Локално точни диференциали

Определение 1. Казваме, че диференциалът $\omega$ е локално точен в отворено множество $D\subset\mathbb{C}$, ако всяка точка от $D$ има околност, в която $\omega$ е точен.

Твърдение 1. Диференциалът $\omega$ е локално точен в отвореното множество $D\subset\mathbb{C}$, тогава и само тогава, когато за всяка точка $a\in D$ съществува $\delta>0$, такова че за всяко $h\in K(0,\delta)$, е изпълнено $\int_{\partial P_h}\omega=0$, където $P_h$ е правоъгълникът с върхове $a,a+\Re h,a+i\Im h,a+h$ и границата му е ориентирана.
Доказателство. Нека $\omega$ е локално точен в $D$. Тогава за всяка точка $a\in D$ съществува $\delta>0$, такова че $\omega$ е точен в $K(a,\delta)$ и следователно $\int_{\alpha}\omega=0$ за всяка затворена, частично гладка крива $\alpha$ в $K(a,\delta)$ (Твърдение 6 от Тема 14). Тъй като за всички $h\in K(0,\delta)$ границата на правоъгълника с върхове $a,a+\Re h,a+i\Im h,a+h$ се съдържа в $K(a,\delta)$, виждаме, че $\int_{\partial P_h}\omega=0$.
Обратно, нека $\omega=Pdx+Qdy$ и за всяка точка $a\in D$ съществува $\delta>0$, такова че ако $h\in K(0,\delta)$ и $P_h$ е правоъгълника с върхове $a,a+\Re h,a+i\Im h,a+h$, то $\int_{\partial P_h}\omega=0$. Тогава, както в Твърдение 6 от Тема 14 виждаме, че имаме коректно дефинирана функция $F:K(a,\delta)\to\mathbb{C}$, за която $$F(z)=\int_{\alpha_z}\omega,$$ където $\alpha_z$ е коя да е да е от начупените линии с начало $a$, през $\Re z+i\Im a$ или $\Re a+i\Im z$, и край $z$. Тогава от една страна \begin{equation}\label{derimz}
F(z)=\int_{\Re a}^{\Re z}P(t+i\Im a)dt+\int_{\Im a}^{\Im z}Q(\Re z+it)dt
\end{equation} (ако $\alpha_z$ е начупената линия с начало $a$, през $\Re z+i\Im a$ и край $z$), а от друга страна
\begin{equation}\label{derrez} F(z)=\int_{\Re a}^{\Re z}P(t+i\Im z)dt+\int_{\Im a}^{\Im z}Q(\Re a+it)dt
\end{equation} (ако $\alpha_z$ е начупената линия с начало $a$, през $\Re a+i\Im z$ и край $z$). От (1) и (2) виждаме съответно, че $$F’_y(z)=\lim\limits_{\substack{h\to 0\\ h\in\mathbb{R}}}\frac{F(z+ih)-F(z)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_{\Im z}^{\Im z+h}Q(\Re z+it)dt=Q(z)$$ и $$F’_x(z)=\lim\limits_{\substack{h\to 0\\ h\in\mathbb{R}}}\frac{F(z+h)-F(z)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_{\Re z}^{\Re z+h}P(t+i\Im z)dt=P(z)$$ (теорема на Лайбниц-Нютон), което показва, че $F$ е примитивна на $\omega$ в $K(a,\delta)$, т. е. диференциалът е локално точен в $D$.

Пример. Диференциалът $$\omega=\frac{-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy$$ e локално точен и не е точен в областта $D=\mathbb{C}\setminus\{0\}$. Действително, можем да се убедим във факта, че $\omega$ е локално точен като проверим, че за всяка точка $a\in D$ съществува околност, в която $\omega$ има примитивна. Ако $\Re a\neq 0$, то функцията $$F(x+iy)=\arctan\frac{y}{x}$$ е примитивна на $\omega$ в лявата или дясната полуравнина в зависимост от това дали $\Re a<0$ или $\Re a>0$ съответно (тези полуравнини са съответните околности на $a$). По същия начин, ако $\Im a\neq 0$, то $$G(x+iy)=\arctan\frac{x}{y}$$ е примитивна на $\omega$ в горната или долната полуравнина, в зависимост от това дали $\Im a>0$ или $\Im a<0$ съответно. За да се убедим, че $\omega$ не е точен ще използваме Твърдение 6 от Тема 14. Нека допуснем, че $\omega$ е точен диференциал и да разгледаме кривата $\gamma(t)=\exp(it), t\in[-\pi,\pi]$. Тогава $$\int_{\gamma}\omega=\int_{-\pi}^{\pi}-\sin t(\cos t)’+\cos t(\sin t)’dt=2\pi\neq 0,$$ което противоречи на Твърдение 6 от Тема 14.

