Точни диференциални уравнения
Определение 1. Точно диференциално уравнение или уравнение от пълен диференциал се нарича уравнение от вида $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,$ където $P,Q$ са непрекъснати функции в отворено множество $D\subseteq\mathbb{R}^2$ и $P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ е точен диференциал в $D$.
Напомняме, че диференциалът $Pdx+Qdy$ се нарича точен в $D$, ако съществува напрекъснато-диференцируема функция $F:D\to\mathbb{R}$, такава че $dF=Pdx+Qdy$. Такава функция се нарича примитивна на диференциала $Pdx+Qdy$. Тъй като по определение $dF=F_xdx+F_ydy$, функцията $F$ трябва да удовлетворява в $D$ частните диференциални уравнения $F_x=P$ и $F_y=Q$. С други думи, за да намерим примитивна на един точен диференциал, трябва да намерим функция, ако са дадени нейните частни производни. Казваме, че диференциалът $Pdx+Qdy$ е локално точен в $D$, ако всяка точка от $D$, има околност в която диференциалът е точен.
Как да разберем кога един диференциал е точен? Доказва се, че $Pdx+Qdy$ е точен в $D$ тогава и само тогава, когато стойността на криволинейния интеграл $\int_{\gamma}Pdx+Qdy$, не зависи от избора на частично гладката крива $\gamma$ в $D$, с краища две фиксирани точки от $D$ (вж. Твърдение 6 от КА-14). По-точно, ако $dF=Pdx+Qdy$, то за всяка частично гладка крива $\gamma\subset D$, с начало $(a,b)\in D$ и край $(x,y)\in D$, имаме $\int_{\gamma}Pdx+Qdy=F(x,y)-F(a,b)$. Ако пък за всяка частично гладка крива $\gamma\subset D$ с начало точката $(a,b)$ и край точката $(x,y)$, стойността на криволинейния интеграл $\int_{\gamma}Pdx+Qdy$ е постоянна, то в $D$ е определена функцията $F(x,y)=\int_{\gamma}Pdx+Qdy$ и за нея се доказва, че $dF=Pdx+Qdy$.
В случая, когато формата $Pdx+Qdy$ е непрекъснато диференцируема в $D$, (т. е. функциите $P, Q$ имат непрекъснати частни производни в $D$), се доказва, че диференциалът $Pdx+Qdy$ е локално точен тогава и само тогава, когато той е затворен в $D$, т. е. когато $P_y-Q_x=0$ в $D$ (вж. Твърдение 4 от КА-15). Лесно се проверява, че всеки точен доференциал в $D$ с непрекъснато-диференцируеми коефициенти е затворен в $D$ (това следва от теоремата за равенство на смесените производни). Обратното твърдение обаче е вярно само локално. Доказва се (не тривиално), че един затворен диференциал в област $D\subset\mathbb{R}^2$ е точен в цялата област $D$ (а не само локално) ако областта $D$ е едносвързана, т. е. ако (образно казано) $D$ е област без дупки, с други думи, всяка затворена крива в $D$ може да се деформира непрекъснато в точка от $D$. (вж. Твърдение 3 от КА-16)
Едно точно диференциално уравнение $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ в отворено множество $D\subseteq\mathbb{R}^2$ се решава, като се намери примитивна на диференциалa $P(x,y)dx+Q(x,y)dy$, в околност $U$ на произволна фиксирана точка $(a,b)$ от $D$. Ако $F$ е примитивна на $Pdx+Qdy$ в $U$ и $Pdx+Qdy=0$, то $dF=0$ в $U$. Следователно $F$ е постоянна в $U$ (тъй като за всяка частично гладка крива $\gamma\subset U$ с начало точката $(a,b)$ и край точката $(x,y)$, имаме $0=\int_{\gamma}dF=F(x,y)-F(a,b)$). Ако непрекъснато-диференцируемите функции $x:(\alpha,\beta)\to\mathbb{R}$, $y:(\alpha,\beta)\to\mathbb{R}$ са такива че $(x(t),y(t))\in U$, $x'(t)^2+y'(t)^2>0$ и $F(x(t),y(t))=c$ в интервала $(\alpha,\beta)$, за някое $c\in\mathbb{R}$, то $$F’_x(x(t),y(t))x'(t)+F’_y(x(t),y(t))y'(t)=P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)=0$$ в $(\alpha,\beta)$ и следователно кривата определена с $t\mapsto(x(t),y(t))$ е решение на уравнението $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$. Обратно, всяко решение на точното уравнение $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=dF=0$ е гладка крива $t\mapsto(x(t),y(t))$, за която $F(x(t),y(t))=c$, за някоя константа $c\in\mathbb{R}$, в някой интервал $(\alpha,\beta)$, тъй като $$0=P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)=F_x(x(t),y(t))x'(t)+F_y(x(t),y(t))y'(t)=\frac{d}{dt}\left(F(x(t),y(t))\right)$$ в $(\alpha,\beta)$ и следователно функцията $t\mapsto F(x(t),y(t))$ е постоянна в $(\alpha,\beta)$. Така виждаме, че интегралните криви на точно диференциално уравнение $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ се определят локално от уравнението $F(x,y)=c$, където $F$ е примитивна на формата $Pdx+Qdy$ и $c$ принадлежи на множеството от стойности на $F$.
Ще напомним, че ако точката $(a,b)\in D$ не е особена за формата $Pdx+Qdy$, т. е. $P(a,b)\neq 0$ или $Q(a,b)\neq 0$, то съответно $F_x(a,b)\neq 0$ или $F_y(a,b)\neq 0$ и тогава през точката $(a,b)$ минава единствена интегрална крива на уравнението $Pdx+Qdy=0$, а ако $(a,b)$ e особена точка за формата $Pdx+Qdy$, то през тази точка може да минават повече от една интегрална крива на уравнението $Pdx+Qdy=0$, а може изобщо да не минават такива криви (вж. Твърдение 1 и примерите в Упражнения