Нормални линейни системи. Метод на Лагранж
В настоящата тема ще разгледаме нормални системи от вида $$\frac{dx_j}{dt}=a_{j1}(t)x_1+\ldots+a_{jn}(t)x_n+f_j(t),\quad j\in\{1,\ldots,n\},$$ където $n\in\mathbb{N}$, $a_{jk}:I\to\mathbb{F}$ и $f_j:I\to\mathbb{F}$, $j,k\in\{1,\ldots,n\}$ са известни непрекъснати функции в интервал $I\subseteq\mathbb{R}$, а $x_j:I\to\mathbb{F}$, $j\in\{1,\ldots,n\}$ са неизвестни диференцируеми функции, приемащи стойности в $\mathbb{F}$, където $\mathbb{F}$ означава кое да е от полетата $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$. Такава нормална система се нарича линейна и по-конкретно линейна хомогенна система, ако функциите $f_j$ са тъждествено нула в $I$ и линейна нехомогенна система, ако поне една от функциите $f_j$ не е тъждествено нула в $I$). Числото $n$ се нарича размерност на системата, а функциите $a_{ij}$ се наричат коефициенти на системата. Задачата на Коши за линейни системи се поставя по същият начин, както за всички нормални системи, т. е. ако са дадени числа $y_1,\ldots,y_n\in\mathbb{F}$ и $t_0\in I$, търсим диференцируеми функции $x_1,\ldots,x_n$, удовлетворяващи системата $\frac{dx_j}{dt}=a_{j1}(t)x_1+\ldots+a_{jn}(t)x_n+f_j(t),\quad j\in\{1,\ldots,n\}$, такива че $x_1(t_0)=y_1,\ldots,x_n(t_0)=y_n$. Една специфика на линейните системи, е че за разлика от общите нормални системи, задачата на Коши винаги има единствено решение, дефинирано в целия интервал $I$, в който са дефинирани коефициентите $a_{ij}$ и функциите $f_j$. В това можем да се убедим, като проверим, че функциите $(t,x_1,\ldots,x_n)\mapsto a_{j1}(t)x_1+\ldots+a_{jn}(t)x_n+f_j(t), j\in\{1,\ldots,n\}$ са удовлетворяват условието на Липшиц по $x_1,\ldots,x_n$, за всяко фиксирано $t\in I$, и приложим метода на Пикар (вж. Твърдение 1 от Тема 11), към съответната нормална система, в произволен компактен интервал, съдържащ се в $I$ .
За описанието на линейните нормални системи е удобно да се използват матрици. Напомняме, че $\mathbb{F}^{m\times n}$ означава множеството на всички $m\times n$ матрици (матриците с $m$ реда и $n$ стълба) с елементи от $\mathbb{F}$. Ако дефинираме $$x=\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix},\quad \frac{dx}{dt}=\begin{pmatrix}\frac{dx_1}{dt} \\ \vdots \\ \frac{dx_n}{dt}\end{pmatrix},\quad A(t)=\begin{pmatrix}a_{11}(t)&\ldots&a_{1n}(t) \\ \ldots &\ldots&\ldots \\a_{n1}(t)&\ldots&a_{nn}(t) \end{pmatrix},\quad f(t)=\begin{pmatrix}f_1(t) \\ \vdots \\ f_n(t)\end{pmatrix},$$ и използваме известните от линейната алгебра операции с матрици, то горната система може да се запише по следния начин $$\frac{dx}{dt}=A(t)x+f(t).$$ Непосредствено се проверява, че ако $\varphi$ и $\psi$ са решения на хомогенната система $\frac{dx}{dt}=A(t)x$ в даден интервал и $\lambda\in\mathbb{F}$, то $\varphi+\psi$ и $\lambda\varphi$ са решения на тази система в същия интервал. Следователно множеството от решения на всяка линейна хомогенна система е векторно пространство над $\mathbb{F}$ (то е подпространство на векторното пространство от всички диференцируеми в даден интервал функции, приемащи стойности в $\mathbb{F}$).
Забележка. В пространството $V$ от диференцируемите векторни функции дефинирани в интервал $I$ и приемащи стойности в $\mathbb{F}^{n\times 1}$, изображението $L:V\to V$ дефинирано с $L(x)=\frac{dx}{dt}-A(t)x$ е линеен оператор. Тогава задачата за решаване на нехомогенната система $\frac{dx}{dt}=A(t)x+f(t)$ представлява задачата за решаване на линейното нехомогенно уравнение $L(x)=f$ и по-точно за описание на множеството $L^{-1}(f)\subseteq V$, т. е. пълният прообраз на $f$ чрез $L$. В частност, задачата за решаване на хомогенната система $\frac{dx}{dt}=A(t)x$, представлява задачата за описание на ядрото $\ker L=\{x\in V|L(x)=0\}$ на оператора $L$. Лесно се проверява следното твърдение от линейната алгебра. Ако $L:V\to W$ е линейно изображение между две векторни пространства $V$ и $W$ (над едно и също поле), $w\in W$ и $v\in L^{-1}(w)$, то $L^{-1}(w)=v+\ker L$. Оттук виждаме, че за да опишем множеството от решения на уравнението $L(x)=w$ е достатъчно да определим едно решение $v$ (което обикновено се нарича частно решение) и ядрото на $L$. При това, в сила е следният принцип на суперпозицията: ако $w_1,w_2\in W$ и $v_1,v_2\in V$ са такива, че $L(v_1)=w_1$ и $L(v_2)=w_2$ (т. е. $v_1,v_2$ са решения на уравненията $L(x)=w_1$ и $L(x)=w_2$), то $L(v_1+v_2)=L(v_1)+L(v_2)=w_1+w_2$, (т. е. $v_1+v_2$ e решениe на уравнението $L(x)=w_1+w_2$). Тези твърдения е удобно да се прилагат при практическото решаване на линейни системи.
