Диференциални системи
В предната тема разгледахме системи от диференциални уравнения, представляващи многомерно обобщение на уравнение от вида $y’=f(x,y)$. Сега ще разгледаме системи от диференциални уравнения, представляващи многомерния аналог на уравнение от вида $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ и ще се убедим, че както в случая на едно уравнение, те обобщават нормалните системи.
Нека $U\subseteq\mathbb{R}^n$ е отворено множество, $x_1,\ldots,x_n$ са координатните функции в $U$ и $$\omega_i=\sum_{j=1}^na_{ij}(x_1,\ldots,x_n)dx_j, \quad i\in\{1,\ldots, n-1\}$$ непрекъснати диференциали (1-форми) върху $U$, т. е. коефициентите $a_{ij}:U\to\mathbb{R}$ са непрекъснати функции върху $U$, и са такива, че рангът на матрицата $(i,j)\mapsto a_{ij}(x_1,\ldots,x_n)$ е максимален във всяка точка на $U$. Диференциална система наричаме система от вида $\omega_1=0,\ldots,\omega_{n-1}=0$, която подробно разписана изглежда по следния начин $$\begin{equation}\label{difformsys}\begin{cases}a_{11}(x_1,\ldots,x_n)dx_1+\ldots+a_{1n}(x_1,\ldots,x_n)dx_n=0\\ \ldots \\a_{n-1,1}(x_1,\ldots,x_n)dx_1+\ldots+a_{n-1,n}(x_1,\ldots,x_n)dx_n=0\end{cases}.\end{equation}$$ Решение на системата (1) се нарича всяка $n$-орка диференцируеми в даден интервал $(\alpha,\beta)$ функции $\varphi_1,\ldots,\varphi_n$, такива че за всяко $t\in(\alpha,\beta)$ е изпълнено
1) $(\varphi_1(t),\ldots,\varphi_n(t))\in U$,
2) $(\varphi’_1(t),\ldots,\varphi’_n(t))\neq(0,\ldots,0)$,
3) $a_{j1}(\varphi_1(t),\ldots\varphi_n(t))\varphi’_1(t)+\ldots+a_{jn}(\varphi_1(t),\ldots\varphi_n(t))\varphi’_n(t)=0$, за всяко $j\in\{1,\ldots,n-1\}$.
Както в случая на едно уравнение, последното условие 3) се получава, като заменим координатните функции $x_1,\ldots,x_n$ в диференциалите $\omega_i$ с $\varphi_1,\ldots,\varphi_n$ съответно, при което след диференциране, уравненията се свеждат до уравненията $[a_{i1}(\varphi_1(t),\ldots\varphi_n(t))\varphi’_1(t)+\ldots+a_{in}(\varphi_1(t),\ldots\varphi_n(t))\varphi’_n(t)]dt=0$. Геометричният смисъл на всяко решение на диференциалната система (1), е, че векторната функция $(\alpha,\beta)\ni t\mapsto(\varphi_1(t),\ldots,\varphi_n(t))\in U$ е параметризация на крива лежаща в $U$, която във всяка своя точка $(\varphi_1(t),\ldots,\varphi_n(t))$ има допирателен вектор $(\varphi’_1(t),\ldots,\varphi’_n(t))$, който лежи в ортогоналното допълнение (по отношение на стандартното скаларно произведение в $\mathbb{R}^n$) на векторите $(a_{i1}(\varphi_1(t),\ldots,\varphi_n(t)),\ldots,a_{in}(\varphi_1(t),\ldots,\varphi_n(t)))$, $i\in\{1,\ldots,n-1\}$. Тази крива също ще наричаме решение на системата. Може да се провери (с теоремата за диференциране на съставна функция), че ако тази крива се репараметризира, то новата параметризация също е решение на системата.
Задача на Коши за диференциалната система (1) се поставя, като изберем една точка $(c_1,\ldots,c_n)\in U$, при което търсим решение $(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)$ на системата, за което съществува $t_0\in(\alpha,\beta)$, такова че $(\varphi_1(t_0),\ldots,\varphi_n(t_0))=(c_1,\ldots, c_n)$. С други думи търсим решение на системата, което минава през точката $(c_1,\ldots,c_n)$.
Сега ще се убедим, че при направените предположения задачата на Коши за диференциалната система (1) може да се сведе до задача на Коши за нормална система.
