Теорема за съществуване и единственост (метод на Пикар)
В настоящата тема ще докажем основната теорема в теорията на диференциалните уравнения, която решава въпроса за съществуване и единственост на решението на задачата на Коши за нормална система, при условие, че десните страни на уравненията на системата имат фиксирани свойства.
Твърдение 1. Нека $(t_0,a_1,\ldots a_n)\in\mathbb{R}^{n+1}$, $h>0$, $b>0$, $I=[t_0-h,t_0+h]$, $K=\{(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n| \max\limits_{1\leq i\leq n}|x_i-a_i|\leq b\}$ и $D=I\times K$. Нека функциите $f_j:D\to \mathbb{R}$, $j\in\{1,\ldots,n\}$ са непрекъснати в $D$ и удовлетворяват условието на Липшиц по последните $n$ променливи, при фиксирана първата променлива, т. е. съществува число $L>0$, такова че за всяка двойка точки $(t, x_1,\ldots,x_n), (t, y_1,\ldots,y_n)\in D$ е изпълнено $ |f_j(t, x_1,\ldots,x_n)-f_j(t, y_1,\ldots,y_n)|\leq L\max\limits_{1\leq i\leq n}|x_i-y_i|$, за всяко $j\in\{1,\ldots, n\}$. Тогава съществува решение на задачата на Коши $$\begin{equation}x_j’=f_j(t,x_1,\ldots,x_n), x_j(t_0)=a_j, j\in\{1,\ldots,n\},\end{equation}$$ дефинирано поне в интервала $J=[t_0-\delta,t_0+\delta]$, където $\delta=\min\{h,\frac{b}{M}\}$ и $M=\max\limits_{1\leq j\leq n}\sup\{|f_j(t,x_1,\ldots,x_n)||(t,x_1,\ldots,x_n)\in D\}$. При това, ако $(\varphi_1,\ldots, \varphi_n)$ и $(\psi_1,\ldots,\psi_n)$ са две решения на (1), дефинирани съответно в интервали $I_{\varphi}, I_{\psi}\subseteq\mathbb{R}$, то съществува интервал $I_0\subseteq I_{\varphi}\cap I_{\psi} $, такъв че $t_0\in I_0$ и $\psi_j(t)=\varphi_j(t)$, $j\in\{1,\ldots,n\}$ за всяко $t\in I_0$.
Доказателство. Отбелязваме, че съществуването на числото $M$ следва от теоремата на Вайерщрас за непрекъснатите функции върху компакт. От непрекъснатостта на $f$ и теоремата на Нютон-Лайбниц следва, че всяко решение на задачата на Коши (1), дефинирано в някой интервал $I\subseteq\mathbb{R}$, удовлетворява следната система от интегрални уравнения $$\begin{equation}x_j(t)=a_j+\int_{t_0}^tf_j(s,x_1(s),\ldots,x_n(s))ds\end{equation}, \quad j\in\{1,\ldots,n\},$$ за всяко $t\in I$ и обратно, всяка векторна функция, чиито координати удовлетворяват последната система в някой интервал съдържащ $t_0$ е решение на задачата на Коши в същия интервал.
Разглеждаме следните редици от функции $$x_{j,1}(t)=a_j, \quad x_{j,k+1}(t)=a_j+\int_{t_0}^tf_j(s, x_{1,k}(s),\ldots,x_{n,k}(s))ds,\quad k\in\mathbb{N}, \quad j\in\{1,\ldots,n\}.$$ За тези редици ще покажем, че са коректно дефинирани и равномерно сходящи в интервала $J$. За да се убедим в първото трябва да покажем, че за всяко $k\in\mathbb{N}$ е изпълнено $(x_{1,k}(t),\ldots,x_{n,k}(t))\in K$ за всяко $t\in J$. Това ще докажем с индукция. Ясно, е че твърдението е вярно при $k=1$, тъй като $(a_1,\ldots,a_n)\in K$. Ако допуснем, че $(x_{1,k}(t),\ldots,x_{n,k}(t))\in K$ за всяко $t\in J$, ще покажем че $(x_{1,k+1}(t),\ldots,x_{n,k+1}(t))\in K$ за всяко $t\in J$. Наистина $$|x_{j,k+1}(t)-a_j|\leq\left|\int_{t_0}^tf_j(s,x_{1,k}(s),\ldots,x_{n,k}(s))ds\right|\leq \left|\int_{t_0}^t|f_j(s,x_{1,k}(s),\ldots,x_{n,k}(s))|ds\right| \leq M\left|\int_{t_0}^tdt\right|=M|t-t_0|\leq M\frac{b}{M}=b.