Резидуум в изолирана особена точка

Определение 1. Нека $A\subset\widehat{\mathbb{C}}$ е отворено множество $f:A\to\mathbb{C}$ е холоморфна функция в $A$ и $a\in\partial A$ е изолирана особена точка на функцията $f$. Нека $(U,\varphi)$ е карта от атласа на $\widehat{\mathbb{C}}$, за която $a\in U$. Резидуум на функцията $f$ в точката $a$ се нарича числото $$\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma f\circ\varphi^{-1}d\varphi^{-1},$$ където $\gamma:[0,1]\to\mathbb{C}$ е кривата $\gamma(t)=\varphi(a)+r\exp(2\pi it)$ и $r>0$ е такова, че $f\circ\varphi^{-1}$ няма други особени точки в кръга $\overline{K(\varphi(a), r)}\subset\varphi(A\cap U)$, освен $\varphi(a)$. Означенията за резидуумa на $f$ в изолираната особена точка $a$ са $\text{Res}(f,a)$ и $\underset{z=a}{\text{Res} }f(z)$.

Твърдение 1. Определение 1 не зависи от картата.
Доказателство. Нека $(U,\varphi)$, $(V,\psi)$ са две различни карти от атласа на $\widehat{\mathbb{C}}$, $a\in U\cap V$ и кривата $\gamma:[0,1]\to\mathbb{C}$ се задава с $\gamma(t)=\varphi(a)+r\exp(2\pi it)$, където $r>0$ е такова, че $f\circ\varphi^{-1}$ няма други особени точки в кръга $\overline{K(\varphi(a),r)}$, освен $\varphi(a)$. От Твърдение имаме $$\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma f\circ\varphi^{-1}d\varphi^{-1}=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma} f\circ\psi^{-1}\circ \psi\circ\varphi^{-1} d(\psi^{-1}\circ\psi\circ\varphi^{-1})=$$$$=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma} (\psi\circ\varphi^{-1})^*(f\circ\psi^{-1}d\psi^{-1})=\frac{1}{2\pi i}\int_{\psi\circ\varphi^{-1}\circ\gamma}f\circ\psi^{-1}d\psi^{-1}.$$ Да се убедим, че $(\psi\circ\varphi^{-1})(\overline{K(\varphi(a), r)})$ е затворен кръг, съдържащ $\psi(a)$ във вътрешността си. Това в частност ще ни покаже, че $\psi\circ\varphi^{-1}\circ\gamma$ е окръжност. Най-напред забележим, че $\varphi(a)\neq 0$ (иначе $a\in{0,\infty}$, т. е $a\notin U\cap V$). Също така $0\notin \overline{K(\varphi(a),r)}$, т. е. $|\varphi(a)|>r$, тъй като в противен случай $f\circ\varphi^{-1}$ може да има особена точка $0\neq\varphi(a)$ в $\overline{K(\varphi(a),r)}$. Нека сега $z\in(\psi\circ\varphi^{-1})(\overline{K(\varphi(a),r)})$. Тогава съществува единствено $w\in \overline{K(\varphi(a),r)}$, за което $(\psi\circ\varphi^{-1})(w)=z$, т. е. $w=\frac{1}{z}$. Следователно $|\frac{1}{z}-\varphi(a)|\leq r$, откъдето $$|z|^2r^2\geq|1-\varphi(a)z|^2=1-2\Re(z\varphi(a))+|\varphi(a)|^2|z|^2.$$ Последното неравенство е еквивалентно на $$|z|^2(|\varphi(a)|^2-r^2)-2\Re(z\varphi(a))+1\leq 0,$$ откъдето $$|z|^2-2\Re\left(z\frac{\varphi(a)}{|\varphi(a)|^2-r^2}\right)+\left|\frac{\overline{\varphi(a)}}{|\varphi(a)|^2-r^2}\right|^2-\left|\frac{\overline{\varphi(a)}}{|\varphi(a)|^2-r^2}\right|^2+\frac{1}{|\varphi(a)|^2-r^2}\leq 0,$$ т. е. $$\left|z-\frac{\overline{\varphi(a)}}{|\varphi(a)|^2-r^2}\right|^2\leq \frac{|\varphi(a)|^2}{(|\varphi(a)|^2-r^2)^2}-\frac{1}{|\varphi(a)|^2-r^2}=\frac{|\varphi(a)|^2-(|\varphi(a)|^2-r^2)}{(|\varphi(a)|^2-r^2)^2}=\frac{r^2}{(|\varphi(a)|^2-r^2)^2}.$$ Това неравенство показва, че $(\psi\circ\varphi^{-1})(\overline{K(\varphi(a), r)})=\overline{K(b,R)}$, където $b=\frac{\overline{\varphi(a)}}{|\varphi(a)|^2-r^2}$, $R=\frac{r}{|\varphi(a)|^2-r^2}$. Тъй като $\psi(a)=(\psi\circ\varphi^{-1})(\varphi(a))$ и $\varphi(a)\in K(\varphi(a),r)$, виждаме, че $\psi(a)\in K(b,R)$.
Нека $\gamma_1:[0,1]\to\mathbb{C}$ e кривата $\gamma_1(t)=\psi(a)+r_1\exp(2\pi it)$, където $r_1>0$ е такова, че $f\circ\psi^{-1}$, няма особени точки в $\overline{K(\psi(a), r_1)}\setminus{\psi(a)}$. Тогава $\psi\circ\varphi^{-1}\circ\gamma$ и $\gamma_1$ са хомотопни в $\mathbb{C}\setminus{\psi(a)}$, посредством хомотопията $H:[0,1]\times[0,1]\to\mathbb{C}\setminus{\psi(a)}$, зададена с $$H(t,s)=\begin{cases}
(1-2s)b+2s\psi(a)+R\exp(2\pi it), s\in[0,\frac{1}{2}]\\
\psi(a)+[2(1-s)R+(2s-1)r_1]\exp(2\pi it), s\in[\frac{1}{2},1].
\end{cases}$$
Следователно, от хомотопната инвариантност (Твърдение ) получаваме $$\frac{1}{2\pi i}\int_{\psi\circ\varphi^{-1}\circ\gamma}f\circ\psi^{-1}d\psi^{-1}=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_1}f\circ\psi^{-1}d\psi^{-1}
,$$ с което твърдението е доказано.

