Непрекъснати функции

Понятието непрекъснатост може да се дефинира за изображения между произволни топологични пространства.
Определение 1. Нека $(X,\tau)$ и $(Y,\sigma)$ са топологични пространства. Казваме, че изображението $f:X\to Y$ е:
а) непрекъснато, ако за всяко $U\in \sigma$ е вярно, че $f^{-1}(U)\in\tau$.
б) непрекъснато в точката $a\in X$, ако за всяко $U\in\sigma$, за което $f(a)\in U$, съществува $V\in\tau$, такова че $a\in V$ и $f(V)\subset U$.

Твърдение 1. Нека $(X,\tau)$ и $(Y,\sigma)$ са топологични пространства. Тогава следните условия са екивалентни:
а) изображението $f:X\to Y$ е непрекъснато,
б) изображението $f:X\to Y$ е непрекъснато във всяка точка $a\in X$.
Доказателство. Нека $f:X\to Y$ е непрекъснато, $a\in X$ и $U\in\sigma$ е такова, че $f(a)\in U$. Тогава $f^{-1}(U)\in\tau$, $f(f^{-1}(U))\subset U$ и $a\in f^{-1}(U)$. Следователно е изпълнено б).
Нека е изпълнено условие б), $U\in\sigma$ и $V=f^{-1}(U)$. Ако $V=\emptyset$, то $V\in\tau$. Ако $V\neq\emptyset$, то за всяко $a\in V$ е вярно, че $f(a)\in U$ и следователно съществува $V_a\in\tau$, такова че $a\in V_a$ и $f(V_a)\subset U$. Нека $W=\cup_{a\in V}V_a$. Тогава $W\in\tau$ и $f(W)\subset U$, т. е. $W\subset f^{-1}(U)$. От друга страна, ако $b\in f^{-1}(U)$, то $b\in V_b\subset W$, откъдето $f^{-1}(U)\subset W$. Следователно $f^{-1}(U)=W\in\tau$, т. е. изпълнено е условие a).

Забележка. Предвид определението на стандартаната топология в $\mathbb{C}$, определението за непрекъснатост на функция в точка, допуска следната формулировка. Казваме, че функцията $f:U\to\mathbb{C}$ е непрекъсната в точката $a\in U\subset\mathbb{C}$, ако за всяко $\varepsilon>0$, съществува $\delta>0$, такова че за всички $z\in U\cap K(a,\delta)$ е вярно, че $f(z)\in K(f(a),\varepsilon)$. Геометрически това означава, че за всеки кръг с център $f(a)$ и радиус $\varepsilon>0$, съществува кръг с център в точката $a\in U$ и радиус $\delta>0$, такъв че всички точки от дефиниционното множество $U$ на функцията $f$, които попадат в кръга $K(a,\delta)$ имат образи, които се намират в кръга $K(f(a),\varepsilon)$. Още по-класическа формулировка на определението за непрекъснатост на функция в точка е следната (определение на Коши). Функцията $f:U\to\mathbb{C}$ се нарича непрекъсната в точката $a\in U\subset\mathbb{C}$, ако за всяко $\varepsilon>0$, съществува $\delta>0$, такова че за всички $z\in U$, за които $|z-a|<\delta$ е вярно неравенството $|f(z)-f(a)|<\varepsilon$.

Следващото търдение ни дава удобно описание на понятието непрекъснатост на функция в точка, чрез сходящи редици, което позволява установяването на много свойства на непрекъснатите функции да бъдат свеждани до твърдения за сходящи редици.

