad z\neq a \\ f'(a),\quad z=a\end{cases}.$$ Тогава $g$ е непрекъсната функция в $D$, холомофна в $D\setminus\{a\}$. Според Твърдение 6 диференциалът $gdz$ е локално точен в $D$, и тъй като $\gamma$ е затворена крива, хомотопна на постоянна крива в $D$, от хомотопната инвариантност на криволинейните интеграли от локално точни диференциали (Твърдение 2 от Тема 16) имаме, че $\int_{\gamma}gdz=0$. От друга страна $$\int_{\gamma}g(z)dz=\int_{\gamma}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}dz=\int_{\gamma}\frac{f(z)}{z-a}dz-\int_{\gamma}\frac{f(a)}{z-a}dz.$$ Следователно $$\int_{\gamma}\frac{f(z)}{z-a}dz=\int_{\gamma}\frac{f(a)}{z-a}dz=2\pi if(a)\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{dz}{z-a}=2\pi i f(a)\text{Ind}(\gamma,a),$$ което искахме да докажем.

Забележка. Ако областта $D\subset\mathbb{C}$ е едносвързана, то заключението в Твърдение 7 е вярно за всяка затворена крива в $D$.

назад