Забележка. От Определение 1 виждаме, че ако $a\in\mathbb{C}$, то винаги можем да избираме картата $(U_1,\varphi_1)$, от атласа на $\widehat{\mathbb{C}}$ (вж. Определение 3 от Тема 25), за която $a\in U_1$, при което $$\text{Res}(f,a)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}f(z)dz.$$ Отттук и от Твърдение 5 от Тема 23 виждаме, също че ако $\sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}a_k(z-a)^k$ е редът на Лоран на функцията $f$ в пробита околност на $a$, то $$\text{Res}(f,a)=a_{-1}.$$

Упражнение 1. Нека $a\in\mathbb{C}$ е $m$ – кратен полюс на функцията $f$.
Докажете, че $\text{Res}(f,a)=\frac{1}{(m-1)!}\lim\limits_{z\to a}[(z-a)^mf(z)]^{(m-1)}$.

Твърдение 2. Нека $\infty$ е изолирана особена точка на функцията $f$. Тогава
а) $\text{Res}(f,\infty)=\underset{z=0}{\text{Res}}-\frac{1}{z^2}f(\frac{1}{z})$,
б) $\text{Res}(f,\infty)=-\frac{1}{2\pi i}\int_\Gamma f(z)dz$, където $\Gamma:[0,1]\to\mathbb{C}$ е окръжността $\Gamma(t)=R\exp(2\pi it)$ и $R$ е такова, че $f$ няма други особености в $\mathbb{C}\setminus\overline{K(0,R)}$ освен $\infty$.
Доказателство. a) Тъй като $\infty$ е изолирана особеност на $f$ и $\infty\in U_2$, точката $\varphi_2(\infty)=0$ е изолирана особеност на функцията $f\circ\varphi_2^{-1}$ (Определение 5 от Тема 25) ($(U_2,\varphi_2)$ е картата от атласа на $\widehat{\mathbb{C}}$ около $\infty$, вж. Определение 3 от Тема 25). Тогава $$\text{Res}(f,\infty)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}f\circ\varphi_2^{-1}d\varphi_2^{-1}=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}f\left(\frac{1}{z}\right)d\left(\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}-\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z}\right)dz,$$ където $\gamma:[0,1]\to\mathbb{C}$ е окръжността $\gamma(t)=r\exp(2\pi it)$ и $r>0$ е такова, че $f\circ\varphi_2^{-1}$ няма други особени точки в $\overline{K(0,r)}$ освен $0$. Тогава $z\mapsto -\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z}\right)$ също няма други особени точки в $\overline{K(0,r)}$ освен $0$ и от Определение 1 виждаме, че $$\text{Res}(f,\infty)=\underset{z=0}{\text{Res}}\left[-\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z}\right)\right].$$
б) Нека $g:\mathbb{C}\setminus{0}\to \mathbb{C}\setminus{0}$ се задава с $g(z)=z^{-1}$. Тогава от a) имаме $$\text{Res}(f,\infty)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}-\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z}\right)dz=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}g^*\left(fdw\right)=\frac{1}{2\pi i}\int_{g\circ\gamma}f(w)dw,$$ където $\gamma:[0,1]\to\mathbb{C}$ е окръжността $\gamma(t)=r\exp(2\pi it)$ и $r>0$ е такова, че $f\circ\varphi_2^{-1}$ няма други особени точки в $\overline{K(0,r)}$ освен $0$. Тъй като $g(\gamma(t))=r^{-1}\exp(-2\pi it)$ и $g(K(0,r)\setminus\{0\})=\mathbb{C}\setminus \overline{K(0,r^{-1})}$ виждаме, че ако $R=r^{-1}$ и $\Gamma=(g\circ\gamma)^{-}$, т. е. $\Gamma(t)=R\exp(2\pi it)$, $t\in[0,1]$, то $f$ няма други особени точки в $\mathbb{C}\setminus \overline{K(0,R)}$ освен $\infty$ и $$\text{Res}(f,\infty)=\frac{1}{2\pi i}\int_{g\circ\gamma}f(w)dw=-\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma}f(w)dw.$$