Твърдение 2. Нека $U\subset\mathbb{C}$ и $a\in U$. Функцията $f:U\to\mathbb{C}$ е непрекъсната в точката $a$, тогава и само тогава, когато за всяка редица $z:\mathbb{N}\to U$, за която $z\to a$, е вярно, че $f(z)\to f(a)$.
Доказателство. Нека $f$ е непрекъсната в точката $a$ и $\varepsilon>0$. Тогава съществува $\delta>0$, такова че за всички $z\in U$, за които $|z-a|<\delta$, е вярно $|f(z)-f(a)|<\varepsilon$. Следователно, ако $z:\mathbb{N}\to U$, е произволна редица, за която $z\to a$, то съществува $m\in\mathbb{N}$, такова че за всички $n\in\mathbb{N}$, за които $n>m$, е вярно неравенството $|z_n-a|<\delta$. Следователно $|f(z_n)-f(a)|<\varepsilon$, за всяко $n>m$ т. е. $f(z)\to f(a)$.
Обратно, нека за всяка редица $z:\mathbb{N}\to U$, за която $z\to a$, е вярно, че $f(z)\to f(a)$ и
да допуснем, че съществува $\varepsilon>0$, такова че за всяко $\delta>0$ съществува $z_{\delta}\in U\cap K(a,\delta)$, със свойството $f(z_{\delta})\notin K(f(a),\varepsilon)$. В частност, за всяко $k\in\mathbb{N}$, съществува $z_k\in U$, за което $|z_k-a|<\frac{1}{k}$ и $|f(z_{k})-f(a)|\geq\varepsilon$. Нека $\eta>0$. Тогава съществува $m\in\mathbb{N}$, такова че $\frac{1}{m}<\eta$ (принцип на Архимед). Следователно за всички $k>m$ е вярно $|z_k-a|<\eta$, т. е. получихме редица $z:\mathbb{N}\to U$, за която $z\to a$. Тъй като $f(z)\to f(a)$, съществува $p\in\mathbb{N}$, такова че за всички $k>p$ е вярно неравенството $|f(z_k)-f(a)|<\varepsilon$, което е противоречие.

Забележка. Твърдение 2 показва, че за функция на реална или комплексна променлива понятието непрекъснатост в точка може да се дефинира по следния начин (определение на Хайне). Казваме, че функцията $f:U\to\mathbb{C}$ е непрекъсната в точката
$a\in U\subset\mathbb{C}$, ако за всяка редица $z:\mathbb{N}\to U$, за която $z\to a$, е вярно, че $f(z)\to f(a)$.

Упражнение 1. Покажете, че сума произведение и частно на непрекъснати функции в точка е отново непрекъсната функция в точката.
Упътване. Приложете теоремите за действия със сходящи редици. Например, ако $f:U\to\mathbb{C}$ и $g:U\to\mathbb{C}$ са непрекъснати в точката $a\in U$, то за всяка редица $z:\mathbb{N}\to U$, за която $z\to a$, имаме $f(z)\to f(a)$ и $g(z)\to g(a)$. Тогава $(f+g)(z)=f(z)+g(z)\to f(a)+g(a)=(f+g)(a)$.

Упражнение 2. Покажете, че ако $f:U\to\mathbb{C}$ е непрекъсната в точката $a\in U\subset\mathbb{C}$, $g:V\to\mathbb{C}$ е непрекъсната в точката $b\in f(U)\subset V\subset\mathbb{C}$, като $b=f(a)$, то функцията $g\circ f:U\to \mathbb{C}$ е непрекъсната в точката $a$. (Непрекъснатост на композиция.)

Упражнение 3. Покажете, че функцията $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ е непрекъсната, ако
а) $f(z)=a, a\in\mathbb{C}$,
б) $f(z)=z$,
в) $f(z)=a_0+a_1z+\ldots+a_nz^n, a_k\in\mathbb{C}, n\in\mathbb{N}$,
г) $f(z)=\frac{1}{(z-a)^k}, z\neq a\in\mathbb{C}, k\in\mathbb{N}$.
Упражнение 4. Нека $U\subset\mathbb{C}$, $a\in U$ е вътрешна точка, а $f:U\to\mathbb{C}$ е непрекъсната в точката $a$, като $f(a)\neq 0$. Покажете, че съществува реално число $\delta>0$ такова, че за всички $z\in K(a,\delta)$ изпълнено $f(z)\neq 0$.
Упътване. Първо да се докаже твърдението за реално-значни функции, след което да се вземе предвид че $f(z)=0$ тогава и само тогава, когато $|f(z)|=0$, и че ако $f$ е непрекъсната функция, то $|f|$ е непрекъсната реална функция.
Следващото Твърдение се нарича теорема на Вайерщрас и има множество важни приложения в анализа.

