Реална диференцируемост. Уравнение на Коши-Риман

Както вече знаем, функция на комплексна преоменлива, това е изображение от подмножество на $\mathbb{C}$ в $\mathbb{C}$. Тъй като изображението $\mathbb{C}\ni x+iy\mapsto (x,y)\in\mathbb{R}^2$ биекция, всяка функция на комплексна променлива може да се интерпретира като изображение от подмножетсво на $\mathbb{R}^2$ в $\mathbb{C}$, като изображение от подмножество на $\mathbb{C}$ в $\mathbb{R}^2$ или като изображение от подмножество $\mathbb{R}^2$ в $\mathbb{R}^2$. Ще интерпретираме комплексните функции като изображения от подмножества на $\mathbb{R}^2$ в $\mathbb{R}^2$ и като изображения от подмножетсва на $\mathbb{R}^2$ в $\mathbb{C}$, когато правим връзка с геометрията и реалния анализ на функции на две променливи. В настоящия параграф ще видим каква е разликата и каква е връзката между диференцируемост на функция на компелксна променлива и диференцируемост на същата функция, разглеждана като функция на две реални променливи.

Определение 1. Нека $D\subset\mathbb{C}$, $a\in D$ е вътрешна точка и $f:D\to\mathbb{C}$ е функция. Частни производни на $f$ в точката $a$ се наричат границите $$\lim\limits_{\substack{h\to 0 \\ h\in\mathbb{R}}}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},\quad \lim\limits_{\substack{k\to 0 \\ k\in\mathbb{R}}}\frac{f(a+ik)-f(a)}{k},$$ (когато съществуват) и се означават съответно с $f’_x(a)$ и $f’_y(a)$ или с $\frac{\partial f}{\partial x}(a)$ и $\frac{\partial f}{\partial y}(a)$.

Определение 2. Нека $D\subset\mathbb{C}$ и $a\in D$ е вътрешна точка. Казваме, че функцията $f:D\to\mathbb{C}$ е $\mathbb{R}$-диференцируема (реално диференцируема) в точката $a$, ако съществуват числа $A,B\in\mathbb{C}$, такива че
$$f(a+h)-f(a)=A\Re h+B\Im h+o(h),\quad h\to 0.$$

Забележка. По-подробна формулировка на определението за $\mathbb{R}$-диференцируемост в точка е следното.
Казваме, че функцията $f:D\to\mathbb{C}$ е $\mathbb{R}$-диференцируема (реално диференцируема) в точката $a$, ако съществуват числа $A,B\in\mathbb{C}$, $\delta>0$ и функция $\alpha:K(a,\delta)\to\mathbb{C}$, такива че $K(a,\delta)\subset D$, $\lim\limits_{h\to 0}\alpha(h)=0$ и за всички $h\in K(0,\delta)$ е изпълнено $f(a+h)-f(a)=A\Re h+B\Im h+h\alpha(h)$.
Забележка. От Определение 2 непосредствено виждаме, че ако една функция е реално диференцируема в дадена точка, то тя е непрекъсната в точката и има частни производни. Наистина, при $\Im h=0$ и $\Re h\neq 0$, или $\Re h=0$ и $\Im h\neq 0$, имаме съответно $$\lim_{\Re h\to 0}\frac{f(a+\Re h)-f(a)}{\Re h}=A,\quad \lim_{\Im h\to 0}\frac{f(a+i\Im h)-f(a)}{\Im h}=B,$$ т. е. $A=\frac{\partial f}{\partial x}(a)$, $B=\frac{\partial f}{\partial y}(a)$. Следователно, ако $f$ е реално диференцируема в $a$, то $$f(a+h)-f(a)=f’_x(a)\Re h+f’_y(a)\Im h+o(h),\quad h\to 0.$$
От друга страна, една функция може да има частни производни в дадена точка, и да не е непрекъсната, например $$f(z)=\begin{cases}\frac{z}{\overline{z}}-\frac{\overline{z}}{z}, z\neq 0 \\ 0, z=0\end{cases}.$$
Забележка. Доказва се (прилагайки теоремата на Лагранж за крайните нараствания), че ако частните производни на една функция съществуват в околност на дадена точка и са непрекъснати в тази точка, то функцията е реално диференцируема в точката. От друга страна, една функция може да бъде реално диференцируема в дадена точка без да има непрекъснати частни производни в точката. Например $$f(z)=\begin{cases}|z|^2\sin\frac{1}{|z|^2}, z\neq 0\\ 0, z=0\end{cases}.$$