От 3) виждаме, че за всяко $t\in(\alpha,\beta)$ имаме една хомогенна линейна система по отношение на $\varphi’_1(t),\ldots,\varphi’_n(t)$. Тъй като рангът на матрицата $(i,j)\mapsto a_{ij}$ е максимален във всяка точка на $U$, всяка от производните $\varphi’_i$, може да се изрази линейно, чрез някоя производна $\varphi’_j$, където $j\neq i$. С други думи, получава се система от вида \begin{equation}\label{dersyslin}\varphi’_i(t)=g_i(\varphi_1(t),\ldots,\varphi_n(t))\varphi’_j(t), \quad i\in\{1,\ldots,n\}\setminus\{j\}, \quad t\in(\alpha,\beta),\end{equation} където $g_i:U\to\mathbb{R}$ са непрекъснати функции в $U$. При това $\varphi_j'(t_0)\neq 0$, тъй като в противен случай от (2) получаваме $\varphi_i'(t_0)=0$ за всяко $i\in\{1,\ldots,n\}$, което противоречи на 2). Следователно, от теоремата за обратната функция, съществува интервал съдържащ $t_0$, в който $\varphi_j’\neq 0$ и който се изобразява биективно в интервал съдържащ $\varphi_j(t_0)=c_j$, върху който обратната функция $x_j\mapsto \varphi_j^{-1}(x_j)$ е диференцируема и $\varphi_j^{-1}(c_j)=t_0$. Тогава $\frac{\varphi_i'(t)}{\varphi_j'(t)}=\frac{d}{dx_i}\left(\varphi_i(\varphi_j^{-1}(x_j))\right)$ и $\varphi_i(t_0)=\varphi_i(\varphi_j^{-1}(c_j))=c_i$, откъдето виждаме, че функциите $\psi_i=\varphi_i\circ{\varphi_j^{-1}}$ удовлетворяват задачата на Коши \begin{equation}\begin{cases}\frac{d}{dx_j}\left(\psi_i(x_j)\right)=g_i(\psi_1(x_j),\ldots,\psi_n(x_j)) \\ \psi_i(c_j)=c_i\end{cases},\quad i\in\{1,\ldots,n\}\setminus\{j\}. \end{equation}
Обратно, ако векторната функция $\varphi(t)=(\varphi_1(t),\ldots,\varphi_n(t))$, $t\in(\alpha,\beta)$ е решение на задачата на Коши $x_j’=f_j(t,x_1,\ldots,x_n)$, $x_j(t_0)=c_j$, $j\in\{1,\ldots,n\}$, то кривата представена с параметризация $t\mapsto\varphi(t)=(t, \varphi_1(t),\ldots,\varphi_n(t))$, е решение на задачата на Коши \begin{equation}\label{dxdtform}\begin{cases}dx_1-f_1(t,x_1,\ldots,x_n)dt=0 \\ \ldots \\ dx_n-f(t,x_1,\ldots,x_n)dt=0\end{cases}, \quad (t_0, c_1,\ldots,c_n)\in U.\end{equation} Наистина за всяко $t\in(\alpha,\beta)$ имаме $\varphi(t)\in U$, $\varphi'(t)=(1,\varphi’_1(t),\ldots,\varphi’_n(t))\neq (0,0\ldots, 0)$, $\varphi(t_0)=(t_0,c_1,\ldots,c_n)$ и за всяко $i\in\{1,\ldots,n\}$ имаме $(\varphi_i'(t)-f_i(t,\varphi_1(t),\ldots,\varphi_n(t)))dt=0$, т. е. $\varphi_i'(t)-f_i(t,\varphi_1(t),\ldots,\varphi_n(t))=0$ за всяко $t\in(\alpha,\beta)$. Оттук виждаме, че задачата за намиране на решениe на диференциална система от вида (1) води до задача на Коши за нормална система от вида (3), за която е валидна теорема за съществуване на решение (единствеността на решението зависи от допълнителни свойства на дясната страна на системата). От друга страна, всяка задача на Коши за нормална система води до задача на Коши за диференциална система от вида (4). Следователно в този смисъл нормалните и диференциалните системи са еквивалентни. Подчертаваме, че това е така, при условие че рангът на матрицата на системата е $n-1$. Точките в които рангът на тази матрица не е максимален се наричат особени точки и изследването на системата около тези точки е доста усложнено.
Ще отбележим, че основното преимущество на диференциалната система (1), е, че всички координатни функции участват в нея равноправно, т. е. те са независими една от друга, докато в системата (2) една от координатите е независима, а останалите са функции от нея. Да отбележим още, че освен от параметризацията, решенията не зависят и от дифеоморфни смени на координатите в $U$, т. е. за всяко решение на системата, прообразът му при дифеоморфизъм е решение на преобразуваната при този дифеоморфизъм система.