Редове от комплексни числа

Определение 1. Ред от комплексни числа се нарича двойка редици от комплексни числа $(a,s)$, за която $$s_k=\sum_{j=1}^ka_j,\quad\text{за всяко $k\in\mathbb{N}$}.$$ Редицата $a$ се нарича общ член на реда $(a,s)$, а редицата $s$ се нарича редица от частични суми на реда $(a,s)$.

Твърдение 1. Всеки ред от комплексни числа се определя еднозначно от
а) общия си член,
б) редицата от частичните си суми.
Доказателство. а) Ако редицата $a:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$ e общият член на реда, то редицата $s:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$ дефинирана с $s_k=\sum_{j=1}^ka_j$ е редицата от частичните му суми,
б) ако $s:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$ е редицата от частичните суми на реда, то редицата $a:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$, дефинирана с $a_1=s_1$, $a_k=s_k-s_{k-1}$, $k\geq 2$ задава общия член на реда. Действително $\sum_{j=1}^1a_j=a_1=s_1$ и $$\sum_{j=1}^ka_j=s_1+\sum_{j=2}^ks_{j}-s_{j-1}=s_k,\quad k\geq 2.$$
Предвид Твърдение 1 ще изполваме означението $\sum a$ за реда с общ член редицата $a:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$, а конкретни ситуации, т. е. когато общият член на реда е зададен явно – традиционното означение $\sum_{k=1}^{\infty}a_k$.

Определение 2. Казваме, че редът от комплексни числа $\sum a$ е сходящ (разходящ), ако е сходяща (разходяща) редицата от частичните му суми. В случай, че редът $\sum a$ е сходящ, числото $\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}a_k$ се нарича сума на реда и се означава с $\sum_{k=1}^{\infty}a_k$.

Твърдение 2. Aко редът от комплексни числа $\sum a$ е сходящ, то $a\to 0$.
Доказателство. Действително, ако $s:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$ е редицата от частични суми на реда и $s\to \sigma$, то при $k\geq 2$ имаме $a_k=s_{k}-s_{k-1}$, откъдето виждаме, че $a \to \sigma-\sigma=0$.

Твърдение 3.
а) Редът $\sum_{k=1}^{\infty}z^{k-1}$ е сходящ при $|z|<1$ и разходящ при $|z|\geq 1$.
б) Редът $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$ е разходящ.

Доказателство. а) При $z\neq 1$, редицата от частични суми на реда е $s_n=\sum_{k=1}^{n}z^{k-1}=\frac{1-z^{n}}{1-z}$. Следователно тя е сходяща при $|z|<1$ и разходяща при $|z|>1$. При $|z|=1$, общият член на реда не клони към нула и следователно редът е разходящ (Твърдение 2)
б) Редът е разходящ, тъй като редицата от частичните му суми $s$ не е фундаментална (Твърдение 6 от Тема 2). Действително, за всяко $k\in\mathbb{N}$, $m>k$ и $p=m$, имаме $s_{m+p}-s_m=\frac{1}{m+p}+\ldots+\frac{1}{m+1}\geq \frac{p}{m+p}=\frac{m}{2m}=\frac{1}{2}$.

Абсолютно сходящи редове

Определение 3. Казваме, че редът от комплексни числа $\sum a$ е абсолютно сходящ, ако е сходящ редът $\sum|a|$. Ако един ред е сходящ, но не е абсолютно сходящ, казваме че той е условно сходящ.

Твърдение 4. Всеки абсолютно сходящ ред е сходящ.
Доказателство. Нека редът $\sum a$ e абсолютно сходящ. Тогава е сходящ редът $\sum|a|$ и следователно редицата от частичните му суми е фундаментална (Твърдение 6 от Тема 2). Тогава за всяко $\varepsilon>0$, съществува $m\in\mathbb{N}$, такова че за всяко $n>m$ и всяко $p\in\mathbb{N}$ е вярно неравенството $\sum_{j=n+1}^{n+p}|a_j|<\varepsilon$. От неравенствата $$\left|\sum_{j=n+1}^{n+p}a_j\right|\leq\sum_{j=n+1}^{n+p}|a_j|<\varepsilon$$ валидни за всяко $n>m$ и всяко $p\in\mathbb{N}$, виждаме, че редицата от частични суми на реда $\sum a$ е фундаментална и следователно тя е сходяща. Следователно редът $\sum a$ е сходящ.