Твърдение 1. Нека $D\subset\mathbb{C}$ и $a\in D$ е вътрешна точка. Функцията $f:D\to\mathbb{C}$ е комплексно диференцируема ($\mathbb{C}$-диференцируема) в точката $a$, тогава и само тогава, когато $f$ е $\mathbb{R}$-дифернцируема в точката $a$ и удовлетворява уравнението на Коши-Риман $f’_x(a)+if’_y(a)=0$ в тази точка.
Доказателство. Лесно се вижда, че $f$ е комплексно диференцируема в точката $a$, тогава и само тогава когато съществува $A\in\mathbb{C}$ такова че $$f(a+h)-f(a)=Ah+o(h),\quad h\to 0,$$ при което $A=f'(a)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$. Тогава $$f(a+h)-f(a)=f'(a)\Re h+if'(a)\Im h+o(h),\quad h\to 0.$$ Оттук виждаме, че функцията $f$ е реално диференцируема и $$f’_x(a)=f'(a), \quad f’_y(a)=if'(a).$$ Следователно $f’_x(a)+if’_y(a)=f'(a)-f'(a)=0$, т. е. изпълнено е уравнението на Коши-Риман.
Обратно, ако $f$ е $\mathbb{R}$-диференцируема функция в точката $a$ и е изпълнено уравнението на Коши-Риман $f’_x(a)+if’_y(a)=0$, то $$f(a+h)-f(a)=f’_x(a)\Re h+f’_y(a)\Im h+o(h)=$$$$=f’_x(a)\Re h+if_x'(a)\Im h+o(h)=f’_x(a)(\Re h+i\Im h)+o(h)=f’_x(a)h+o(h),\quad h\to 0,$$ което показва, че $f$ е $\mathbb{C}$ диференцируема в точката $a$ и $f'(a)=f’_x(a)$.

Упражнение 1. Нека $f$ е комплексно диференцируема в точката $a$ и $u=\Re f$, $v=\Im f$. Какви съотношения между функциите $u,v$ се получават от уравнението на Коши-Риман?
Упражнение 2. Посочете пример на реално диференцируема функция, която не е комплексно диференцируема и пример на функция, която удовлетворява уравнението на Коши-Риман, но не е комплексно диференцируема.

Диференциали на $\mathbb{R}$-диференцируеми функции

Определение 3. Нека $D\subset\mathbb{C}$ е отворено множество. Функцията $z:D\to\mathbb{C}$, дефинирана с $z(a)=a$, за всяко $a\in D$ (т. е. идентитета в $D$) ще наричаме (локална) координатна функция върху $D$. Функциите $x:D\to\mathbb{R}$, $y:D\to\mathbb{R}$, дефинирани с $x(a)=\Re a$, $y(a)=\Im a$, за всяко $a\in D$ ще наричаме реални (локални) координатни функции върху $D$.
Забележка. Очевидно, за всяко отворено множество $D\subset\mathbb{C}$ е изпълнено
$z=x+iy$, $x=\frac{1}{2}(z+\overline{z})$, $y=\frac{1}{2i}(z-\overline{z})$.

Определение 4. Нека $D\subset\mathbb{C}$ е отворено множество $a\in D$ и $f:D\to\mathbb{C}$ е $\mathbb{R}$-диференцируема функция в точката $a$. Диференциал на функцията $f$ в точката $a$, наричаме реално линейното изображение $df_a:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$, дефинирано с $$df_a(h+ik)=f’_x(a)h+f’_y(a)k$$ където $f’_x(a)$ и $f’_y(a)$ са частните производни на $f$ в точката $a$. Диференциал на функцията $f$ наричаме изображението $D\ni a\mapsto df_a\in\mathcal L_{\mathbb{R}}(\mathbb{C})$, което ще означаваме за краткост с $df$ ($\mathcal L_{\mathbb{R}}(\mathbb{C})$ е реалното векторно простраснтво на реално-линейните изображения от $\mathbb{C}$ в $\mathbb{C}$).

Определение 5. Нека $f$ и $g$ са $\mathbb{R}$-диференцируеми комплексно-значни функции в отворено множество $D\subset\mathbb{C}$. Дефинираме $df+dg$ и $gdf$ като изображенията $a\mapsto df_a+dg_a$, $a\mapsto g(a)df_a$. Наричаме ги съответно, сума на диференциалите на $f$ и $g$ и произведение на диференциала на $f$ с функцията $g$.