Упражнение 1. Докажете, че за всяко $a\in\mathbb{C}$ диференциалът $\frac{1}{z-a}dz$ е локално точен и не е точен в $\mathbb{C}\setminus\{a\}$.

Твърдение 2. Нека диференциалът $\omega$ е локално точен в областта $D\subsetneq \mathbb{C}$. Тогава за всяка точка $a\in D$, $\omega$ е точен в кръга $K(a,\text{dist}(a,\partial D))$.
Доказателство. Нека $a\in D$ и $\{K(a,t)|t\in(0,\text{dist}(a,\partial D))\}$ е съвкупността на всички кръгове, в които $\omega$ е точен диференциал и нека $f_t$ е примитивна на $\omega$ в $K(a,t)$. Нека $$r=\sup\{t\in(0,\text{dist}(a,\partial D))|\omega е точен в кръга K(a,t)\}.$$ Тъй като за всички $p,q\in(0,r)$, за които $p<q$ можем да изберем $f_q$ да съвпада с $f_p$ върху $K(a,p)\cap K(a,q)=K(a,p)$, системата от функции $\{f_t|t\in(0,r)\}$ е съгласувана, и следователно $$f=\bigcup_{t\in(0,r)} f_t$$ е примитивна на $\omega$ в $\bigcup_{t\in(0,r)}K(a,t)=K(a,r)$. Да допуснем, че $r<\text{dist}(a,\partial D)$. Тогава $C(a,r)\subset D$ и тъй като $\omega$ е локално точен диференциал в $D$, за всяка точка $b\in C(a,r)$ съществува $r_b>0$, такова че $\omega$ е точен в кръга $K(b,r_b)$. Тогава $\{K(b,r_b)|b\in C(a,r)\}$ е отворено покритие на компакта $C(a,r)$, за което съществува крайно подпокритие $$\{K(b_j,r_{b_j})|b_j\in C(a,r),j\in\{1,\ldots,n\}\}$$ . За всяко $j\in\{1,\ldots,n\}$ избираме примитивна $g_j$ на $\omega$ в $K(b_j,r_{b_j})$, така че $g_j(z)=f(z)$ за всяко $z\in K(a,r)\cap K(b_j,r_{b_j})$. Тогава за всички $i,j\in\{1,\ldots,n\}$ имаме $g_i=g_j$ върху $K(b_i,r_{b_i})\cap K(b_j,r_{b_j})$, тъй като, ако това сечение е непразно, то е свързано, а $g_i-g_j$ е непрекъсната и е тъждествено нула върху $K(b_i,r_{b_i})\cap K(b_j,r_{b_j})\cap K(a,r)$ (ако $K(b_i,r_{b_i})\cap K(b_j,r_{b_j})=\emptyset$, то $g_i=g_j$ е изпълнено тривиално). Следователно $\{f,g_1,\ldots,g_n\}$ е съгласувана система от функции и функцията $g=f\bigcup\left(\bigcup_{j=1}^ng_j\right)$ е примитивна на $\omega$ в областта $G=K(a,r)\bigcup\left(\bigcup_{j=1}^nK(b_j,r_{b_j})\right)$. Тъй като $C(a,r)\subset\bigcup_{j=1}^nK(b_j,r_{b_j})$, виждаме, че $\overline{K(a,r)}\subset G$. Следователно $r<\text{dist}(a,\partial G)$, което показва, че $$K(a,r)\subsetneq K(a,\text{dist}(a,\partial G))\subset G,$$ т. е. $\omega$ има примитивна (рестрикцията на $g$) в кръга $K(a,\text{dist}(a,\partial G))$, което е противоречие с дефиницията на $r$. Следователно $r=\text{dist}(a,\partial D)$, с което твърдението е доказано.

