Редици от комплексни числа
Определение 1. Редица от комплексни числа (редица в $\mathbb{C}$) се нарича изображение (функция) от $\mathbb{N}$ в $\mathbb{C}$. Ако е дадена редицата $f:\mathbb{N}\to\mathbb{\mathbb{C}}$, за произволно $n\in\mathbb{N}$, стойността $f(n)$ означаваме с $f_n$, a редицата $f$ с $(f_n)_{n=1}^{\infty}$. Нека $\mathbb{C}^{\mathbb{N}}$ означава множеството от всички редици от комплексни числа. Тогава можем да дефинираме операциите $+:\mathbb{C}^{\mathbb{N}}\times\mathbb{C}^{\mathbb{N}}\to \mathbb{C}^{\mathbb{N}}$, $\cdot:\mathbb{C}^{\mathbb{N}}\times\mathbb{C}^{\mathbb{N}}\to \mathbb{C}^{\mathbb{N}}$ (събиране и умножение на редици), по следния начин: $(f+g)_n=f_n+g_n$, $(f\cdot g)_n=f_ng_n$. Казваме, че редицата $f:\mathbb{N}\to\mathbb{\mathbb{C}}$
a) е ограничена, ако съществува $M\geq 0$ такова, че $|f_n|\leq M$ за всички $n\in\mathbb{N}$,
б) е неограничена, ако не е ограничена,
в) клони към $a\in\mathbb{C}$ (пишем $f\to a$, $\lim f=a$ или $\lim\limits_{n\to\infty} f_n=a$), ако за всяко $\varepsilon>0$, съществува $m\in\mathbb{N}$, такова че за всички $n>m$ е изпълнено $|f_n-a|<\varepsilon$,
г) е сходяща, ако съществува число $a\in\mathbb{C}$, за което $f\to a$. Числото $a$ се нарича граница на редицата,
д) е разходяща, ако не е сходяща,
е) клони към безкрайност, (пишем $f\to \infty$, $\lim f=\infty$ или $\lim\limits_{n\to\infty} f_n=\infty$), ако за всяко $\varepsilon>0$, съществува $m\in\mathbb{N}$, такова че за всички $n>m$ е вярно $|f_n|\geq \varepsilon$.
Упражнение 1. Покажете, че по отношение на операциите събиране и умножение на редици множеството $\mathbb{C}^{\mathbb{N}}$ е комутативен пръстен с единица. Опишете множеството $(\mathbb{C}^{\mathbb{N}})^*$ от обратимите елементи на $\mathbb{C}^{\mathbb{N}}$. По какъв начин $\mathbb{C}$ се влага като подмножество в $\mathbb{C}^{\mathbb{N}}$?
Упражнение 2. Покажете, че
а) всяка сходяща редица има единствена граница.
б) всяка сходяща редица е ограничена.
Упражнение 3. Покажете, че всяка редица, която клони към безкрайност е неограничена. Посочете пример, който илюстрира, че обратното не е вярно.
Упражнение 4. Нека $a:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$ е редица. Дефинираме редицата $|a|:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$ с $|a|_n=|a_n|$. Ако $a_n\neq 0$, за всички $n\in\mathbb{N}$, можем да дефинираме редицата $a^{-1}:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$ с $a^{-1}_n=(a_n)^{-1}$ (редицата $a^{-1}$ означаваме още с $\frac{1}{a}$).
Покажете, че
а) $a\to 0\Leftrightarrow |a|\to 0$,
б) ако $a_n\neq 0$, за всички $n\in\mathbb{N}$, то $a\to \infty\Leftrightarrow a^{-1}\to 0$ и $a\to 0\Leftrightarrow a^{-1}\to \infty$.
Упражнение 5. Нека $a:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$ и $b:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$ са сходящи редици, като $a\to \alpha$, $b\to \beta$. Покажете, че
а) $a+b\to \alpha+\beta$,
б) $ab\to \alpha\beta$,
в) ако $b_n\neq 0$, за всички $n\in\mathbb{N}$ и $b\neq 0$, то $\frac{a}{b}\to\frac{\alpha}{\beta}$.
Упражнение 6. Нека $a:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$ е ограничена и $b:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$ клони към безкрайност. Покажете, че
а) $a+b\to\infty$,
б) ако $b_n\neq 0$, за всички $n\in\mathbb{N}$, то $\frac{a}{b}\to 0$,
в) Вярно ли е, че $ab\to\infty$?