Твърдение 2. Ако $f, g$ и $h$ са $\mathbb{R}$-диференцируеми комплексно-значни функции в отворено множество $D\subset\mathbb{C}$ и $\lambda\in\mathbb{C}$, то
$d(f+g)=df+dg$, $h(df+dg)=hdf+hdg$, $(f+g)dh=fdh+gdh$, $d(fg)=fdg+gdf$, $d(\lambda f)=\lambda df$.
Доказателство. От свойствата на частните производни, за всяка точка $a\in D$ имаме
$$d(f+g)_a=df_a+dg_a, \quad h(a)(df_a+dg_a)=h(a)df_a+h(a)dg_a, \quad (f(a)+g(a))dh_a=f(a)dh_a+g(a)dh_a,$$$$ d(fg)_a=g(a)df_a+f(a)dg_a, \quad d(\lambda f)_a=\lambda df_a.$$ Оттук и Определение 5 получаваме верността на твърдението.

Твърдение 3. Нека $D\subset\mathbb{C}$ е отворено множество и $f:D\to\mathbb{C}$ е $\mathbb{R}$-диференцируема функция в $D$. Тогава $$df=f’_xdx+f’_ydy,\quad df=f’_zdz+f’_{\overline{z}}d\overline{z},$$ където $x,y$ са реалните координатни функции върху $D$, $f’_x$ и $f’_y$ са частните производни на $f$ в $D$, $z=x+iy$ и $f’_z=\frac{1}{2}(f’_x-if’_y)$, $f’_{\overline{z}}=\frac{1}{2}(f’_x+if’_y)$ (производни на Виртингер).
Доказателство. За всяка точка $a\in D$, по определение $dx_a(h+ik)=h$, $dy_a(h+ik)=k$. Следователно $$df_a(h+ik)=f’_x(a)dx_a(h+ik)+f’_y(a)dy_a(h+ik)=(f’_x(a)dx_a+f’_y(a)dy_a)(h+ik),$$ което покзава, че $df_a=f’_x(a)dx_a+f’_y(a)dy_a$. Оттук и от Определение 5 имаме $df=f’_xdx+f’_ydy$. В частност $dz=dx+idy$ и $d\overline{z}=dx-idy$ и прилагайки Твърдение 2 получаваме $dx=\frac{1}{2}(dz+d\overline{z})$, $dy=\frac{1}{2i}(dz-d\overline{z})$. Следователно $$df=\frac{f’_x}{2}\left(dz+d\overline{z}\right)+\frac{f’_y}{2i}\left(dz-d\overline{z}\right)=\frac{1}{2}(f’_x-if’_y)dz+\frac{1}{2}(f’_x+if’_y)d\overline{z}=f’_zdz+f’_{\overline{z}}d\overline{z}.$$

Твърдение 4. Нека $f:D\to\mathbb{C}$ е $\mathbb{R}$-диференцируема функция в отворено множество $D$. Тогава следните условия са еквивалентни:
а) функцията $f$ е холоморфна в $D$,
б) $df=f’dz$ в $D$,
в) $f’_{\overline{z}}=0$ в $D$.
Доказателство. Уравнението $f’_{\overline{z}}=0$ е друг запис на уравнението на Коши-Риман. Следователно а) и в) са еквивалентни. Функцията $f$ е холоморфна в $D$, тогава и само тогава, когато $f’=f’_x=-if’_y$. Следователно $f’_{\overline{z}}=\frac{1}{2}(f_x+if’_y)=0$ и $f’_z=\frac{1}{2}(f_x-if’_y)=f’_x=f’$, откъдето $df=f’dz$. Обратното е очевидно. Следователно а) и б) са еквивалентни.

Определение 6. Нека $U\subset\mathbb{C}^2$ е отворено множество и $(a,b)\in U$. Казваме, че функцията $f:U\to\mathbb{C}$ е комплексно диференцируема в точката $(a,b)$, ако съществуват числа $A,B\in\mathbb{C}$, за които $f(a+h,b+k)-f(a,b)=Ah+Bk+o(\sqrt{|h|^2+|k|^2})$, при $(h,k)\to(0,0)$.
Забележка. Проверява се, че ако $f$ е комплексно диференцируема в точката $(a,b)$, то $A=f’_z(a,b)$ и $B=f’_w(a,b)$, където $f’_z(a,b)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}$ и $f’_w(a,b)=\lim\limits_{k\to 0}\frac{f(a,b+k)-f(a,b)}{k}$ са частните производни на $f$ в точката $(a,b)$.

