Линейни нехомогенни системи с постоянни коефициенти
В настоящата тема ще обърнем внимание на методите за решаване на нормални линейни нехомогенни системи от диференциални уравнения, с постоянни комплексни коефициенти, т. е. системи от вида $\frac{dx}{dt}=Ax+f(t)$, където $n\in\mathbb{N}$ и $A\in \mathbb{C}^{n\times n}$, т. е. $A$ е $n\times n$ матрица от комплексни числа, $x:I\to\mathbb{C}^{n\times 1}$ е неизвестна диференцируема векторна функция (чиито стойности са матрици стълбове), дефинирана в интервал $I\subseteq\mathbb{R}$, а $f:I\to\mathbb{C}^{n\times 1}$ е известна векторна функция. Решенията на такава система се определят по следния начин.
1) Намираме всички решения на съответната хомогенна система $\frac{dx}{dt}=Ax$ по метода описан в Тема 20
2) Определяме частно решение на нехомогенната система $\frac{dx}{dt}=Ax+f(t)$. Това в общия случай може да се направи с метода на Лагранж, или с метода на неопределените коефициенти (който ще разгледаме по-долу), когато функцията $f$ е сума от векторни квазиполиноми.
3) Определяме всички решения на нехомогенната система $\frac{dx}{dt}=Ax+f(t)$ използвайки факта, че всяко решение на тази система има вида $x=x_0+x_1$, където $x_0$ е решение на хомогенната система $\frac{dx}{dt}=Ax$, а $x_1$ е частно решение на нехомогенната система $\frac{dx}{dt}=Ax+f(t)$.
Да опишем метода за определяне на частно решение на нехомогенната система $\frac{dx}{dt}=Ax+f(t)$, който е приложим в случая, когато функцията $f$ е сума на векторни квазиполиноми, т. е. $f(t)=\sum_{j=1}^mP_j(t)e^{a_jt}$, където $P_j$ са комплексни векторни полиноми и $a_j\in\mathbb{C}$, $j\in\{1,\ldots,m\}$. За намирането на частно решение на такава система се прилага принципа на суперпозицията, т. е. намират се частни решения $f_1,\ldots,f_m$ на системите $\frac{dx}{dt}=Ax+P_1(t)e^{a_1t},\ldots, \frac{dx}{dt}=Ax+P_m(t)e^{a_mt}$, при което (според този принцип) частно решение на системата $\frac{dx}{dt}=Ax+f(t)$ е функцията $g=f_1+\ldots+f_m$. По този начин задачата се свежда до намиране на частно решение на системата $\frac{dx}{dt}=Ax+f(t)$ в случая, когато $f$ е векторен квазиполином, т. е. $f(t)=P(t)e^{at}$, където $P$ е комплексен векторен полином и $a$ е комплексно число. В този случай, частно решение на системата се търси във вид на векторен квазиполином със същия показател, както показателя на $f$, но степента на този векторен квазиполином се избира в зависимост от това дали показателят $a$ на $f$ е корен на характеристичния полином, на матрицата $A$ или не. Съображенията за това произтичат от факта, че производната и произведението с матрица, на векторен квазиполином, с фиксиран показател, е отново векторен квазиполином, със същия показател. И тъй, ако степента на $f$ е $m$ и $a$ е $k$-кратен корен на характеристичния полином на $A$, то частно решение на системата се търси във вида $g(t)=Q(t)e^{at}$, където $\deg Q=k+m$ (степента на този полином може да се избира и по-малка, но за това ще стане дума по-долу). Ако $a$ не е корен на характеристичния полином на $A$, то частно решение на системата се търси във вида $g(t)=Q(t)e^{at}$, където $\deg Q=m$. И в двата случая полиномът $Q$ се определя от условието $g$ да е решение на нехомогенната система $\frac{dx}{dt}=Ax+f(t)$, т. е. от уравнението $\frac{dg}{dt}=Ag+ P(t)e^{at}$. В случай, че $a$ не е корен на характеристичния полином на $A$, частното решение на системата се определя еднозначно от това уравнение. Наистина, тъй като $ \frac{dg}{dt}=Q'(t)e^{at}+aQ(t)e^{at}$, равенството $\frac{dg}{dt}=Ag+ P(t)e^{at}$ има вида $ Q'(t)e^{at}+aQ(t)e^{at}=AQ(t)e^{at}+P(t)e^{at}$. След съкращаване с $e^{at}$, получаваме \begin{equation}AQ(t)-aQ(t)=Q'(t)-P(t).\end{equation} Нека $P(t)=\sum_{j=0}^mp_jt^j$, $Q(t)=\sum_{j=0}^mq_jt^j$, тогава $$AQ(t)-aQ(t)=A \sum_{j=0}^mq_jt^j-a\sum_{j=0}^mq_jt^j= \sum_{j=0}^m(Aq_j-aq_j)t^j= \sum_{j=0}^m[(A-aE)q_j]t^j,\quad Q'(t)-P(t)= \sum_{j=1}^{m}jq_jt^{j-1}-\sum_{j=0}^mp_jt^j.$$ Следователно $$\sum_{j=0}^m[(A-aE)q_j]t^j=\sum_{j=0}^{m-1}(j+1)q_{j+1}t^{j}- \sum_{j=0}^mp_jt^j=\sum_{j=0}^{m-1}[(j+1)q_{j+1}-p_j]t^j-p_mt^m,$$ т. е. $$\sum_{j=0}^{m-1}[(A-aE)q_j]t^j+ [(A-aE)q_m]t^m= \sum_{j=0}^{m-1}[(j+1)q_{j+1}-p_j]t^j-p_mt^m,$$ откъдето $$ \sum_{j=0}^{m-1}[(A-aE)q_j- (j+1)q_{j+1}+p_j ]t^j+[(A-aE)q_m+p_m]t^m=0.$$ Следователно векторните коефициенти на получения полином са нулеви. Тъй като $a$ не е корен на характеристичния полином на $A$, матрицата $A-aE$ е обратима. Следователно $q_m= -(A-aE)^{-1}p_m$ и коефициентите $q_{m-1},\ldots,q_1,q_0$ се определят последователно от $q_j= (A-aE)^{-1}((j+1)q_{j+1}-p_j)$, за $j\in\{0,\ldots,m-1\}$. Оттук можем да забележим също, че ако $a$ е корен на характеристичния полином на $A$, то матрицата $A-aE$ е необратима и следователно е напълно възможно, да не съществуват вектори $x$ за които $(A-aE)x=-p_m$, т. е. в този случай полиномът $Q$ не може да се определи. Следователно когато $a$ е корен на характеристичния полином на $A$ е необходимо да търсим $Q$ от степен по-висока от степента на $P$. Както ще се убедим по-долу, в този случай могат да се определят безбройно много частни решения на нехомогенната система. Това се дължи на факта, че коефициентите на $Q$ не са определени еднозначно.