Упражнение 7. Изяснете смисъла на символите $0.\infty$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\frac{0}{0}$.
Определение 2. Реална и имагинерна част на редицата $a:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$ се наричат реалните редици $\Re a:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ и $\Im a:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ дефинирани с $(\Re a)_n=\Re a_n$ и $(\Im a)_n=\Im a_n$.
Твърдение 1. Нека $\alpha\in\mathbb{C}$. За произволна редица $a:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$, следните условия са еквивалентни: а) $a\to \alpha$, б) $\Re a\to\Re \alpha$ и $\Im a_n\to\Im \alpha$, в) $\overline{a_n}\to\overline{\alpha}$.
Доказателство. Условията а) и б) са еквивалентни, тъй като $|\Re a_n-\Re \alpha|=|\Re(a_n-\alpha)|\leq|a_n-\alpha|$, $|\Im a_n-\Im \alpha|=|\Im(a_n-\alpha)|\leq|a_n-\alpha|$ и $|a_n-\alpha|=\sqrt{(\Re a_n-\Re \alpha)^2+(\Im a_n-\Im \alpha)^2}$.
Например, ако $\Re a\to\Re \alpha$ и $\Im a_n\to\Im \alpha$, и $\varepsilon>0$, то съществуват числа $m, p\in\mathbb{N}$ (евентуално зависещи от $\varepsilon$), за които $|\Re a_n-\Re \alpha|<\frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}$, при $n>m$, и $|\Im a_n-\Im \alpha|<\frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}$, при $n>p$. Тогава при $n>\max\{m,p\}$ имаме $$|a_n-\alpha|=\sqrt{(\Re a_n-\Re \alpha)^2+(\Im a_n-\Im \alpha)^2}<\sqrt{\left(\frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}\right)^2}=\varepsilon.$$ Условията а) и в) са еквивалентни, тъй като $|\overline{a_n}-\overline{\alpha}|=|\overline{a_n-\alpha}|=|a_n-\alpha|$.
Упражнение 8. Проверете, че за произволна редица $a:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$, следните условия са еквивалентни: а) $a\to \infty$, б) $\Re a\to\infty$ или $\Im a\to\infty$.
Подредици точки на сгъстяване на редици
Определение 3. Нека $a:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$ е произволна редица, а $b:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ е растяща редица, т. е. $b_n<b_{n+1}$ за всички $n\in\mathbb{N}$. Редицата $a\circ b$ се нарича подредица на редицата $a$ (определена от $b$). Казваме, че $\alpha\in\mathbb{C}$ е точка на сгъстяване за редицата $a:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$, ако съществува подредица на $a$, която клони към $\alpha$. Иначе казано, ако съществува такава растяща редица $b:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$, че за всяко $\varepsilon>0$, съществува $m\in\mathbb{N}$, такова че ако $n>m$, то $|a_{b_n}-\alpha|<\varepsilon$. Казваме, че $\infty$ е точка на сгъстяване за редицата $a:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$, ако $a$ е неограничена, т. е. за всяко $\varepsilon>0$ и всяко $k\in\mathbb{N}$, съществува естествено число $n>k$, такова че $|a_n|\geq\varepsilon$.
Твърдение 2.
а) Всяка подредица на сходяща редица е също сходяща и има същата граница.
б) Границата на всяка сходяща редица е точка на сгъстяване за редицата,
Доказателство.
а) Нека $a:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$ е сходяща редица и $a\to\alpha$. Тогава за всяко $\varepsilon>0$ съществува $m\in\mathbb{N}$, такова че при $n>m$ е вярно $|a_n-\alpha|<\varepsilon$. Нека $b:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ е произволна растяща редица от естествени числа. Тогава съществува такова $p\in\mathbb{N}$, че $b_k>m$ за всяко $k>p$. Тогава за всяко $k>p$ имаме $|a_{b_k}-\alpha|<\varepsilon$, което показва, че $a\circ b$ е сходяща, с граница $\alpha$.
б) Границата на всяка сходяща редица удовлетворява определението за точка на сгъстяване (избираме $b_n=n$).
Упражнение 9. Дайте примери на редици с 2, 3, $n$ и безбройно много точки на сгъстяване.
Упражнение 10. Покажете, че $\infty$ е точка на сгъстяване за дадена редица, тогава и само тогава, съществува подредица на дадената редица, която клони към $\infty$.
Следващото твърдение се нарича теорема на Вайерщрас (принцип за компактност) и има важни приложения в математическия анализ.