Твърдение 5. Нека $U\subset\mathbb{C}^2$ е отворено множество, а $D\subset\mathbb{C}$ е отворено множество за което $D\times \overline D\subset U$. Ако $f:U\to\mathbb{C}$ е комплексно диференцируема в $U$ и $g:D\to\mathbb{C}$ се определя с $g(z)=f(z,\overline{z})$, то $g’_{\overline{z}}(z)=f’_w(z,\overline{z})$.
Доказателство. От диференцируемостта на $f$ имаме $$g(z+h)=f(z+h,\overline{z}+\overline{h})=f(z,\overline{z})+Ah+B\overline{h}+o\left(\sqrt{|h|^2+|\overline{h}|^2}\right)=g(z)+Ah +B\overline{h}+o(h),\quad h\to 0.$$ Следователно, ако $h=\alpha+i\beta$, където $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ и $\beta=0$, $\alpha\neq 0$, то $$\frac{g(z+\alpha)-g(z)}{\alpha}=A+B+o(1),\quad\alpha\to 0,$$ откъдето $g’_x(z)=A+B$. Аналогично, при $\alpha=0$ и $\beta\neq 0$ имаме $$\frac{g(z+i\beta)-g(z)}{\beta}=i(A-B)+o(1),\quad \beta\to 0,$$ което показва, че $g’_y(z)=i(A-B)$. Оттук $$g’_{\overline{z}}(z)=\frac{1}{2}\left(g’_x(z)+ig’_y(z)\right)=\frac{1}{2}(A+B+i^2(A-B))=B.$$ От друга страна, тъй като $$f(z+h,\overline{z}+k)=f(z,\overline{z})+Ah+Bk+o(\sqrt{|h|^2+|k|^2}),\quad (h,k)\to(0,0)$$ виждаме, че при $h=0$ и $k\neq 0$ имаме $$\frac{f(z,\overline{z}+k)-f(z,\overline{z})}{k}=B+o(1),\quad k\to 0,$$ откъдето $f’_w(z,\overline{z})=B$. С това твърдението е доказано.

Забележка. От Твърдение 5 виждаме, че ако една функция на комплексна променлива се записва като функция на $z$ и $\overline{z}$, и съответната функция на две комплексни променливи е комплексно диференцируема, то формалната частна производна на функцията по $\overline{z}$ съвпада с частната производна по втората променлива на съответната функция на две променливи, пресметната в точката $(z,\overline{z})$. Да илюстрираме казаното със следния пример. Ако $f(z)=z(z+\overline{z}^2)$, то $f(z)=z^2+z\overline{z}^2=(x+iy)^2+(x+iy)(x-iy)^2$ и $$f’_x(z)=2(x+iy)+(x-iy)^2+2(x+iy)(x-iy),$$ $$f’_y(z)=2(x+iy)i+i(x-iy)^2+2(x+iy)(x-iy)(-i).$$ Оттук $$f’_{\overline{z}}(z)=\frac{1}{2}\left(f’_x(z)+if’_y(z)\right)=\frac{1}{2}(4(x-iy)(x+iy))=2(x^2+y^2)=2|z|^2.$$ От друга страна, функцията $g(z,w)=z^2+zw^2$ е комплексно диференцируема функция на две променливи и $g’_w(z,w)=2zw$, при което $g’_w(z,\overline{z})=2z\overline{z}=2|z|^2$. Оттук и от доказаното твърдение виждаме, че за пресмятането на $f’_{\overline{z}}$, можем да не прилагаме дефиницията, а да диференцираме директно по $\overline{z}$, както по отделна променлива. Ако обаче същата функция е записана във вида $f(z)=z^2+|z|^2\overline{z}$, то функцията $g(z,w)=z^2+|z|^2w$ няма да е комплексно диференцируема при $w\neq 0$ и съответно $f’_{\overline{z}}(z)\neq g’_w(z,\overline{z})=z^2+|z|^2$ при $z\neq 0$.

Основна теорема на интегралното смятане

Твърдение 6. Нека $D\subset\mathbb{C}$ е област и $f:D\to\mathbb{C}$ е $\mathbb{R}$-диференцируема функция, такава че $df=0$ в $D$. Тогава съществува $c\in\mathbb{C}$, такова че $f(z)=c$ за всяко $z\in D$.
Доказателство. Условието $df=0$ в $D$ означава, че $f’_x(z)=f’_y(z)=0$, за всяко $z\in D$.

Забележка. Ако производната на една функция е тъждествено нула в отворено множество на $\mathbb{C}$, то тя не е длъжна да бъде константа. Например за функцията $f:\mathbb{C}\setminus C(0,1)\to\mathbb{C}$ дефинирана с $f(z)=0$ за $|z|<1$ и $f(z)=1$ за $|z|>1$ имаме $f'(z)=0$ за всяко $z\in\mathbb{C}\setminus C(0,1)$, но $f$ не е константа в това множество. Ще отбележим, че тъй като свързаните компоненти на всяко отворено множество в $\mathbb{C}$ са области, ако производната на една функция е тъждествено нула в отворено множество на $\mathbb{C}$, то функцията е константа (изобщо казано различна) във всяка свързана компонента на множеството.

назад