Твърдение 3. Нека $K\subset\mathbb{C}$ е компактно множество и $f:K\to\mathbb{C}$ е непрекъсната функция. Тогава $f(K)$ е компактно множество.
Доказателство. Съгласно Твърдение 6 от Тема 4, достатъчно е да покажем, че $f(K)$ е ограничено и затворено множество в $\mathbb{C}$.
Да допуснем, че $f(K)$ не е ограничено. Тогава за всяко $n\in\mathbb{N}$, съществува $z_n\in K$, такова че $|f(z_n)|\geq n$, т. е. получаваме редица $z:\mathbb{N}\to K$. От друга страна, тъй като $K$ е ограничено, редицата $z$ е ограничена и според Твърдение 3 от Тема 2 тя има сходяща подредица $w$, за която $\lim w\in K$, тъй като $K$ е затворено. Тъй като $w$ е подредица на $z$, съществува растяща редица $v:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$, за която $w=z(v)$. От непрекъснатостта на $f$ имаме, че редицата $f(w)$ е сходяща и следователно тя е ограничена, а това противоречи на неравенството $|f(w_n)|=|f(z_{v_n})|\geq v_n$, което е изпълнено за всяко $n\in\mathbb{N}$. Следователно $f(K)$ е ограничено. Нека $z:\mathbb{N}\to f(K)$ е сходяща редица. Тогава съществува редица $w:\mathbb{N}\to K$, за която $f(w)=z$. От компактността на $K$ следва, че редицата $w$ има сходяща подредица $u$, за която $\lim u\in K$ и съществува растяща редица $v:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$, за която $u=w(v)$. От непрекъснатостта на $f$ имаме, че $z(v)=f(w(v))=f(u)\to f(\lim u)$. Тъй като всяка подредица на сходяща редица е сходяща и има същата граница (Твърдение 2, a) от Тема 2), и тъй като границата на всяка сходяща редица е единствена, получаваме, че $z(v)\to \lim z=f(\lim u)\in f(K)$, което показва, че $f(K)$ е затворено.

Упражнение 5. Нека $K\subset\mathbb{C}$ е компакт и $f:K\to\mathbb{R}$ е непрекъсната. Покажете, че съществуват $x,y\in K$, такива, че
$f(x)=\inf\{f(t)|t\in K\}$,
$f(y)=\sup\{f(t)|t\in K\}$ (теорема на Вайерщрас за реални функции).
Забележка. Функциите $f(x)=\frac{1}{x}$, $x\in(0,1)$, $f(x)=x$, $x\in\mathbb{R}$ и $f(x)=x\text{sign}{[x(1-x)]}$, $x\in[0,1]$ показват, че всички предположения от теоремата на Вайерщрас за реални функции са съществени.

Определение 2. Нека $A\subset\mathbb{C}$ е непразно множество. Казваме, че функцията $f:A\to \mathbb{C}$ е равномерно непрекъсната в $A$, ако за всяко $\varepsilon>0$ съществува $\delta>0$, такова че за всички $x,y\in A$, за които $|x-y|< \delta$, е вярно $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$.

Твърдение 4. Ако $K\subset\mathbb{C}$ е компактно множество и $f:K\to\mathbb{C}$ е непрекъсната, то $f$ е равномерно непрекъсната в $K$.
Доказателство. Допускане на противното.

Твърдение 5. Нека $D\subset\mathbb{C}$ е свързано множество и $f:D\to\mathbb{C}$ е непрекъсната локално постоянна функция в $D$, т. е. за всяко $a\in D$ съществува $r>0$, такова че $f(z)=f(a)$ за всяко $z\in D\cap K(a,r)$. Тогава съществува $c\in\mathbb{C}$, такова че $f(z)=c$ за всяко $z\in D$, т. е. функцията $f$ е глобално постоянна.
Доказателство. Нека $a\in D$ и $A=\{z\in D|f(z)=f(a)\}$. Тогава $A\neq\emptyset$ (тъй като $a\in A$) и $A$ е затворено в $D$, тъй като $D\setminus A=f^{-1}(\mathbb{C}\setminus\{f(a)\})$ е отворено в $D$, предвид непрекъснатоста на $f$ и фактът, че $\mathbb{C}\setminus\{f(a)\}$ е отворено множество в $\mathbb{C}$. От друга страна $A$ е отворено в $D$, тъй като ако $b\in A$, то $f(b)=f(a)$ и съществува $r>0$, такова че $f(z)=f(b)$ за всяко $z\in D\cap K(b,r)$. Следователно $f(z)=f(b)=f(a)$, за всяко $z\in D\cap K(b,r)$, което показва, че $D\cap K(b,r)\subset A$, т. е. $A$ е отворено в $D$. Тъй като $D$ е свързано множество и $A\neq\emptyset$ виждаме, че $A=D$ (Твърдение 7 от Тема 4). Следователно $f(z)=f(a)=c$, за всяко $z\in D$.