Твърдение 3. Всяка ограничена редица от комплексни числа има сходяща подредица.
Доказателство. Ще използваме, че твърдението е вярно за редици от реални числа (В този случай то се доказва, като се построи редица от вложени интервали, всеки от които съдържа безбройно много стойности на редицата, след което, прилагайки теоремата на Кантор за вложените интервали, се показва, че сечението на тези интервали е точка на сгъстяване на редицата. За целта се установява, че във всяка околност на точката на сгъстяване се съдържа някой интервал от редицата вложени интервали). Ако $z:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$ е ограничена редица, то от неравенствата $|\Re z_n|\leq|z_n|$ и $|\Im z_n|\leq|z_n|$ виждаме, че $\Re z$ и $\Im z$ са ограничени. Тогава, според твърдението за реални редици, $\Re z$ има сходяща подредица, т. е. съществува растяща редица $a:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$, за която $(\Re z)\circ a$ е сходяща. За редицата $(\Im z)\circ a$, знаем само, че е ограничена, (тъй като тя е подредица на ограничената редица $\Im z$), така че не можем да твърдим, че $z\circ a$ е сходяща подредица на $z$. Обаче щом $(\Im z)\circ a$ е ограничена, тя има сходяща подредица, т .е съществува растяща редица $b:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ за която $((\Im z)\circ a)\circ b$ е сходяща и според Твърдение 2 а), редицата $((\Re z)\circ a)\circ b$ е сходяща, тъй като тя е подредица на сходящата редица $(\Re z)\circ a$. Оттук $z\circ a\circ b$ е сходяща подредица на $z$.
Твърдение 4. Eдна редица е сходяща тогава и само тогава, когато е ограничена и има единствена точка на сгъстяване.
Доказателство. Ако една редица е сходяща, то тя е ограничена и според Твърдение 2 б) границата `{и} е точка на сгъстяване. Ако допуснем, че редицата има и друга точка на сгъстяване (различна от границата), то съществува сходяща подредица, която клони към тази точка, а това е противоречие с Твърдение 2 а). Обратно, нека редицата $a:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$ е ограничена и има единствена точка на сгъстяване $\alpha\in\mathbb{C}$. Да допуснем, че $a$ не е сходяща. Тогава съществува $\varepsilon>0$, такова че за всяко $m\in\mathbb{N}$, съществува $n>m$, за което $|a_n-\alpha|\geq \varepsilon$. Следователно съществува растяща редица $b:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$, за която $|a_{b_m}-\alpha|\geq\varepsilon$, т. е. редицата $a\circ b$ не клони към $\alpha$. От друга страна редицата $a\circ b$ е ограничена, тъй като тя е подредица на ограничената редица $a$. Според Твърдение 3 редицата $a\circ b$ има сходяща подредица, т. е. съществува растяща редица $c:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$, за която редицата $a\circ b\circ c$ е сходяща. Границата $\beta$ на тази редица не е $\alpha$, тъй като в противен случай имаме противоречие с неравенството $|a_{b_{c_j}}-\alpha|\geq\varepsilon$, валидно за всяко $j\in\mathbb{N}$. Следователно $\beta\neq\alpha$ е точка на сгъстяване на $a$, което е противоречие с единствеността на точката на сгъстяване.
Забележка. Изискването за ограниченост на редицата е съществено, тъй като без него твърдението не е вярно. Например редицата от естествените числа.
Фундаментални редици
Определение 4. Редицата $a:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$ се нарича фундаментална, ако за всяко $\varepsilon>0$, съществува $m\in\mathbb{N}$, такова че за всяко $n>m$ и всяко $p\in\mathbb{N}$, е изпълнено $|a_{n+p}-a_n|<\varepsilon$.
Забележка. Горното определение може да се формулира еквивалентно и така: “За всяко $\varepsilon>0$, съществува $k\in\mathbb{N}$, такова че за всички естествени $n>k$ и всички $p\in\mathbb{N}$, е изпълнено $|a_{n+p}-a_n|<\varepsilon$”.
Наистина, нека за всяко $\varepsilon>0$, съществува $k\in\mathbb{N}$, такова че за всички естествени $n>k$ и $m>k$, е изпълнено $|a_n-a_m|<\varepsilon$. Тогава за всяко $p\in\mathbb{N}$ имаме $n+p>n>k$, откъдето в частност $|a_{n+p}-a_n|<\varepsilon$. От друга страна, нека за всяко $\varepsilon>0$, съществува $k\in\mathbb{N}$, такова че за всички естествени $n>k$ и всички $p\in\mathbb{N}$, е изпълнено $|a_{n+p}-a_n|<\varepsilon$. Тогава за всяко $m>n$ съществува $p\in\mathbb{N}$, такова че $m=n+p$, откъдето в частност $|a_m-a_n|<\varepsilon$. Фундаменталните редици се наричат още редици на Коши.
