Хомогенни уравнения
Хомогенни се наричат диференциалните уравнения, от вида $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,$ в които функциите $P, Q$ са непрекъснати хомогенни функции от една и съща степен. Една функция $f:U\to\mathbb{R}$ , където $U\subseteq\mathbb{R}^2$ е отворено множество се нарича хомогенна от степен $k\in\mathbb{R}$, ако за всяка точка $(x,y)\in U$ и всяко $a>0$ за което $(ax,ay)\in U$ е изпълнено $f(ax,ay)=a^kf(x,y)$. Геометрично погледнато, една хомогенна функция има следното свойство. За всяка точка $(x,y)$ от дефиниционното множество на функцията, съществува кръг с център в тази точка, който пресича лъча с начало $(0,0)$ през точката $(x,y)$. Например функцията $f:\mathbb{R}^2\setminus\{0,0\}\to\mathbb{R}$, дефинирана с $f(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ е хомогенна от степен $0$, тъй като за всички $(x,y)\neq(0,0)$ и всяко $a>0$ имаме $(ax,ay)\neq(0,0)$ и $f(ax,ay)=\frac{ax}{\sqrt{(ax)^2+(ay)^2}}=\frac{ax}{\sqrt{a^2}\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x}{x^2+y^2}=f(x,y)$.
Да забележим, че всяко хомогенно уравнение е инвариантно относно смяна на координатите в $\mathbb{R}^2$ от вида $(x,y)=(a\xi,a\eta)$, където $a>0$ т. е. то не се променя при такава смяна. Наистина, ако $P, Q$ са хомогенни от степен $k$ и $(x,y)=(a\xi,a\eta)$, то $$0=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=P(a\xi,a\eta)d(a\xi)+Q(a\xi,a\eta)d(a\eta)=$$$$=a^{k+1}[P(\xi,\eta)d\xi+Q(\xi,\eta)d\eta],$$ откъдето $P(\xi,\eta)d\xi+Q(\xi,\eta)d\eta=0,$ тъй като $a\neq 0$. Да забележим, че в отвореното множество $U\setminus\{(0,t)|t\in\mathbb{R}\}$ хомогенното уравнение е еквивалентно на уравнението $P\left(1,\frac{y}{x}\right)dx+Q\left(1,\frac{y}{x}\right)dy=0.$
Също така, в отвореното множество $U\setminus\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|P\left(1,\frac{y}{x}\right)=0\right\}$ последното уравнение е еквивалентно на $y’=f(\frac{y}{x})$, където $f(\frac{y}{x})=-\frac{Q(1,\frac{y}{x})}{P(1,\frac{y}{x})}$. Аналогични изводи могат да се направят, когато разрежем по правата $y=0$.
Хомогенните уравнения $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$, се свеждат до уравнения с разделящи се променливи чрез следните смени на координатите в равнината $(x,y)=(t,zt)$, или $(x,y)=(zt,t)$ където $t\neq 0$. Наистина, нека например $(x,y)=(t,zt)$. Тогава $$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=P(t,tz)dt+Q(t,tz)d(tz)=$$$$=t^kP(1,z)dt+t^kQ(1,z)(zdt+tdz)=t^k(P(1,z)+zQ(1,z))dt+t^{k+1}Q(1,z)dz,$$ т. е. всеки коефициент на диференциала в новите координати $(t,z)$ е произведение на функция на $t$ и функция на $z$. Отбелязваме, че преобразувайки уравнението с някоя от тези смени е възможно да се получат две уравнения всяко от които е дефинирана в една от две противоположни полуравнини (лява и дясна в случая на първата смяна, горна и долна в случая на втората смяна). Например уравнението $ \sqrt{x^2+y^2}dx-xdy=0$ е дефинирано в цялата равнина и функциите $P(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} $, $Q(x,y)=-x$ са хомогенни от степен $1$. Правата