Твърдение 6. Образът на свързано множество при непрекъсната функция е свързано.
Доказателство. Твърдението може да се докаже, за непрекъснато изображение между произволни топологични пространства. Нека $(X,\tau)$ и $(Y,\sigma)$ са топологични пространства, $f:X\to Y$ е непрекъснато изображение и $A\subset X$ е свързано множество. Да допуснем, че $f(A)$ не е свързано . Тогава съществуват $U, V\in\sigma$, такива че $f(A)\cap U\neq \emptyset$, $f(A)\cap V\neq\emptyset$, $(f(A)\cap U)\cap(f(A)\cap V)=\emptyset$ и $f(A)=(f(A)\cap U)\cup(f(A)\cap V)$. Тъй като $f$ е непрекъсната, $f^{-1}(U)\in\tau$ и $f^{-1}(V)\in\tau$. Тогава $A\cap f^{-1}(U)\neq\emptyset$, $A\cap f^{-1}(V)\neq\emptyset$, $(A\cap f^{-1}(U))\cap(A\cap f^{-1}(V))=\emptyset$ и $$A=A\cap f^{-1}(f(A))=A\cap f^{-1}((f(A)\cap U)\cup(f(A)\cap V))=A\cap f^{-1}(f(A)\cap(U\cup V))=A\cap f^{-1}(f(A)\cap f^{-1}(U\cup V))=$$$$=A\cap f^{-1}(f(A))\cap f^{-1}(U\cup V)=A\cap(f^{-1}(U)\cup f^{-1}(V))=(A\cap f^{-1}(U))\cup(A\cap f^{-1}(V)),$$ т. е. $A$ не е свързано, което е противоречие.

Граница на функция

Определение 3. Нека $(X,\tau)$ е топологично пространство и $A\subset X$. Казваме, че точката $a\in X$ е точка на сгъстяване на $A$, ако за всяко отворено множетсво $U\in \tau$, за което $a\in U$ е вярно, че $A\cap(U\setminus\{a\})\neq\emptyset$. Ако $a\in A$ не е точка на сгъстяване на $A$, казваме, че $a$ е изолирана точка на $A$.

Твърдение 7. Нека $A\subset\mathbb{C}$. Точката $a\in\mathbb{C}$ е точка на сгъстяване на $A$, тогава и само тогава, когато съществува редица $z:\mathbb{N}\to A\setminus\{a\}$, такава че $z\to a$.
Доказателство. Нека за всяко отворено множество $U\subset\mathbb{C}$, за което $a\in U$ е вярно, че $A\cap(U\setminus\{a\})\neq\emptyset$. В частност за всяко $n\in\mathbb{N}$ имаме $A\cap K(a,\frac{1}{n})\setminus\{a\}\neq\emptyset$. т. е. съществува редица $z:\mathbb{N}\to A\setminus\{a\}$, такава, че $0<|z_n-a|<\frac{1}{n}$ за всяко $n\in\mathbb{N}$. Нека $\varepsilon>0$. От принципа на Архимед следва, че съществува $m\in\mathbb{N}$, такова че $\frac{1}{m}<\varepsilon$. Следователно за всяко $n>m$ е изпълнено $|z_n-a|<\frac{1}{n}<\frac{1}{m}<\varepsilon$, което показва, че $z\to a$.
Обратно, нека съществува редица $z:\mathbb{N}\to A\setminus\{a\}$, за която $z\to a$.
Да допуснем, че съществува отворено множество $U\subset\mathbb{C}$, за което $a\in U$ и $A\cap(U\setminus\{a\})=\emptyset$. Тогава съществува $\delta>0$, такова че $A\cap K(a,\delta)\setminus\{a\}=\emptyset$. От друга страна съществува $m\in\mathbb{N}$, такова че при $n>m$ е изпълнено $0<|z_n-a|<\delta$ при $n>m$, т. е. $z_n\in A\cap K(a,\delta)\setminus\{a\}$ при $n>m$, което е противоречие.