Основният резултат в теорията на линейните нормални системи е, че множеството от решения на всяка линейна хомогенна система с размерност $n$ е $n$-мерно векторно пространство над $\mathbb{F}$. Това следва от теоремата за съществуване и единственост на решение на задачата на Коши. Действително, нека $V$ е множеството от решения на хомогенната система $\frac{dx}{dt}=A(t)x$, дефинирани в интервала $I\subseteq\mathbb{R}$ и $\theta:V\to\mathbb{F}^{n\times 1}$ е изображението дефинирано с $\theta(x)=x(t_0)$, където $t_0\in I$ е фиксирана точка. Тогава $\theta$ е линейно биективно изображение, т. е. изоморфизъм на векторни пространства. Линейността на $\theta$ е очевидна. Ако $y_0\in\mathbb{F}^{n\times 1} $, дефинираме $\theta^{-1}(y_0)$ да бъде единственото решение на задачата на Коши $\frac{dx}{dt}=A(t)x, x(t_0)=y_0$. Тогава $\theta$ е сюрективно изображение. От друга страна, ако $\theta(x)=x(t_0)=y(t_0)=\theta(y)$, то $x(t)=y(t)$ за всяко $t\in I$, тъй като според теоремата за единственост, всеки две решения на една задача на Коши съвпадат. Следователно $\theta$ е инективно изображение. Тъй като $ \mathbb{F}^{n\times 1}$ e $n$-мерно векторно пространство, такова е и $V=\varphi^{-1}(\mathbb{F}^{n\times 1})$. Както ще се убедим в следващата тема, важността на този резултат се състои в това, че за да опишем всички решения на една произволна линейна система е достатъчно да разполагаме с база на пространството от решения на съответната хомогенна система. Всяка база на пространството от решения на хомогенната система $\frac{dx}{dt}=A(t)x$ в интервала $I\subseteq\mathbb{R}$ се нарича фундаментална система от решения (ФСР). Ясно е, че прообразът на всяка база на $\mathbb{F}^n$ при дефинирания по-горе изоморфизъм $\theta$ e фундаментална система от решения на $\frac{dx}{dt}=A(t)x$, тъй като всеки изоморфизъм на векторни пространства преобразува база в база.
Да разгледаме сега метода на Лагранж, чрез който можем да определим всички решения на нехомогенната линейна система $\frac{dx}{dt}=A(t)x+f(t)$, където $t\in I$. Ако векторните функци $\varphi_1,\ldots,\varphi_n$ образуват фундаментална система от решения на $\frac{dx}{dt}=A(t)x$, матрицата $\Phi$, чиито стълбове са съответно $\varphi_1,\ldots,\varphi_n$ се нарича фундаментална матрица за системата. Ясно е, че детерминантата на всяка фундаментална матрица не се анулира никъде в дефиниционния си интервал. Следователно всяка фундаментална матрица е обратима и нейната обратна матрица е дефинирана в същия интервал. Методът на Лагранж се състои в това да се направи смяната на променливите $x=\Phi(t)y$ в системата $\frac{dx}{dt}=A(t)x+f(t)$, където $\Phi$ е фундаментална матрица на съответната хомогенна система. Напомяме, че формулата за производна на произведение на две матрици от диференцируеми функции е същата както за произведение на две числови функции. Тогава $\frac{dx}{dt}=\Phi'(t)y+\Phi(t)\frac{dy}{dt}$ и след заместване в системата получаваме $$\Phi'(t)y+\Phi(t)\frac{dy}{dt}=A(t)\Phi(t)y+f(t),$$ т. е. $\Phi(t)\frac{dy}{dt}=[A(t)\Phi(t) – \Phi'(t)]y+f(t)$. От формулата за произведение на две матрици и факта, че стълбовете на $\Phi$ са решения на $\frac{dx}{dt}=A(t)x$, т. е. $\frac{d\varphi_j}{dt}=A(t)\varphi_j$ за $j\in\{1,\ldots,n\}$), получаваме, че $\Phi'(t)= A(t)\Phi(t)$. Следователно със смяната $x=\Phi(t)y$, системата $\frac{dx}{dt}=A(t)x+f(t)$ се преобразува в системата $\Phi(t)\frac{dy}{dt}=f(t)$. Тъй като $\Phi$ е обратима матрица, от последната система получаваме системата $\frac{dy}{dt}= (\Phi(t))^{-1}f(t)$, която се решава с непосредствено интегриране. Напомняме, че диференцирането и интегрирането на матрици в даден интервал става поелементно и резултатът от тези операции е отново матрица. Следователно $y(t)= \int(\Phi(t))^{-1}f(t)dt$, откъдето $x(t)=\Phi(t)y(t)=\Phi(t) \int(\Phi(t))^{-1}f(t)dt$.
Оттук виждаме, че за да намерим решенията на произволна линейна система е достатъчно да познаваме една фундаментална система от решения на съответната хомогенна система. При това можем да забележим, че всички решения на хомогенната система се описват като линейни комбинации на векторите от фундаменталната система, а от метода на Лагранж и основната теорема на интегралното смятане виждаме, че ако $G$ една от примитивните на $\Phi^{-1}f$, то $\Phi G$ е едно частно решение на нехомогенната система.