Забележка. Ако $D=\mathbb{C}$, то $\partial D=\emptyset$ и тогава $\omega$ е точен в $D$.

Следващите твърдения и определения ще са ни необходими, за да установим едно лесно проверяемо необходимо и достатъчно условие за локална точност на диференциал в отоворено множество, а именно неговата затвореност.

Твърдение 3. (Теорема на Грийн-Гаус за правоъгълник)
Нека $Pdx+Qdy$ е непрекъснато-диференци-руем диференциал в отворено множество $D\subset\mathbb{C}$, и $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ са такива, че $a<b,c<d$ и $$K=\{z\in\mathbb{C}|a\leq\Re z\leq b, c\leq \Im z\leq d\}\subset D,$$ като границата $\partial K$ на компакта $K$ е положително ориентирана (т. е. $\partial K$ се параметризира например с параметризацията от Примера в Тема 13.
Тогава $$\iint_K(Q’_x-P’_y)dxdy=\int_{\partial K}Pdx+Qdy.$$
Доказателство. Упражнение (непосредствено пресмятане на интегралите).

Твърдение 4. Един непрекъснато-диференцируем диференциал е локално точен в отворено множество, тогава и само тогава, когато той е затворен в него.
Доказателство. Нека $Pdx+Qdy$ е затворен диференциал в отворено множество $D\subset\mathbb{C}$ и $a\in D$. Тогава $Q’_x-P’_y=0$ в $D$ и тъй като $D$ е отворено, съществува $\delta>0$, такова, че $K(a,\delta)\subset D$ и за всяко $h\in K(0,\delta)$, правоъгълникът $P_h$ с върхове $a,a+\Re h,a+i\Im h,a+h$ се съдържа в $K(a,\delta)$. Следователно $\int_{\partial P_h}Pdx+Qdy=0$, (Твърдение 3). Следователно $Pdx+Qdy$ е локално точен диференциал в $D$ (Твърдение 6 от Тема 14).
Обратно, ако $Pdx+Qdy$ е локално точен в $D$, то всяка точка от $D$ има околност $U$, в която $Pdx+Qdy$ е точен и от Твърдение 6 от Тема 14 получаваме, че $\int_{\partial P}Pdx+Qdy=0$ за всеки правоъгълник $$P=\{z\in \mathbb{C}|a\leq\Re z\leq b, c\leq \Im z\leq d\}\subset U.$$ От Твърдение 3 получаваме, че $\iint_P(Q’_x-P’_y)dxdy=0$. Тъй като подинтегралната функция в последния интеграл е непрекъсната в $D$, получаваме, че $Q’_x=P’_y$ в $P$. Действително в противен случай, съществува кръг $K(b,\varepsilon)\subset D$, в който $Q’_x-P’_y\neq 0$, при което поне една от функциите $\Re(Q’_x-P’_y)$ или $\Im(Q’_x-P’_y)$ има постоянен знак в този кръг и ако $h\in K(0,\varepsilon)$, то правоъгълникът $Q_h$ с върхове $b,b+\Re h,b+i\Im h,b+h$ се съдържа в $K(b,\varepsilon)$. Следователно, ако например $\Re(Q’_x-P’_y)$ е положителна в $K(b,\varepsilon)$, то от Твърдение 3 имаме $$\Re\left(\int_{\partial Q_h}Pdx+Qdy\right)=\Re\left(\iint_{Q_h}(Q’_x-P’_y)dxdy\right)=\iint_{Q_h}\Re(Q’_x-P’_y)dxdy>0,$$ което е противоречие с локалната точност на $\omega$ (Твърдение 6 от Тема 14). Следователно $Q’_x-P’_y$ е локално постоянна (нулева) непрекъсната функция. От Твърдение 5 на Тема 5, получаваме, че $Q’_x-P’_y=0$ във всяка свързана компонента на $D$. Следователно $Q’_x=P’_y$ в $D$, т. е. $Pdx+Qdy$ е затворен диференциал в $D$.
Като приложение на горния резултат ще се убедим, че всяка хармонична функция локално определя холоморфна функция.