Упражнение 1. Нека $z\in\mathbb{C}$, $z^0=1$, $k\in\mathbb{N}\cup\{0\}$ и $k!=1.2\ldots k$, $0!=1$. Покажете, че редовете $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{k!}$, $\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{z^{2k}}{(2k)!}$, $\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}$ са абсолютно сходящи за всяко $z\in\mathbb{C}$.

Упранение 2. Покажете, $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(iz)^k}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{z^{2k}}{(2k)!}+i\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}$ за всяко $z\in\mathbb{C}$ .

Умножение на редове

Следващото твърдение се нарича теорема на Коши-Мертенс и има важно значение в теорията на редовете. То ни позволява да дефинираме произведение на абсолютно сходящи редове, като ред, чиято сума съвпада с произведението на сумите на двата реда.

Твърдение 5. Нека $\sum a$ и $\sum b$ са сходящи редове от компелсни числа със суми $\alpha$ и $\beta$ съответно, като поне един от тях е абсолютно сходящ. Тогава редът $\sum c$, където $c:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$ се задава с $$c_k=\sum_{i+j=k+1}a_ib_j$$ е сходящ и сумата му е $\alpha\beta$.
Доказателство. Да забележим, че $c_k=\sum_{i=1}^{k}a_ib_{k-i+1}$. Трябва да покажем, че $\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nc_k=\alpha\beta$. Нека за определеност $\sum a$ е абсолютно сходящ. Достатъчно е да покажем, че $$\sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^ka_jb_{k-j+1}-\sum_{k=1}^na_k\beta\to 0$$ при $n\to\infty$. Първо ще се убедим, че $$\sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^ka_jb_{k-j+1}=\sum_{k=1}^na_k\sum_{j=1}^{n-k+1}b_{j}.$$ Наистина $$\sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^ka_jb_{k-j+1}=\sum_{k=1}^na_1b_k+\ldots+a_kb_1=a_1b_1+(a_1b_2+a_2b_1)+\ldots+(a_1b_n+\ldots+a_nb_1)=$$$$=a_1(b_1+\ldots+b_n)+a_2(b_1+\ldots+b_{n-1})+\ldots+a_{n-1}(b_1+b_2)+a_nb_1=\sum_{k=1}^na_k\sum_{j=1}^{n-k+1}b_j.$$ Следователно $$\left|\sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^ka_jb_{k-j+1}-\sum_{k=1}^na_k\beta\right|=\left|\sum_{k=1}^na_k\sum_{j=1}^{n-k+1}b_{j}-\sum_{k=1}^na_k\beta\right|=$$$$=\left|\sum_{k=1}^na_k\left(\sum_{j=1}^{n-k+1}b_j-\beta\right)\right|=\left|\sum_{k=1}^ma_k\left(\sum_{j=1}^{n-k+1}b_j-\beta\right)+\sum_{k=m+1}^na_k\left(\sum_{j=1}^{n-k+1}b_j-\beta\right)\right|\leq$$$$\leq\sum_{k=1}^m|a_k|\left|\sum_{j=1}^{n-k+1}b_j-\beta\right|+\sum_{k=m+1}^n|a_k|\left|\sum_{j=1}^{n-k+1}b_j-\beta\right|.$$ Тъй като $\sum a$ е абсолютно сходящ, a $\sum b$ е сходящ, съществуват $M_1, M_2>0$, такива че за всяко $n\in\mathbb{N}$ имаме $\sum_{k=1}^n|a_k|\leq M_1$ и $\left|\sum_{j=1}^{n}b_j-\beta\right|\leq M_2$ (тъй като всяка сходяща редица е ограничена). Също така, за всяко $\varepsilon>0$ съществува $p\in\mathbb{N}$, такова че при $n>m>p$ е изпълнено $\sum_{k=m+1}^n|a_k|<\frac{\varepsilon}{2M_2}$ и $|\sum_{k=1}^nb_k-\beta|<\frac{\varepsilon}{2M_1}$. Следователно, при $n>p+m$, за всяко $k\in{1,\ldots,m}$ имаме $n-k+1\geq n-m+1>p$, откъдето $\left|\sum_{j=1}^{n-k+1}b_j-\beta\right|<\frac{\varepsilon}{2M_1}$. Следователно $$\left|\sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^ka_jb_{k-j+1}-\sum_{k=1}^na_k\beta\right|<M_1\frac{\varepsilon}{2M_1}+\frac{\varepsilon}{2M_2}M_2=\varepsilon$$ за всяко $n>m+p$, с което твърдението е доказано

Определение 4. Сума на редовете $\sum a$ и $\sum b$ се нарича редът $\sum (a+b)$ и се означава с $\sum a+\sum b$. Произведение на редовете $\sum a$ и $\sum b$ се нарича редът $\sum c$, където $c_k=\sum_{i=1}^{k}a_ib_{k-i+1}$ и се означава с $\sum a\sum b$.

