Принцип за максимума

Определение 1. Нека $D\subset\mathbb{C}$ е отворено множество. Казваме, че функцията $f:D\to\mathbb{R}$ е субхармонична, ако е непрекъсната в $D$ и за всяка точка $a\in D$ и всяко $r>0$, за което $\overline{K(a,r)}\subset D$ е вярно, че $$f(a)\leq\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(a+r\exp(i t))dt.$$ Казваме, че функцията $f:D\to\mathbb{F}$ удовлетворява теоремата за средното, ако е непрекъсната в $D$ и при горните условия вместо неравенство е изпълнено равенство.

Забележка. От горното определение виждаме, че всяка реално-значна функция, която удовлетворява теоремата за средното е субхармонична, а реалната и имагинерната част на всяка комплексно-значна функция, която удовлетворява теоремата за средното, също имат това свойство и в частност са субхармонични.

Твърдение 1. Всяка холоморфна в отворено множество функция удолетворява теоремата за средното. Всяка хармонична в отворено множество функция удовлетворява теоремата за средното.
Доказателство. Нека $D\subset\mathbb{C}$ е отворено множество и $f:D\to\mathbb{C}$ е холоморфна функция. Нека $a\in D$ и $r>0$ са такива, че $\overline{K(a,r)}\subset D$ и $\gamma:[0,2\pi]\to D$ е кривата $\gamma(t)=a+r\exp(it)$. Тогава от формулата на Коши (Твърдение 7 от Тема 18) имаме $$f(a)=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma\frac{f(z)}{z-a}dz=\frac{1}{2\pi i}\int_0^{2\pi}\frac{f(a+r\exp(it))ir\exp(it)}{a+r\exp(it)-a}dt=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(a+r\exp(i t))dt,$$ т. е. $f$ удовлетворява теоремата за средното.
Нека $u:D\to\mathbb{R}$ е реална хармонична функция в $D$ и $a\in D$, $r>0$ са такива, че $\overline{K(a,r)}\subset D$. Според Твърдение 5 от Тема 15 съществуват $R>r$ и холоморфна функция $f:K(a,R)\to\mathbb{C}$, за която $\Re f=u$ в $K(a,R)$. Тогава $$u(a)=\Re (f(a))=\Re\left(\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(a+r\exp(i t))dt\right)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\Re f(a+r\exp(i t))dt=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}u(a+r\exp(i t))dt.$$ Нека $u:D\to\mathbb{C}$ е комплексна хармонична функция и $a\in D$, $r>0$ са такива, че $\overline{K(a,r)}\subset D$. Тогава $\Re u$ и $\Im u$ са реални хармонични функции и $$u(a)=\Re u(a)+i\Im u(a)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\Re u(a+r\exp(i t))dt+i\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\Im u(a+r\exp(i t))dt=$$$$=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\Re u(a+r\exp(i t))+i\Im u(a+r\exp(i t))dt=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}u(a+r\exp(i t))dt,$$ с което твърдението е доказано.

Твърдение 2. (Принцип за максимума) Нека $D\subset\mathbb{C}$ е област и $f:D\to\mathbb{R}$ субхармонична функция. Ако $f$ има локален максимум в точката $a\in D$, то $f$ е постоянна в околност на $a$.
Доказателство. Нека $f$ има локален максимум в точката $a\in D$. Тогава съществува $r>0$, такова че $K(a,r)\subset D$ и за всички $z\in K(a,r)$ имаме $f(z)\leq f(a)$, т. е. за всички $t\in[0,2\pi]$, $x\in[0,r)$ имаме $f(a)-f(a+x\exp(it))\geq 0$. Следователно $$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(a)-f(a+x\exp(i t))dt\geq 0.$$ От друга страна, тъй като $f$ е субхармонична, за всяко $x\in[0,r)$ имаме $$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(a)-f(a+x\exp(i t))dt=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(a)dt-\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(a+x\exp(i t))dt\leq f(a)-f(a)=0.$$ Следователно $\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(a)-f(a+x\exp(i t))dt=0$. Тъй като за всяко $x\in[0,r)$ функцията $$[0,2\pi]\ni t\mapsto f(a)-f(a+x\exp(it))\in[0,+\infty)$$ е непрекъсната, неотрицателна с нулев интерал в $[0,2\pi]$ виждаме, че тя е тъждествено нула в $[0,2\pi]$. Следователно за всички $t\in[0,2\pi]$, $x\in[0,r)$ имаме $f(a)-f(a+x\exp(it))=0$, което показва, че $f(z)=f(a)$ за всяко $z\in K(a,r)$.