Определение 4. Нека $a\in\mathbb{C}$ е точка на сгъстяване за $U\subset\mathbb{C}$. Казваме, че $b\in\mathbb{C}$ е граница на функцията $f:U\to\mathbb{C}$, в точката $a$ (пишем $\lim\limits_{z\to a}f(z)=b$), ако за всяка редица $z:\mathbb{N}\to U\setminus\{a\}$, за която $z\to a$, е вярно че редицата $f(z)\to b$.
Забележка. Изискването $a$ да бъде точка на сгъстяване за $U$, осигурява съществуването на редица $z:\mathbb{N}\to U\setminus\{a\}$, за която $z\to a$ (Твърдение 7).
Забележка. Очевидно е, че ако $a\in U$ не е изолирана точка (т. е. $а$ е точка на сгъстяване за $U$) и $f:U\to\mathbb{C}$ е непрекъсната в точката $a$, то $\lim\limits_{z\to a}f(z)=f(a)$. Ако $a$ е изолирана точка на $U$, то $f$ (и даже всяка функция дефинирана върху $U$) е непрекъсната в точката $a$, но понятието граница на функция в точката $a$ губи смисъл).

Твърдение 8. Нека $a$ е точка на сгъстяване за $U\subset\mathbb{C}$ ($a\in \mathbb{C}$ или $a=\infty$), $f:U\to\mathbb{C}$, $g:U\to\mathbb{C}$, са функции, за които съществуват $\lim\limits_{z\to a}f(z)$ и $\lim\limits_{z\to a}g(z)$. Тогава
а) $\lim\limits_{z\to a}(f+g)(z)=\lim\limits_{z\to a}f(z)+\lim\limits_{z\to a}g(z)$,
б) $\lim\limits_{z\to a}(f\cdot g)(z)=\lim\limits_{z\to a}f(z)\cdot \lim\limits_{z\to a}g(z)$,
в) ако $\lim\limits_{z\to a}g(z)\neq 0$, то $\lim\limits_{z\to a}\left(\frac{f}{g}\right)(z)=\frac{\lim\limits_{z\to a}f(z)}{\lim\limits_{z\to a}g(z)}$.
Доказателство. Следва директно от определението за граница на функция в точка и от съответните свойства за числови редици (вж. Упражнение 5 от Тема 2 ).

Твърдение 9. Нека $U\subset\mathbb{C}$, $V\subset\mathbb{C}$, $a$ е точка на сгъстяване за $U$, $b$ е точка на сгъстяване за $V$, а $g:U\to V$ и $f:V\to\mathbb{C}$, са дадени функции. Нека $\lim\limits_{z\to b}f(z)=c$, $\lim\limits_{z\to a}g(z)=b$, $a$ е точка на сгъстяване за дефиниционното множество на $f\circ g$ и съществува $\delta>0$, такова че $g(z)\neq b$ за всички $z\in U$, за които $0<|z-a|<\delta$. Тогава $\lim\limits_{z\to a}(f\circ g)(z)=c$.
Доказателство. Трябва да покажем, че ако $z:\mathbb{N}\to U\cap f^{-1}(V)\setminus\{
a\}$ е произволна редица, за която $z\to a$, то $(f(g(z))\to c$. Съществуването на редица $z$ с горните свойства следва от предположението, че $a$ е точка на сгъстяване на $U\cap f^{-1}(V)$ (дефиниционното множество на $f\circ g$). От $\lim\limits_{z\to a}g(z)=b$, имаме, че за всяка редица $w:\mathbb{N}\to V\setminus\{b\}$, за която $w\to b$ е вярно, че $f(w)\to c$. В частност $g(z)\to b$ и $g(z_n)\neq b$, от известно място нататък (по предположение), и следователно $f(g(z))\to c$. Тогава $(f\circ g)(z)=f(g(z))\to c$.