с уравнение $x=0$ е решение на уравнението. При $x\neq 0$ полагаме $(x,y)=(t,zt)$, където $t\neq 0$. Тогава уравнението се преобразува в $\sqrt{t^2+t^2z^2}dt-t(zdt+tdz)=0$, което е еквивалентно на $ (|t|\sqrt{1+z^2}-tz)dt-t^2dz=0$. Оттук виждаме, че в полуравнините $t>0$ и $t<0$ уравнението има вида $(z-\sqrt{1+z^2})dt+tdz=0$ и $(z+\sqrt{1+z^2})dt+tdz=0$ съответно. Уравненията можем да запишем като $\frac{dt}{t}+\frac{1}{z\pm\sqrt{1+z^2}}dz=0$. Пресмятайки интегралите (например с полагане $z=\sinh p$) получаваме $\ln t-\frac{z^2}{2}-\frac{1}{2}\left(z\sqrt{1+z^2}+\ln(z+\sqrt{1+z^2})\right)=c$, при $t>0$ и $\ln(-t)-\frac{z^2}{2}+\frac{1}{2}\left(z\sqrt{1+z^2}+\ln(z+\sqrt{1+z^2})\right)=c$ при $t<0$. Замествайки $(t,z)=(x,\frac{y}{x})$ получаваме $\ln |x|-\frac{y^2}{2x^2}\pm\frac{1}{2}\left[\frac{y}{x}\sqrt{1+\frac{y^2}{x^2}}+\ln\left(\frac{y}{x}+\sqrt{1+\frac{y^2}{x^2}}\right)\right]=c$. Последната формула може да се преобразува и опростява допълнително.
Ако хомогенното уравнение е записано във вида $y’=f(\frac{y}{x})$, където $f$ е непрекъсната функция в даден интервал $(a,b)$, дефиниционното множество е $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|a<\frac{y}{x}<b\}$ (обединение на два ъглови сектора) и тогава можем да си мислим, че неизвестната функция $y$ се заменя с функцията $zx$, където $z$ е новата неизвестна функция, т. е. полагаме $y=zx$. По същество това е същата смяна на координатите в равнината, както по-горе, но тъй като в уравнението $y’=f(\frac{y}{x})$ втората координата $y$ е функция на първата координата $x$, искаме новата втора координата $z$ да бъде функция на новата първа координата, която сме означили пак с $x$, и която всъщност е старата първа координата.
Упражнения
1. Нека $f$ е непрекъсната функция в даден интервал $I\subseteq\mathbb{R}$. Сведете уравнeнието $y’=f(\frac{y}{x})$ до уравнение с разделящи се променливи.
2. Решете уравненията $(x^2+y^2)y’=2xy$, $xy’=y-xe^{\frac{y}{x}}$, $(y+\sqrt{xy})dx=xdy$, $(y^2-2xy)dx+y^2dy=0$.
3. Покажете, че ако $P,Q$ са непрекъснати хомогенни функции в $\mathbb{R}^2$, $a_,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2\in\mathbb{R}$, $(a_1,b_1)\neq (0,0)$ и $(a_2,b_2)\neq (0,0)$, то уравнението
$$P(a_1x+b_1y+c_1, a_2x+b_2y+c_2)dx+Q( a_1x+b_1y+c_1, a_2x+b_2y+c_2 )dy=0,$$ може да се сведе до хомогенно уравнение със следните смени на координатите:
1) ако $\det\begin{pmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{pmatrix}\neq 0$, дефинираме $u= a_1x+b_1y+c_1$, $v=a_2x+b_2y+c_2$,
2) ако $\det\begin{pmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{pmatrix}=0$ и $a_1\neq 0$, дефинираме $u=y$, $v=a_1x+b_1y+c_1$,
3) ако $\det\begin{pmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{pmatrix}=0$ и $b_1\neq 0$, дефинираме $u=x$, $v=a_1x+b_1y+c_1$.
4. Решете уравненията $(2x-4y+6)dx+(x-y-3)dy=0$, $(y+2)dx=(2x+y-4)dy$, $x-y-1+(2x-2y+2)y’=0$, $y’=\sqrt{4x+2y-1}$,
5. Изхождайки от теоремата за съществуване и единственост на решението на задачата на Коши за уравнение с разделящи се променливи, да се формулира аналогична теорема за хомогенни уравнения.