Твърдение 3. Нека $D\subset\mathbb{C}$ е област и $f:D\to\mathbb{F}$ е функция, която удовлетворява теоремата за средното. Ако $|f|$ има локален максимум в точката $a\in D$, то $f$ е постоянна в околност на $a$.
Доказателство. Нека $|f|$ има локален максимум в точката $a\in D$. Тогава съществува $r>0$, такова че $K(a,r)\subset D$ и за всички $z\in K(a,r)$ имаме $|f(z)|\leq |f(a)|$. Ако $f(a)=0$, то $|f|=0$ в $K(a,r)$, откъдето $f=0$ в този кръг и твърдението е доказано.
Ако $f(a)\neq 0$, то $f(a)=|f(a)|\exp(i\text{Arg}f(a))$. Нека $g:D\to \mathbb{F}$ е функцията $g=\exp(-i\text{Arg}f(a))f$. Тогава $|g|=|f|$ и $g(a)=|f(a)|=|g(a)|>0$. Ясно е, че $g$ удовлетворява теоремата за средното, тъй като $f$ има това свойство. Следователно $\Re g$ удовлетворява теоремата за средното. От друга страна $$\Re g(z)\leq|g(z)|=|f(z)|\leq|f(a)|=|g(a)|=g(a)=\Re g(a)$$ за всички $z\in K(a,r)$, което показва, че $\Re g$ има локален максимум в точката $a$. От Твърдение 2 получаваме, че $\Re g(z)=\Re g(a)=g(a)$ за всяко $z\in K(a,r)$. Тъй като $$|g(a)|=\left|\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}g(a+x\exp(i t))dt\right|\leq \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|g(a+x\exp(i t))|dt,\quad x\in[0,r)$$ виждаме, че $|g|$ е субхармонична, а от неравенствтото $|g(z)|=|f(z)|\leq|f(a)|=|g(a)|$ виждаме, че $|g|$ има локален максимум в точката $a$. Следователно от Твърдение 2 получаваме $|g(z)|=|g(a)|=g(a)$ за всяко $z\in K(a,r)$. Тъй като $$g(a)^2=|g(z)|^2=(\Re g(z))^2+(\Im g(z))^2=g(a)^2+(\Im g(z))^2,$$ виждаме, че $\Im g=0$ в $K(a,r)$. Следователно $g(z)=g(a)$ за всяко $z\in K(a,r)$, откъдето $$f(z)=g(a)\exp(i\text{Arg}f(a))=|f(a)|\exp(i\text{Arg}f(a))=f(a)$$ за всяко $z\in K(a,r)$, с което твърдението е доказано.

Твърдение 4. Нека $D\subset\mathbb{C}$ е област и $f:D\to\mathbb{F}$ е функция, която удовлетворява теоремата за средното. Ако $|f|$ има локален максимум в точка $a\in D$, то $f$ е постоянна в $D$.
Доказателство. Тъй като $f$ e непрекъсната множеството $M=\{z\in D|f(z)=f(a)\}$ е затворено в $D$. От друга страна, от Твърдение 3 виждаме, че $M$ е отворено в $D$. Следователно $M=D$, тъй като $D$ е свързано и $a\in M$ (Твърдение 7 от Тема 4).

Твърдение 5. Нека $D\subset\mathbb{C}$ е област и $f:D\to\mathbb{F}$ е функция, която удовлетворява теоремата за средното. Тогава $|f|$ няма локален максимум в точка в $D$, освен ако $f$ не е постоянна в $D$.
Доказателство. Ако $f$ не е постоянна и $|f|$ има локален максимум в $D$, от Твърдение 4 получаваме противоречие.