Производна на функция

Определение 5. Нека $U\subset\mathbb{C}$ и $a\in U$ е точка на сгъстяване на $U$. Казваме, че функцията $f:U\to\mathbb{C}$ е диференцируема (комплексно диференцируема) в точката $a$, ако съществува $\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$. Ако $f$ е диференцируема в точката $a$, числото $\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ се нарича производна на $f$ в точката $a$ и се означава с $f'(a)$. Ако $V\subset U$ е множеството от всички точки, в които $f$ е диференцируема, функцията $V\ni z\mapsto f'(z)$ се нарича производна на $f$. Казваме, че функцията $f:U\to\mathbb{C}$ е холоморфна в точката $a\in U$, ако съществува $r>0$, такова че $K(a,r)\subset U$ и $f$ е диференцируема във всяка точка на $K(a,r)$. Казваме, че функцията $f$ е холоморфна в множеството $U$, ако тя е холоморфна във всяка точка на $U$. Функцията $f$ се нарича цяла, ако е холоморфна в $\mathbb{C}$.

Както в реалния анализ се проверява валидността на следното твърдение.

Твърдение 10.
1) Всяка функция, диференцируема в дадена точка е непрекъсната в тази точка.
2) Ако $f$ и $g$ са диференцируеми в точката $z\in U\subset\mathbb{C}$, то $f+g$, $fg$ и $\frac{f}{g}$ са диференцируеми в точката $z$ и $(f+g)'(z)=f'(z)+g'(z)$ $(fg)'(z)=f'(z)g(z)+g'(z)f(z)$, $\left(\frac{f}{g}\right)'(z)=\frac{f'(z)g(z)-g'(z)f(z)}{g^2(z)}, g(z)\neq 0$.
3) Ако $f:U\to\mathbb{C}$ е диференцируема в точката $z\in U\subset\mathbb{C}$, а $g:V\to\mathbb{C}$ е диференцируема в точката $f(z)\in V\supset f(U)$, то $g\circ f:U\to\mathbb{C}$ е диференцируема в точката $z$ и $(g\circ f)'(z)=g'(f(z))f'(z)$.

Упражнение 6. Проверете, че функцията $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ зададена с
а) $f(z)=a, a=\text{const}$, б) $f(z)=z$, в) $f(z)=z^n, n\in\mathbb{N}$
е холоморфна във всяка точка на $\mathbb{C}$ и намерете нейната производна.

Твърдение 11. Функцията $\exp$ е цяла и съвпада с производната си.
Доказателство. За всяко $z\in\mathbb{C}$, по определение $(\exp z)’=\lim\limits_{h\to 0}\frac{\exp(z+h)-\exp z}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{\exp z\exp h-\exp z}{h}=\exp z\lim\limits_{h\to 0}\frac{\exp h-1}{h}$. При $h\neq 0$ имаме $$\frac{\exp h-1}{h}=\frac{1}{h}\left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{h^{k-1}}{(k-1)!}-1\right)=\frac{1}{h}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{h^k}{k!}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{h^{k-1}}{k!}=1+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{h^{k-1}}{k!}=1+h\sum_{k=2}^{\infty}\frac{h^{k-2}}{k!}.$$ С Критерия на Даламбер (вж Упражнение 3 от Тема 3) се проверява, че редът $\sum_{k=2}^{\infty}\frac{h^{k-2}}{k!}$ е абсолютно сходящ. За всяко $n\geq 2$ и $|h|<1$ имаме $\left|\sum_{k=2}^{n}\frac{h^{k-2}}{k!}\right|\leq \sum_{k=2}^{n}\frac{|h|^{k-2}}{k!}\leq \sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k!}$. Следователно $$\left|\sum_{k=2}^{\infty}\frac{h^{k-2}}{k!}\right|=\left|\lim\sum_{k=2}^{n}\frac{h^{k-2}}{k!}\right|=\lim\left|\sum_{k=2}^{n}\frac{h^{k-2}}{k!}\right|\leq\lim\sum_{k=2}^n\frac{1}{k!}=e-2,$$ и при $|h|<1$ имаме $$\left|\frac{\exp h-1}{h}-1\right|\leq|h|(e-2),$$ което показва, че $\lim\limits_{h\to 0}\frac{\exp h-1}{h}=1$, т. е. $(\exp z)’=\exp z$ за всяко $z\in\mathbb{C}$.

назад