Твърдение 5. Нека $D\subsetneq\mathbb{C}$ е област и $u:D\to\mathbb{R}$ е хармонична функция (т. е. $u$ има непрекъснати частни производни от втори ред в $D$ и удовлетворява уравнението на Лаплас $u“_{xx}+u“_{yy}=0$ в $D$). Тогава за всякaа точка $a\in D$, съществува хармонична функция $v:K(a,\text{dist}(a,\partial D))\to\mathbb{R}$, така че функцията $f=u+iv$ е холоморфна в $K(a,\text{dist}(a,\partial D))$.
Доказателство. Да забележим, че ако такава функция $v$ съществува, то $$dv=v’_xdx+v’_ydy=-u’_ydx+u’_xdy,$$ предвид уравненията на Коши-Риман. Нека $\omega=-u’_ydx+u’_xdy$. Тогава $\omega$ непрекъснато диференцируем диференциал, който е затворен в $D$. Действително, съотношението за затвореност $$(-u’_y)’_y=(u’_x)’_x$$ е еквивалено на уравнението на Лаплас, което е удовлетворено, тъй като $u$ е хармонична в $D$. Следователно от Твърдение 4 виждаме, че $\omega$ е локално точен диференциал в $D$. Следователно за всяка точка $a\in D$ съществува непрекъснато-диференцируема функция $v:K(a,\text{dist}(a,\partial D))\to\mathbb{R}$, такава, че $dv=\omega$ (Твърдение 2). От последното съотношение и от непрекъснатостта на частните производни на $u$ виждаме, че $v$ има непрекъснати частни производни от втори ред. При това $v“_{xx}=-u“_{yx}$ и $v“_{yy}=u“_{xy}$, откъдето $v“_{xx}+v“_{yy}=0$, което показва, че $v$ е хармонична.
Функцията $f=u+iv$ е холоморфна в $K(a,\text{dist}(a,\partial D))$, тъй като $f’_x+if’_y=u’_x+iv’_x+i(u’_y+iv’_y)=u’_x+i(-u’_y)+iu’_y-u’_x=0$ в този кръг.

Забележка. Ако $D=\mathbb{C}$, то $\partial D=\emptyset$ и тогава $v$ е дефинирана в $D$.

В реалния анализ на функции на няколко променливи се доказва нетривиално следната по-обща теорема на Грийн-Гаус, която ще прилагаме по-нататък.

Твърдение 6. (Теорема на Грийн-Гаус) Нека $Pdx+Qdy$ е непрекъснато-диференцируем диференциал в областта $D\subset\mathbb{R}^2$ и $K\subset D$ е компакт с положително ориентирана граница $\partial K$. Тогава $$\iint_K(Q’_x-P’_y)dxdy=\int_{\partial K}Pdx+Qdy.$$

Интегриране на локално точни диференциали по произволни криви

В настоящия параграф ще видим по какъв начин можем да разширим понятието интеграл за локално-точни диференциали, така че интегрирането да може да се извършва върху произволни (непрекъснати) криви, вместо само по частично гладки криви. За целта ни е необходимо понятието примитивна на локално точен диференциал по крива.

Определение 2. Нека $D\subset\mathbb{C}$ е област, $\omega$ е непрекъснат локално точен диференциал в $D$ и нека $\gamma:[a,b]\to D$ е произволна крива. Примитивна на $\omega$ по кривата $\gamma$ се нарича непрекъсната функция $f:[a,b]\to \mathbb{C}$ със следното свойство: за всяко $t\in[a,b]$, съществуват отворен в $[a,b]$ подинтервал $I$, съдържащ $t$, околност $V\subset D$ на точката $\gamma(t)$ и примитивна $F$ на $\omega$ в $V$, такива че за всички $s\in I$ е изпълнено $\gamma(s)\in V$ и $f(s)=F(\gamma(s))$.

На неформален език, примитивна на локално точен диференциал по крива е непрекъсната функция, която в околност на всяка точка от дефиниционния си интервал се представя като рестрикция на някоя примитивна на диференциала, върху дъга от кривата.