$$ Сега да докажем, че за всяко $j\in\{1,\ldots,n\}$ редицата $k\mapsto x_{j,k}$ е равномерно сходяща редица от непрекъснати функции в $J$. За целта образуваме реда $x_{j,1}+\sum_{k=1}^{\infty}(x_{j,k+1}-x_{j,k})$, чиято редица от частични суми е $k\mapsto x_{j,k}$, след което ще се убедим, чрез критерия на Вайерщрас, че този ред е равномерно сходящ в $J$. Наистина, тъй като $$|x_{j,k+1}(t)-x_{j,k}(t)|=\left|a_j+ \int_{t_0}^tf_j(s,x_{1,k}(s),\ldots,x_{n,k}(s))ds – a_j-\int_{t_0}^tf_j(s,x_{1,k-1}(s),\ldots,x_{n,k-1}(s))ds\right|=$$$$=\left| \int_{t_0}^tf_j(s,x_{1,k}(s),\ldots,x_{n,k}(s))- f_j(s,x_{1,k-1}(s),\ldots,x_{n,k-1}(s))ds\right|\leq\left| \int_{t_0}^t|f_j(s,x_{1,k}(s),\ldots,x_{n,k}(s))- f_j(s,x_{1,k-1}(s),\ldots,x_{n,k-1}(s))|ds \right|\leq $$$$\leq \left|\int_{t_0}^tL\max\limits_{1\leq j\leq n}|x_{j,k}(s)-x_{j,k-1}(s)|ds\right|=L\left|\int_{t_0}^t\max\limits_{1\leq j\leq n}|x_{j,k}(s)-x_{j,k-1}(s)|ds\right|,$$ и $|x_{j,2}(t)-x_{j,1}(t)|=|x_{j,2}(t)-a_j|\leq M|t-t_0|$, виждаме, че $|x_{j,3}(t)-x_{j,2}(t)|\leq L\left|\int_{t_0}^t\max\limits_{1\leq j\leq n}|x_{j,2}(s)-x_{j,1}(s)|ds\right|\leq L|\int_{t_0}^tM|s-t_0|ds|\leq LM\frac{|t-t_0|^2}{2!}$ откъдето по индукция $$ |x_{j,k+1}(t)-x_{j,k}(t)|\leq L^{k-1}M\frac{|t-t_0|^k}{k!}\leq L^{k-1}M\frac{h^k}{k!} .$$ Тъй като редът $\sum_{k=1}^{\infty}L^{k-1}M\frac{h^k}{k!}$ е сходящ, от последните неравенства и критерия на Вайерщрас следва, че за всяко $j\in\{1,\ldots, n\}$ редът $x_{j,1}+\sum_{k=1}^{\infty}(x_{j,k+1}-x_{j,k})$ е равномерно сходящ в $J$. Нека за всяко $j\in\{1,\ldots, n\}$ дефинираме $x_j:J\to\mathbb{R}$ с $x_j(t)=\lim\limits_{k\to\infty}x_{j,k}(t)$. Ще покажем, че $n$-орката функции $x_1,\ldots,x_n$ е решение на задачата на Коши (1), като установим, че тези функции удовлетворяват (2) в интервала $J$. Най- напред да забележим, че за всяко $t\in J$, след граничен преход в неравенствата $|x_{j,k}(t)-a_j|\leq b$, при $k\to\infty$ пoлучаваме, че $|x_j(t)-a_j|\leq b$, което показва, че $(t,x_1(t),\ldots, x_n(t))\in D$ за всяко $t\in J$. Да забележим също, че функциите $x_j$ са непрекъснати в $J$, като граници на равномерно сходящи редици от непрекъснати функции. Следователно функциите $y_j(t)=a_j+\int_{t_0}^tf_j(s,x_1(s),\ldots,x_n(s))ds, t\in J$ са коректно дефинирани в $J$ (като интеграли от непрекъснати функции). За да установим, че $(x_1,\ldots,x_n)$ удовлетворява (2) в $J$, ще докажем, че $\lim\limits_{k\to\infty}x_{j,k}(t)=y_j(t)$ за всяко $t\in J$. Действително, от равномерната сходимост, за всяко $\varepsilon>0$ съществува $m\in\mathbb{N}$, такова че за всяко $n>m$ е изпълнено $|x_{j,k}(t)-x_{j}(t)|<\varepsilon$ за всяко $t\in J$, $j\in\{1,\ldots,n\}$. Тогава $$|x_{j,k}(t)-y_j(t)|=\left|a_j+ \int_{t_0}^tf_j(s,x_{1,k}(s),\ldots,x_{n,k}(s))ds – a_j-\int_{t_0}^tf_j(s,x_1(s),\ldots,x_n(s))ds \right|=$$$$=\left| \int_{t_0}^tf_j(s,x_{1,k}(s),\ldots,x_{n,k}(s))- f_j(s,x_1(s),\ldots,x_n(s))ds \right|\leq\left| \int_{t_0}^t|f_j(s,x_{1,k}(s),\ldots,x_{n,k}(s))- f_j(s,x_1(s),\ldots,x_n(s))|ds \right|\leq$$$$\leq\left|\int_{t_0}^tL\max\limits_{1\leq j\leq n}|x_{j,k}(s)-x_{j}(s)|ds\right|<L\varepsilon\left|\int_{t_0}^tds\right|=L\varepsilon|t-t_0|\leq Lh\varepsilon.$$
Остана да покажем, че решението на задачата на Коши (1) е единствено, в смисъл, че ако $z_1,\ldots,z_n$ е решение на (1) дефинирано в интервала $J_0\subseteq\mathbb{R}$, то съществува интервал $I_0\subseteq J\cap J_0$, за който $z_j(t)=x_j(t)$ за всяко $t\in I_0$, $j\in\{1,\ldots,n\}$. Допускаме противното. Тогава за всяко достатъчно голямо $k\in\mathbb{N}$ съществува $t_k\in (t_0-\frac{1}{k},t_0+\frac{1}{k})\subseteq J\cap J_0$, за което $z_j(t_k)\neq x_j(t_k)$. Следователно за всяко $j\in\{1,\ldots,n\}$ имаме $$0<|x_j(t_k)-z_j(t_k)|=\left|\int_{t_0}^{t_k}f_j(s,x_1(s),\ldots,x_n(s))- f_j(s,z_1(s),\ldots,z_n(s))ds\right|\leq$$$$\left|\int_{t_0}^{t_k}|f_j(s,x_1(s),\ldots,x_n(s))- f_j(s,z_1(s),\ldots,z_n(s))|ds \right|\leq \left|\int_{t_0}^{t_k}L\max\limits_{1\leq j\leq n}|x_j(s)-z_j(s))|ds \right|.$$ Нека $I_k$ е интервалът с краища $t_0$ и $t_k$. Тогава $$ \left|\int_{t_0}^{t_k}L\max\limits_{1\leq j\leq n}|x_j(s)-z_j(s))|ds \right| \leq\left| \int_{t_0}^{t_k}L\max\limits_{1\leq j\leq n}\left\{\sup\limits_{s\in I_k}| x_j(s)-z_j(s))|\right\}ds \right|= L\max\limits_{1\leq j\leq n}\left\{\sup\limits_{s\in I_k}| x_j(s)-z_j(s))|\right\}\left|\int_{t_0}^{t_k}ds\right|.$$ Ако означим $N_k=\max\limits_{1\leq j\leq n}\left\{\sup\limits_{s\in I_k}| x_j(s)-z_j(s))|\right\}$, от горните неравенства получаваме $0< |x_j(t_k)-z_j(t_k)|\leq N_k \leq LN_k|t_0-t_k|<\frac{LN_k}{k}$, откъдето $1<\frac{L}{k}$. Очевидно последното неравенство не е вярно при достатъчно голямо $k$, следователно допускането е неправилно, с което твърдението е доказано.
Забележка. Може да се докаже и по-силно твърдение, а именно, че ако $f_1,\ldots,f_n$ са непрекъснати в област $D\subseteq\mathbb{R}^{n+1}$ и всяка точка на $D$ има околност, в която $f_1,\ldots,f_n$ удовлетворяват условието на Липшиц по последните $n$ променливи, при фиксирана първата променлива, то задачата на Коши (1) има решение, дефинирано в компактна околност на $t_0$ (от вида на $I$) и всеки две решения съвпадат в сечението на дефиниционните си интервали.
Забележка. Лесно се проверява, че ако функциите $f_1,\ldots,f_n$ имат ограничени частни производни по последните $n$ променливи в околност на точката $(t_0,a_1,\ldots,a_n)$, то те удовлетворяват условието на Лишпиц в тази околност. В частност това е така, когато тези производни са непрекъснати в точката $(t_0,a_1,\ldots,a_n)$. Тези достатъчни условия са полезни, тъй като са удобни за прилагане.