Нормални и автономни системи
В настоящата тема ще разгледаме основните понятия свързани със системи от диференциални уравнения. Нека $U\subseteq\mathbb{R}^{n+1}$ е отворено множество и $f_j:U\to\mathbb{R}$, $j\in\{1,\ldots,n\}$ са непрекъснати функции в $U$. Общият вид на нормална система от диференциални уравнения е $$\begin{cases}x_1’=f_1(t,x_1,\ldots,x_n) \\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\ x_n’=f_n(t,x_1,\ldots,x_n)\end{cases},$$ където $x_j:(\alpha,\beta)\to\mathbb{R}$, $j\in\{1,\ldots,n\}$ са неизвестни диференцируеми функции. Както в случая на едно диференциално уравнение, задача на Коши може да се постави и за система от диференциални уравнения. Тя се състои в определянето на диференцируеми функции $x_j:(\alpha,\beta)\to\mathbb{R}$, такива, че за всяко $t\in (\alpha,\beta)$ имаме
1) $(t,x_1(t),\ldots,x_n(t))\in U$,
2) $x_j'(t)=f_j(t,x_1(t),\ldots,x_n(t))$, $j\in\{1,\ldots,n\}$,
3) $x_1(t_0)=c_1,\ldots,x_n(t_0)=c_n$, където $(t_0,c_1,\ldots,c_n)\in U$ е фиксирана точка.
Диференцируемата векторна функция $x(t)=(x_1(t),\ldots,x_n(t))$, удовлетворяваща условията 1), 2), 3) се нарича решение на задачата на Коши, а нейната графика (която се съдържа в $\mathbb{R}^{n+1}$) се нарича интегрална крива. Подробно записана задачата на Коши изглежда така: \begin{equation}\label{ko6imain}\begin{cases}x_1’=f_1(t,x_1,\ldots,x_n) \\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\ x_n’=f_n(t,x_1,\ldots,x_n)\end{cases},\quad \begin{cases}x_1(t_0)=c_1 \\ \ldots \\ x_n(t_0)=c_n\end{cases}.\end{equation}
Доказва се теорема за локално съществуване и единственост на решение задачата на Коши (1), когато $(t, x_1,\ldots,x_n)\mapsto f(t,x_1,\ldots,x_n)$ е липшицова по $x_1,\ldots,x_n$ (вж. Твърдение 1 от Тема 11)
Автономна система се нарича система от вида $x_j’=f_j(x_1,\ldots,x_n)$, $j\in\{1,\ldots,n\}$, където $f_j:U\to \mathbb{R}$ са непрекъснати функции в отворено множество $U\subset\mathbb{R}^n$, т. е. това е нормална система, в която десните страни на уравненията $f_1\ldots,f_n$ не зависят от аргумента на неизвестните функции. Дефиниционното множество $U$ се нарича фазово пространство на системата, а образът на дефиниционния интервал на всяко решение на систематата се нарича фазова крива на системата. Тези названия произтичат от интерпретацията на системата, в която $t$ играе ролята на времето, а $x_1,\ldots, x_n$ са параметри свързани с някой процес, чиито състояния (фази), във всеки момент от времето се описват със системата.
Всяка задача на Коши за нормална система $x_j’=f_j(t,x_1(t),\ldots,x_n(t))$, $x_j(t_0)=c_j$, $j\in\{1,\ldots,n\}$, може да се сведе до задача на Коши за автономна система, чрез увеличаване на размерността (броя на уравненията) на системата. Наистина, ако $y_1(t)=t, y_{j+1}=x_j$, $g_1(t)=1, g_{j+1}=f_j$, $b_1=t_0, b_{j+1}=c_j$, $j\in\{1,\ldots, n\}$, то можем да поставим задачата на Коши $y_j’=g_j(y_1,\ldots,y_n), y_j(t_0)=b_j$, $j\in\{1,\ldots,n\}$. Точките $(c_1,\ldots,c_n)\in U$, за които $f_j(c_1,\ldots,c_n)=0$ се наричат особени или равновесни точки на автономната система. Ако $c$ е равновесна точка, то функцията $t\mapsto (x_1(t),\ldots,x_n(t))=(c_1,\ldots,c_n)$ е тривиално решение на системата.