Твърдение 7. Нека $D\subset\mathbb{C}$ е област, $\omega$ е непрекъснат локално точен диференциал в $D$ и нека $\gamma:[a,b]\to D$ е произволна крива. Тогава съществува примитивна на $\omega$ по кривата $\gamma$. Всеки две примитивни на $\omega$ по $\gamma$ се отличават с константа.
Доказателство. Тъй като $[a,b]$ е компакт и $\gamma$ е непрекъсната функция, виждаме, че $\gamma([a,b])$ е компакт. Следователно $\varepsilon=\text{dist}(\gamma([a,b]),\partial D)>0$. От друга страна, тъй като $\gamma$ е непрекъсната функция върху комапкта $[a,b]$, тя е равномерно непрекъсната. Следователно съществува $\delta>0$, такова че при $|p-q|<\delta$ е изпълнено $|\gamma(p)-\gamma(q)|<\varepsilon$. Нека $a=t_0<t_1<\ldots<t_n=b$ е разделяне на интервала $[a,b]$, такова че $t_j-t_{j-1}<\delta$ за всяко $j\in\{1,\ldots,n\}$. Тогава при $t\in[t_{j-1},t_j]$, $j\in\{1,\ldots,n\}$ е изпълнено $|\gamma(t)-\gamma(t_j)|<\varepsilon$ и $|\gamma(t)-\gamma(t_{j-1})|<\varepsilon$, което показва, че $\gamma([t_{j-1},t_j])\subset K_{j-1}\cap K_{j}$, за $j\in\{1,\ldots,n\}$, където $K_{j}=K(\gamma(t_j),\varepsilon)$. Тъй като $\omega$ е локално точен диференциал, той има примитивни в кръгвете $K_{j}$, $j\in\{0,\ldots,n\}$ (Твърдение 2). Понеже $ K_{j-1}\cap K_{j}$ е област, всеки две примитивни на $\omega$ върху $K_{j-1}\cap K_{j}$ се отличават с константа. Следователно, ако $F_{j-1}$ е примитивна на $\omega$ в $K_{j-1}$, то съществува примитивна $F_{j}$ в $K_{j}$ на $\omega$, такава че $F_j=F_{j-1}$ в $K_{j-1}\cap K_j$. Дефинираме $f:[a,b]\to\mathbb{C}$ с $$f(t)=F_{j-1}(\gamma(t))= F_{j}(\gamma(t))$$ при $t\in[t_{j-1},t_j]$, $j\in\{1,\ldots,m\}$. Тогава $f$ е непрекъсната функция, със свойството описано в Определение 2. Действително, за $t\in(t_{j-1},t_j)$, $j\in\{1,\ldots,n\}$, можем да считаме, че $I=(t_{j-1},t_j)$, $V=K_j$ и $F=F_j$. Ако $t=t_j, j\in\{1,\ldots,n-1\}$ можем да считаме, че $I$ e кой да е отворен интервал съдържащ $t_j$, такъв че $\gamma(I)\subset K_{j-1}\cap K_j$ (такъв интервал съществува, тъй като $\gamma$ е непрекъснато изображение). Ако $t=t_0$ или $t=t_n$ съответният интервал $I$ e $[t_0,t_1)$ или $(t_{n-1},t_n]$.
Ако $g$ е друга функция със свойствата на $f$, то за всяко $t\in[a,b]$ имаме $f(s)=F(\gamma(s))$, при $s\in I$ и $g(s)=G(\gamma(s))$, при $s\in J$, където $I\cap J\ni t$. Тогава съществува $c\in\mathbb{C}$, така че $$f(s)=F(\gamma(s))=G(\gamma(s))+c=g(s)+c$$ за всяко $s\in I\cap J$. Следователно $f-g$ е непрекъсната локално постоянна функция в $[a,b]$. Следователно тя е глобално постоянна (Твърдение 5 от Тема 5).

Забележка. От Твърдение 6 можем да забележим, че ако $\omega$ е локално точен диференциал в областта $D\subset\mathbb{C}$, $\gamma$ е частично гладка крива и $f:[a,b]\to\mathbb{C}$ е примитивна на $\omega$ по $\gamma$, то съществува разделяне
$a=t_0<t_1<\ldots<t_n=b$, такова че за всяко $j\in{1,\ldots,n}$ кривата $\gamma_j=\gamma|{[t_{j-1},t_j]}$ е гладка и $\omega$ е точен в околност на $\gamma_j([t_{j-1},t_j])$, при което $$\int_{\gamma}\omega=\sum_{j=1}^{n}\int_{\gamma_j}\omega=\sum_{j=1}^{n}f(t_j)-f(t_{j-1})=f(b)-f(a).$$ Това показва, че понятието примитивна на локално точен диференциал по крива ни дава възможност да дефинираме интеграл от локално точен диференциал за произволна крива, без допълнителни предположения за диференцируемост.