Твърдение 5. Всяка фундаментална редица е ограничена.
Доказателство. Нека за всяко $\varepsilon>0$, съществува $m\in\mathbb{N}$, такова че за всички естествени $n>m$ и всички $p\in\mathbb{N}$, е изпълнено $|a_{n+p}-a_n|<\varepsilon$. При фиксирани $\varepsilon>0$ и $n>m$, от неравенството на триъгълника имаме, че за всяко $p\in\mathbb{N}$ е вярно $|a_{n+p}|\leq \varepsilon+|a_n|$. Тогава за всяко $j\in\mathbb{N}$ е вярно $|a_j|\leq\max\{|a_1|,\ldots,|a_{n}|,\varepsilon+|a_n|\}$, т. е. редицата е ограничена.
Твърдение 6. Една редица от комплексни числа е сходяща тогава и само тогава, когато е фундаментална.
Доказателство. Нека $a:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$ е фундаментална. Според Твърдение 5 редицата $a$ е ограничена, а от Твърдение 3 следва, че тя има поне една точка на сгъстяване. Предвид Твърдение 4, достатъчно е да се покаже, че точката на сгъстяване е единствена. Да допуснем, че $\alpha$ и $\beta$ са точки на сгъстяване на редицата $a$. Тогава съществуват растящи редици $b:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ и $c:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$, за които $a\circ b\to\alpha$ и $a\circ b\to\beta$. Нека $\varepsilon>0$. Съществува такова число $m\in\mathbb{N}$, че за всяко $n>m$ са изпълнени неравенствата $|a_{b_n}-\alpha|<\frac{\varepsilon}{3}$ и $|a_{c_n}-\beta|<\frac{\varepsilon}{3}$. От друга страна, тъй като редицата $a$ е фундаментална, съществува $k\in\mathbb{N}$, такова че за всички $i,j>k$ е вярно $|a_{i}-a_{j}|<\frac{\varepsilon}{3}$. Тъй като $b$ и $c$ са растящи редици от естествени числа, съществува $q\in\mathbb{N}$, такова че за всяко $n>q$ е вярно $b_n>k$ и $c_n>k$. Тогава $|a_{b_n}-a_{c_n}|<\frac{\varepsilon}{3}$ за всяко $n>q$. Следователно за всяко $n>\max\{m,q\}$ са изпълнени неравенствата $|a_{b_n}-\alpha|<\frac{\varepsilon}{3}$, $|a_{c_n}-\beta|<\frac{\varepsilon}{3}$ и $|a_{b_n}-a_{c_n}|<\frac{\varepsilon}{3}$. Оттук виждаме, че $0\leq|\alpha-\beta|=|\alpha-a_{b_n}+a_{b_n}-a_{c_n}+a_{c_n}-\beta|\leq|a_{b_n}-\alpha|+|a_{b_n}-a_{c_n}|+|a_{c_n}-\beta|<\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon$, което показва че $\alpha=\beta$, т. е. редицата има единствена точка на сгъстяване.
Забележка. Сходимостта на фундаменталните редици се нарича още пълнота на полето на комплексните числа. Казва се още, че полето на комплексните числа е пълно поле. Да отбележим, че Твърдение 6 ни дава още една еквивалентна дефиниция на понятието сходимост на редица. При това, тази дефиниция е по-удобна, тъй като в нея по никакъв начин не участва границата на редицата. С други думи, за да определим дали дадена редица $a:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$ е сходяща не е необходимо да е известно число $\alpha$, за което да проверяваме валидността на свойството “за всяко $\varepsilon>0$ съществува $m\in\mathbb{N}$, такова че за всички $n>m$, е вярно $|a_n-\alpha|<\varepsilon$”. Можем да проверяваме само условието за фундаменталност, за да установяваме сходимост. В доста естествени ситуации на анализа, изобщо не е ясно каква може да бъде границата на една редица, затова е нужно да можем да определяме дали една редица е сходяща, без да участва границата в определението за сходимост, т. е. да можем да определим наличието на сходимост на една редица, чрез самата редица.