Оказва се, че в околност на неособена точка, всяка задача на Коши за автономна система , може да се сведе до задача на Коши за нормална неавтономна система. Наистина, нека е дадена задачата на Коши \begin{equation}\label{ko6iprob}\begin{cases}x_j’=f_j(x_1,\ldots,x_n)\\x_j(t_0)=c_j\end{cases}, j\in\{1,\ldots,n\} \end{equation} и съществува $k\in\{1,\ldots, n\}$ такова че $f_k(c_1,\ldots,c_n)\neq 0$. Тогава $x_k'(t)\neq 0$ в околност на $t_0$. Тъй като $x_k(t_0)=c_k$, oт теоремата за обратната функция виждаме, че съществува интервал съдържащ $t_0$, който функцията $t\mapsto x_k(t)$ изобразява биективно в интервал съдържащ $c_k$, в който обратната функция $x_k\mapsto t(x_k)$ е диференцируема, $t(c_k)=t_0$ и $t'(x_k)=(x_k'(t(x_k)))^{-1}=(f_k(x_1(t(x_k)),\ldots,x_n(t(x_k)))^{-1}$. От друга страна, от теоремата за диференциране на съставна функция имаме $$\frac{d}{dx_k}\left(x_i(t(x_k))\right)=x_i'(t(x_k))t'(x_k)=\frac{f_i(x_1(t(x_k)),\ldots,x_n(t(x_k)))}{f_k(x_1(t(x_k)),\ldots,x_n(t(x_k)))}, \quad i\in\{1,\ldots, n\}$$ и тъй като $x_i(t(c_k))=x_i(t_0)=c_i$, виждаме, че първоначалната задача на Коши, в която функциите $x_1,\ldots,x_n$, са функции на независимия параметър $t$, се сведе до задачата на Коши $$\begin{equation}\label{traekt}\begin{cases}\frac{d}{dx_k}\left(x_i(t(x_k))\right)= \frac{f_i(x_1(t(x_k)),\ldots,x_n(t(x_k)))}{f_k(x_1(t(x_k)),\ldots,x_n(t(x_k)))}, \quad i\in\{1,\ldots, n\}\setminus\{k\} \\
\frac{d}{dx_k}t(x_k)=\frac{1}{f_k(x_1(t(x_k)),\ldots,x_n(t(x_k)))}
\end{cases}\end{equation}$$ с начални условия $$\begin{cases}x_i(t(c_k))=c_i, \quad i\in\{1,\ldots, n\}\setminus\{k\}\\ t(c_k)=t_0\end{cases},$$ относно функциите $x_i\circ t$ ($i\in\{1,\ldots, n\}\setminus\{k\}$) и $t$, които са функции на $k$-тата координата $x_k$). Да забележим, че получената система е еквивалентна на системата от (2) (тъй като можем да се върнем към нея, чрез обратната смяна $t\mapsto x_k(t)$). Също така десните страни на уравненията не зависят от функцията $t$, а само от $x_i\circ t$ и параметъра $x_k$, тъй като $x_i(t(x_k))=(x_i\circ t)(x_k)$ при $i\neq k$ и $x_k(t(x_k))=x_k$. Оттук виждаме, че ако имаме решение на задачата на Коши \begin{equation}\label{reducir}\frac{d}{dx_j}\left(x_i(t(x_k))\right)= \frac{f_i(x_1(t(x_k)),\ldots,x_n(t(x_k)))}{f_k(x_1(t(x_k)),\ldots,x_n(t(x_k)))}, \quad x_i(t(c_k))=c_i,\quad i\in\{1,\ldots, n\}\setminus\{k\},\end{equation} то лесно намираме решение на задачата на Коши (3). Наистина, като заместим решението на (4) в последното уравнение на (3), интегрираме и изберем интеграционната константа, така че да е изпълнено началното условие $t(c_j)=t_0$, получаваме решение на (3). Можем да забележим също, че интегралните криви на системата (4) са фазовите криви на системата (3).