Определение 3. Нека $D\subset\mathbb{C}$ е област, $\gamma:[a,b]\to D$ е крива, $\omega$ е локално точен диференциал в $D$ и $f:[a,b]\to D$ е примитивна на $\omega$ по $\gamma$. Дефинираме $\int_{\gamma}\omega=f(b)-f(a)$.

Забележка. Тъй като всеки две примитивни на $\omega$ по $\gamma$ се отличават с константа (вж. Твърдение 6), виждаме, че $\int_{\gamma}\omega$ не зависи от избора на примитивна на $\omega$ по $\gamma$, т. е. определението е коректно. Наистина, ако $f$ и $g$ са две примитивни на на $\omega$ по $\gamma$, то съществува число $c\in\mathbb{C}$, такова че $f=g+c$. Тогава $\int_{\gamma}\omega=f(b)-f(a)=(g(b)+c)-(g(a)+c)=g(b)-g(a)$.

Изтегляне на диференциали

Определение 4. Нека $D$ и $G$ са области в $\mathbb{C}$, $f:D\to G$ е непрекъснато-диференцируема функция и $\omega=Pdx+Qdy$ е непрекъснат диференциал в $G$. Дефинираме диференциал върху $D$ чрез $$f^*\omega=(P\circ f)d(x\circ f)+(Q\circ f)d(y\circ f).$$ Диференциалът $f^*\omega$ се нарича изтегляне на $\omega$ посредством $f$.

Забележка. При условията в Определение 3 диференциалът $f^*{\omega}$ е непрекъснат, тъй като ако $u$ и $v$ са координатните функции върху $D$, то $$f^*\omega=(P\circ f)[(x\circ f)’udu+(x\circ f)’_vdv]+(Q\circ f)[(y\circ f)’_udu+(y\circ f)’_vdv]=$$$$=[(P\circ f)(x\circ f)’_u+(Q\circ f)(y\circ f)’_u]du+[(P\circ f)(x\circ f)’_v+(Q\circ f)(y\circ f)’_v]dv,$$ откъдето виждаме, че коефициентите на $f^*\omega$ са непрекъснати функции върху $D$.

Упражнение 1. Проверете следните свойства $f^*(\omega_1+\omega_2)=f^*\omega_1+f^*\omega_2$, $f^*(g\omega)=(g\circ f)f^*\omega$, където $f$ и $g$ са функции.

Твърдение 9. Нека $D$ и $G$ са области в $\mathbb{C}$, $f:D\to G$ и $g:G\to\mathbb{C}$ са непрекъснато-диференцируеми функции. Тогава $d(g\circ f)=f^*(dg)$.
Доказателство. Нека реалните координатни функции в $G$ са $x$ и $y$, а в $D$ са $u$ и $v$. Тогава $dg=g’_xdx+g’_ydy$ и от Определение 3, и теоремата за диференциране на съставна функция $$f^*(dg)=(g’_x\circ f)d(x\circ f)+(g’_y\circ f)d(y\circ f)=(g’_x\circ f)[(x\circ f)’_udu+(x\circ f)’_vdv]+(g’_y\circ f)[(y\circ f)’_udu+(y\circ f)’_vdv]=$$ $$=[(g’_x\circ f)(x\circ f)’_u+(g’_y\circ f)(y\circ f)’_u]du+[(g’_x\circ f)(x\circ f)’_v+(g’_y\circ f)(y\circ f)’_v]dv=$$$$=(g\circ f)’_udu+(g\circ f)’_vdv=d(g\circ f).$$