Твърдение 6. Нека $D\subset\mathbb{C}$ е ограничена област, $f:\overline{D}\to\mathbb{F}$ е непрекъсната функция, която удовлетворява теоремата за средното в $D$ и $M=\sup\{|f(z)||z\in\partial D\}$. Тогава $|f(z)|\leq M$ за всяко $z\in \overline{D}$.
Доказателство. Според Твърдение 3 от Тема 5 (вж. Упражнение 5) съществува $b\in\overline{D}$, за което $|f(b)|=\sup{|f(z)||z\in \overline{D}}$. Ако $b\in D$, от Твърдение 4 имаме, че $f(z)=f(b)$ за всяко $z\in D$ и от непрекъснатостта на $f$ получаваме $|f(z)|=|f(b)|=M$ за всяко $z\in\overline{D}$. Ако $b\in \partial D$, то $|f(b)|=M$, при което $|f(z)|\leq|f(b)|=M$, за всяко $z\in\overline{D}$, с което твърдението е доказано.

Упражнение 1. Нека $D\subset\mathbb{C}$ е област и $f:\overline{D}\to\mathbb{C}$ е непостоянна непрекъсната функция, холоморфна в $D$. Докажете, че ако $|f|$ има локален максимум в точка $a\in \overline{D}$, то $a\in \partial D$.

Лема на Шварц

Твърдение 7. Нека $f:K(0,1)\to K(0,1)$ е холоморфна функция, за която $f(0)=0$. Тогава $|f(z)|\leq|z|$ за всяко $z\in K(0,1)$ и $|f'(0)|\leq 1$. Ако съществува $a\in K(0,1)\setminus\{0\}$, за което $|f(a)|=|a|$, или $|f'(0)|=1$, то
$f(z)=f'(0)z$.
Доказателство. От Твърдение 2 от Тема 19 имаме, че $$\frac{f(z)}{z}=\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{f^{(j)}(0)}{j!}z^{j-1}$$ за всяко $z\in K(0,1)\setminus\{0\}$. Тъй като функцията $g:K(0,1)\to\mathbb{C}$, дефинирана с $g(z)=\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{f^{(j)}(0)}{j!}z^{j-1}$ е холоморфна в $K(0,1)$, от Твърдение 6 имаме, че за всяко $r\in(0,1)$ е вярно, че $$|g(z)|\leq\sup\{|g(z)||z\in C(0,r)\}$$ за всяко $z\in \overline{K(0,r)}$. Тъй като за всяко $z\in C(0,r)$ имаме $$|g(z)|=\left|\frac{f(z)}{z}\right|=\frac{|f(z)|}{r}<\frac{1}{r},$$ виждаме, че $|g(z)|<\frac{1}{r}$, за всяко $z\in \overline{K(0,r)}$. Оттук, при $r\to 1$, получаваме $$|g(z)|\leq 1$$ за всяко $z\in K(0,1)$. В частност $|g(0)|=|f'(0)|\leq 1$. От друга страна, при $z\in K(0,1)\setminus\{0\}$ имаме $\frac{|f(z)|}{|z|}=|g(z)|\leq 1$, откъдето $|f(z)|\leq |z|$ за всяко $z\in K(0,1)\setminus\{0\}$. Тъй като $f(0)=0$, виждаме, че последното неравенство е валидно и при $z=0$. Следователно $|f(z)|\leq|z|$ за всяко $z\in K(0,1)$.
Ако съществува $a\in K(0,1)\setminus\{0\}$, за което $|f(a)|=|a|$ (или $|f'(0)|=1$), то $\frac{|f(a)|}{|a|}=|g(a)|=1$, ($|g(0)|=|f'(0)|=1$), и от неравенството $|g(z)|\leq 1$, валидно за всяко $z\in K(0,1)$ виждаме, че $|g|$ има локален максимум в точката $a$ (или в точката $0$). Тогава от Твърдение 4 получаваме, че $$g(z)=g(a)=g(0)=f'(0),$$ за всяко $z\in K(0,1)$. Следователно $f(z)=f'(0)z$ за всяко $z\in K(0,1)$, с което твърдението е доказано.

назад