Упражнение 3. Проверете, че по отношение на операциите сума и произведение на редове от комплексни числа (без значение от сходимостта), дефинирани в Определение 1, множеството от всички редове от комплексни числа образува комутативен пръстен с единица. Кои са обратимите елементи в този пръстен?

Експонента

Да припомним следния критерий за сходимост на редове с неотрицателен общ член (критерий на Даламбер).
Твърдение 6. Нека $a:\mathbb{N}\to[0,+\infty)$ и съществуват числa $m\in\mathbb{N}$ и $x\in(0,1)$, такива че за всяко $n>m$ е вярно $a_{n+1}\leq xa_n$. Тогава редът $\sum a$ е сходящ.
Доказателство. От дадените неравенства имаме съответно неравенствата $0\leq a_n\leq z^na_1$ валидни за всяко $n>m$. Оттук $0\leq\sum_{k=1}^na_k\leq a_1\sum_{k=1}^nz^k$. Тъй като общият член на реда $\sum a$ е неотрицателен, редицата от частичните му суми е растяща. От друга страна, тъй като $z\in(0,1)$, редицата $n\mapsto a_1z\sum_{k=1}^nz^{k-1}$ e сходяща (Твърдение 3 а)) и в частност е ограничена. От горните неравенства виждаме, че редицата от частични суми на реда $\sum a$ е растяща и ограничена отгоре и следователно е сходяща, т. е. $\sum a$ е сходящ.

Упражнение 4. Нека $a:\mathbb{N}\to(0,+\infty)$ и $l=\lim \frac{a_{k+1}}{a_k}$.
Проверете, че при $l<1$, редът $\sum a$ е сходящ, а при $l>1$, той е разходящ. При $l=1$ нищо не може да се твърди за сходимостта на реда (критерий на Даламбер в гранична форма).

Твърдение 7. Нека $z\in\mathbb{C}$ и $a:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$ се задава с $a_n=\frac{z^{n-1}}{(n-1)!}$. Тогава редът $\sum a$ е абсолютно сходящ.
Доказателство. Имаме $|a_n|=\left|\frac{z^{n-1}}{(n-1)!}\right|=\frac{|z|^{n-1}}{(n-1)!}$ и $|a_{n+1}|=\frac{|z|}{n}|a_n|$ за всяко $n\in\mathbb{N}$. Нека $x\in(0,1)$. Тогава при $n>\frac{|z|}{x}$ имаме $0\leq\frac{|z|}{n}<x<1$ т. е. $|a_{n+1}|\leq x|a_n|$ за всяко $n>\frac{|z|}{x}$ от Твърдение 2 получаваме, че редът $\sum |a|$ е сходящ, т. е. $\sum a$ е абсолютно сходящ.

Определение 5. Функцията $\exp:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ дефинирана с $\exp z=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{n-1}}{(n-1)!}$ се нарича експонента (експоненциална функция).

Твърдение 8. За всички $z,w\in\mathbb{C}$ имаме $\exp(z+w)=\exp z\exp w$.
Доказателство. $$\exp(z+w)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(z+w)^{n-1}}{(n-1)!}=\sum_{n=1}^{\infty}\left[\sum_{j=1}^{n}\binom{n-1}{j-1}\frac{z^{j-1}w^{n-(j-1)}}{(n-1)!}\right]=$$$$=\sum_{n=1}^{\infty}\left[\sum_{j=1}^{n}\frac{(n-1)!}{(j-1)!(n-(j-1))!}\frac{z^{j-1}w^{n-(j-1)}}{(n-1)!}\right]=\sum_{n=1}^{\infty}\left[\sum_{j=1}^{n}\frac{z^{j-1}}{(j-1)!}\frac{w^{n-j+1}}{(n-j+1)!}\right]=$$$$=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{n-1}}{(n-1)!}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{w^{n-1}}{(n-1)!}=\exp z\exp w,$$ предвид Tвърдение 5.

Упражнение 5. Покажете, че $\exp z\neq 0$ за всяко $z\in\mathbb{C}$.

назад