ODE-13

Обвивки на фамилии от криви

В настоящата тема ще дефинираме понятието обвивка на фамилия от гладки криви, и ще видим, че за някои диференциални уравнения фамилиите от интегрални криви имат обвивки, и тези обвивки също се явяват интегрални криви (всъщност особени решения). Ще видим какви свойства има обвивката на една фамилия от криви, и при какви условия една фамилия от криви има обвивка. Нека $J\subseteq\mathbb{R}$ е отворен интервал и за всяко $c\in J$ е дадена гладка крива $\gamma_c\subset\mathbb{R}^2$. Казваме, че гладката крива $\gamma\subset \mathbb{R}^2$ е обвивка на фамилията от криви $\{\gamma_c|c\in J\}$, ако $\gamma$ допуска гладка параметризация $\theta:J\to \mathbb{R}^2$, такава че за всяко $c\in J$, кривите $\gamma$ и $\gamma_c$ се допират (т. е. имат обща допирателна права) в точката $\theta(c)$. От това определение директно виждаме, че за всяка точка от обвивката съществува крива от фамилията, която се допира до нея в тази точка, и за всяка крива от фамилията съществува точка от обвивката, в която кривата се допира. Нека $U\subseteq\mathbb{R}^2$ е отворено множество, $f:U\times J\to\mathbb{R}$ е непрекъснато-диференцируема функция, $(f’_x,f’_y)\neq(0,0)$в $U\times J$, $\gamma_c=\{(x,y)\in U|f(x,y,c)=0\}$ за всяко $c\in J$ и $\gamma$ е обвивка на фамилията $\{\gamma_c|c\in J\}$. Тогава ако $(\varphi,\psi)$ е гладка параметризация на $\gamma$, за която $\gamma_c$ и $\gamma$ се допират в $(\varphi(c),\psi(c))$, то е изпълнено $f(\varphi(c),\psi(c),c)=0$ и $f’z(\varphi(c),\psi(c),c)=0$ за всяко $c\in J$. Наистина, тъй като за всяко $c\in J$ точката $(\varphi(c),\psi(c))$ е обща за $\gamma_c$ и $\gamma$ имаме $f(\varphi(c),\psi(c),c)=0$. От друга страна, от теоремата за диференциране на съставна функция имаме $$f’_x(\varphi(c),\psi(c),c)\varphi'(c)+f’_y(\varphi(c),\psi(c),c)\psi'(c)+f’_z(\varphi(c),\psi(c),c)=0.$$ Тъй като $\gamma_c$ и $\gamma$ се допират в точката $(\varphi(c),\psi(c))$, нормалният вектор $(f’_x(\varphi(c),\psi(c),c),f’_y(\varphi(c),\psi(c),c))$ в точката $(\varphi(c),\psi(c))$ към кривата $\gamma_c$ е ортогонален на допирателния вектор $(\varphi'(c),\psi'(c))$ към $\gamma$ в точката $(\varphi(c),\psi(c))$. Следователно $f’_x(\varphi(c),\psi(c),c)\varphi'(c)+f’_y(\varphi(c),\psi(c),c)\psi'(c)=0$, откъдето $f’_z(\varphi(c),\psi(c),c)=0$. Така виждаме, че точките на обвивката се съдържат в множеството $$\{(x,y)\in U| съществува $c\in J$, такова че f(x,y,c)=0, f’_z(x,y,c)=0\},$$ което се нарича дискриминантна крива на фамилията $\{\gamma_c|c\in J\}$. В общия случай обаче дискриминантната крива на една фамилия може да не е нейна обвивка. Например дискриминантната крива на фамилията $\{\gamma_c|c\in J\}$, където $\gamma_c=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|y^3=(x-c)^2\}$ е правата с уравнение $y=0$, която не е обвивка на фамилията, тъй като тази права не се допира в никоя точка към някоя крива $\gamma_c$ от фамилията. Проверява се (чрез теоремата за неявните функции), че ако $f$ е два пъти непрекъснато-диференцируема в точката $(x_0,y_0,z_0)\in U\times J$, $f(x_0,y_0,z_0)=0$, $f’_z(x_0,y_0,z_0)=0$, $\det\begin{pmatrix} f’_x(x_0,y_0,z_0) & f’_y(x_0,y_0,z_0) \\ f’_{zx}(x_0,y_0,z_0) & f’_{zy}(x_0,y_0,z_0) \end{pmatrix}\neq 0$ и $f”_{zz}(x_0,y_0,z_0)\neq 0$, то съществува отворен интервал $I\subseteq J$ съдържащ $z_0$, такъв че фамилията $\{\gamma_c|c\in I\}$ има обвивка.

Уравнения на Клеро

Уравнения на Клеро се наричат уравненията от вида $y=xy’+f(y’)$, където $f$ е два пъти непрекъснато-диференцируема в даден интервал $(a,b)$ и $f”\neq 0$ в този интервал. Тези уравнение можем да изследваме както се изследват всички уравнения нерешени относно производната.

Разглеждаме уравнението $y=xz+f(z)$, от което взимаме пълен диференциал при което получаваме $dy=zdx+xdz+f'(z)dz$. Комбинирайки това уравнение с $dy=zdx$ получаваме уравнението $(x+f'(z))dz=0$. Оттук получаваме $x+f'(z)=0$ или $dz=0$. От първото уравнение намираме $x=-f'(z)$, а от началното уравнение $y=-f'(z)z+f(z)$. Тъй като $f”(z)\neq 0$, тази двойка уравнения определя параметрично представяне на решение на уравнението на Клеро, което e особено решение (тъй като то произхожда от решението $z\mapsto(-f'(t), -f'(z)z+f(z) ,z)$ на системата $dy=zdx+xdz+f'(z)dz$, $dy=zdx$, което се състои от особени точки). От $dz=0$ виждаме, че $z=c$, където $c\in \mathbb{R}$. Следователно $y=xc+f(c)$ са останалите решения на уравнението на Клеро. Можем да проверим, че тази фамилия има обвивка, а именно кривата $x=-f'(c)$, $y=-f'(c)c+f(c)$, която очевидно съвпада с особеното решение на уравнението на Клеро. И така, особеното решение на уравнението на Клеро е обвивката на фамилията от останалите решения.

Уравнения на Лагранж

Уравнения на Лагранж се наричат уравненията от вида $y=\varphi(y’)x+\psi(y’)$, където за $\varphi$ и $\psi$ се предполага че са непрекъснато-диференцируеми в интервал. Да за бележим, че ако $\varphi(z)=z$, се получава уравнение на Клеро. Съответната диференциална система е $dy=\varphi(z)dx+(\varphi'(z)x+\psi'(z))dz$, $dy=zdx$. От нея получаваме уравнението $(\varphi(z)-z)dx+ (\varphi'(z)x+\psi'(z))dz=0$. Ако $w$ е такова, че $\varphi(w)-w=0$, то $z=w$ e решение на диференциалното уравнение и следователно $y=\varphi(w)x+\psi(w)$ е решение на уравнението на Лагранж. Ако $\varphi(z)-z\neq 0$ получаваме уравнението $dx=\frac{\varphi'(z)x+\psi'(z)}{ \varphi(z)-z }dz$, което е екивалентно на линейното уавнение $x’= \frac{\varphi'(z)}{ \varphi(z)-z }x+ \frac{\psi'(z)}{ \varphi(z)-z }$. Решавайки това линейно уравнение относно $x$ и замествайки получената функция на $z$ в $ y=\varphi(z)x+\psi(z)$, получаваме останалите решения на уравнението на Лагранж в параметричен вид.

назад