Твърдение 10. Нека $D$ и $G$ са области в $\mathbb{C}$, $f:D\to G$ е непрекъснато-диференцируема функция и $\omega$ е локално точен диференциал в областта $G$. Тогава $f^*\omega$ е локално точен диференциал в областта $D$.
Доказателство. Нека $a\in D$. Тогава $f(a)\in G$ и тъй като $\omega$ е локално точен, съществува околност $U\subset G$ на $f(a)$, в която $\omega$ има примитивна $F:U\to\mathbb{C}$ (т. е. $dF=\omega$ върху $U$). Тъй като $U$ е отворено, съществува $\varepsilon>0$, такова че $K(f(a),\varepsilon)\subset U$. Понеже $f$ е непрекъсната в $a$, съществува $\delta>0$, такова че при $z\in K(a,\delta)$ имаме $f(z)\in K(f(a),\varepsilon)$. Тогава функцията $F\circ f$ е примитивна на $f^*\omega$ върху $K(a,\delta)$, тъй като $d(F\circ f)=f^*(dF)=f^*\omega$ върху $K(a,\delta)$.

Следващото твърдение е аналог на теоремата за смяна на променливата в определен интеграл

Твърдение 11. Нека $D, G\subset\mathbb{C}$ са области, $f:D\to G$ е непрекъснато-диференцируема функция, $\gamma:[a,b]\to D$ е крива, $\Gamma=f\circ\gamma$ и $\omega$ е локално точен диференциал в $G$. Тогава $\int_{\Gamma}\omega=\int_{\gamma}f^*\omega$.
Доказателство. Тъй като $\omega$ е локално точен диференциал в $G$ и $f:D\to G$ е непрекъснато-диференцируема функция, според Твърдение 9, $f^*\omega$ е локално точен диференциал в $D$. Тогава $\omega$ има примитивна $F$ по кривата $\Gamma$, а $f^*\omega$ има примитивна $H$ по кривата $\gamma$ (Твърдение 2). От Определение 2 имаме, че за всяко $p\in[a,b]$, съществуват отворена в $[a,b]$ околност $I$ на $p$, околност $U\subset G$ на точката $\Gamma(p)$ и примитивна $F_1$ на $\omega$ в $U$, такива че $F(t)=F_1(\Gamma(t))$ за всяко $t\in I$. По същите съображения, съществуват отворена в $[a,b]$ околност $J$ на $p$, околност $V\subset D$ на точката $\gamma(p)$ и примитивна $F_2$ на $f^*\omega$ в $V$, такива че $H(t)=F_2(\gamma(t))$ за всяко $t\in J$. Тъй като $U$ е отворено, съществува $r>0$, такова че $K(\Gamma(p),r)\subset U$. От гладкостта на $f$ в $D$ имаме непрекъснатост в точката $\gamma(p)$, и следователно съществува $r_1>0$, такова че ако $z\in K(\gamma(p),r_1)$, то $f(z)\in K(\Gamma(p),r)$. Можем да считаме, че $r_1$ е такова, че $K(\gamma(p),r_1)\subset V$. Тогава функцията $F_1\circ f$ е примитивна на $f^*\omega$ в $K(\gamma(p),r_1)$, тъй като в този кръг имаме $d(F_1\circ f)=f^*(dF_1)=f^*\omega$ (Твърдение 9). От друга страна, $F_2$ също е примитивна на $f^*\omega$ в $K(\gamma(p),r_1)$ (като рестрикция) и следователно (вж. Твърдение от Тема 9) съществува число $c$, такова че $F_1\circ f=F_2+c$ в $K(\gamma(p),r_1)$. Tъй като $\gamma$ е непрекъсната в $[a,b]$, съществува отворена в $[a,b]$ околност $L$ на $p$, такава че $\gamma(L)\subset K(\gamma(p),r_1)$. Тогава за всяко $t\in I\cap J\cap L$, е изпълнено $$F(t)=(F_1\circ f)(\gamma(t))=(F_2+c)(\gamma(t))=F_2(\gamma(t))+c=H(t)+c.$$ Следователно $F-H$ е локално постоянна непрекъсната функция. Тъй като всяка локално постоянна непрекъсната функция, дефинирана върху свързано множество е постоянна (Твърдение 5 от Тема 5), виждаме, че $F(t)-H(t)=c$ за всяко $t\in[a,b]$. Тогава $$\int_{\Gamma}\omega=F(b)-F(a)=H(b)+c-(H(a)+c)=H(b)-H(a)=\int_{\gamma}f^*\omega,$$ което искахме да докажем.

назад