Упражнение 2. Нека $a\in\widehat{\mathbb{C}}$ е изолирана отстранима особена точка на функцията $f$. Докажете, че
a) Ако $a\in\mathbb{C}$, то $\text{Res}(f,a)=0$,
б) Ако $a=\infty$, то $\text{Res}(f,\infty)=-\lim\limits_{z\to\infty}z[f(z)-\lim\limits_{z\to\infty}f(z)]$.

Теорема за резидуумите

Твърдение 3. Нека $D\subset\widehat{\mathbb{C}}$ е отворено множество и $f:D\to\mathbb{C}$ е холоморфна функция. Нека $S\subset\partial D$ е крайно множество от изолирани особени точки на $f$ и нека $K\subset D\cup S$ е компакт с положително ориентирана граница, такъв че $\partial K\cap S=\emptyset$. Тогава $$\int_{\partial K}f(z)dz=2\pi i\sum_{s\in S\cap K}\text{Res}(f,s)$$
Забележка. Компакт с ориентирана граница в $\widehat{\mathbb{C}}$ дефинираме по същия начин, както компакт с ориентирана граница в $\mathbb{C}$ (вж. Определение 6 от Тема 13).
Доказателство. Нека $\infty\notin K$. Тогава $K$ е компакт с положително ориентирана граница в $\mathbb{C}$. За всяко $s\in K\cap S$ съществува $r_s>0$, такова че $\overline{K(s,r_s)}\subset int K$. Нека $$K_S=K\setminus\bigcup\limits_{s\in K\cap S}K(s,r_s).$$ Тогава $K_S$ е компакт с положително ориентирана граница и $f$ е холоморфна в $int K_S$. Следователно, от теоремата на Коши за сложен контур (Твърдение 4 от Тема 19) имаме $$\int_{\partial K_S}f(z)dz=0.$$ От друга страна, ако $\gamma_s:[0,1]\to K$ е окръжността $\gamma_s(t)=s+r_s\exp(2\pi i t)$, то $$\int_{\partial K}f(z)dz=\left(\int_{\partial K}f(z)dz-\sum_{s\in K\cap S}\int_{\gamma_s}f(z)dz\right)+\sum_{s\in K\cap S}\int_{\gamma_s}f(z)dz=$$$$=\int_{\partial K_S}f(z)dz+\sum_{s\in K\cap S}\int_{\gamma_s}f(z)dz=\sum_{s\in K\cap S}\int_{\gamma_s}f(z)dz=$$$$=2\pi i\sum_{s\in K\cap S}\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_s}f(z)dz=2\pi i\sum_{s\in K\cap S}\text{Res}(f,s).$$ Нека $\infty\in K$. Тогава съществува $R>0$, такова че $K\cap S\cap(\mathbb{C}\setminus \overline{K(0,R)}\cup\{\infty\})=\{\infty\}$.
Тогава $$K_R=K\setminus(\mathbb{C}\setminus \overline{K(0,R)}\cup\{\infty\})=K\cap\overline{K(0,R)}$$ е компакт с положително ориентирана граница, за който $\infty\notin K_R$. Следователно $$\int_{\partial K_R}f(z)dz=2\pi i\sum_{s\in K_R\cap S}\text{Res}(f,s).$$ От друга страна, ако $\gamma_R:[0,1]\to K$ е окръжността $\gamma_R(t)=R\exp(2\pi it)$, то $$\int_{\partial K}f(z)dz=\left(\int_{\partial K}f(z)dz+\int_{\gamma_R}f(z)dz\right)-\int_{\gamma_R}f(z)dz=$$$$=\int_{\partial K_R}f(z)dz-\int_{\gamma_R}f(z)dz=2\pi i\sum_{s\in K_R\cap S}\text{Res}(f,s)-\int_{\gamma_R}f(z)dz.$$ От Твърдение 2 б) имаме, че $$-\int_{\gamma_R}f(z)dz=2\pi i\text{Res}(f,\infty).$$ Следователно $$\int_{\partial K}f(z)dz=2\pi i\sum_{s\in K_R\cap S}\text{Res}(f,s)+2\pi i\text{Res}(f,\infty)=2\pi i\sum_{s\in K\cap S}\text{Res}(f,s).$$

назад