Логаритмуване на комплексни числа

Определение 1. За всяко $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ дефинираме $\log z=\{w\in\mathbb{C}|\exp w=z\}$. Това множество се нарича логаритъм на числото $z$.

Твърдение 1. Нека $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$. Тогава $$\log z=\ln|z|+i\text{Arg }z +2\pi i\mathbb{Z}=\ln |z|+i\arg z.$$
Доказателство. Преди всичко да забележим, че $\ln|z|+i\text{Arg }z +2\pi i\mathbb{Z}=\ln |z|+i\arg z$. В експоненциална форма $z=\exp(\ln|z|+i\text{Arg }z)$. Ако $\exp w=z$, то $\exp(w-\ln|z|-i\text{Arg }z)=1$. От Твърдение 2 от Тема 7 получаваме, че $w-\ln|z|-i\text{Arg }z\in 2\pi i\mathbb{Z}$, т. е. $w\in \ln|z|+i \text{Arg }z+2\pi i\mathbb{Z}$. Обратно, ако $w\in\ln|z|+i \text{Arg } z+2\pi i\mathbb{Z}$, то съществува $k\in\mathbb{Z}$, за което $w=\ln|z|+i \text{Arg }z+2k\pi i$. Тогава $\exp w=\exp(\ln|z|+i \text{Arg }z+2k\pi i)=\exp(\ln|z|+i\text{Arg }z)=z$.

Забележка. Числото $\ln|z|+i \text{Arg }z$ се нарича главна стойност на $\log z$ и се означава с $\log_0z$. Тогава $\log z=\log_0z+2\pi i\mathbb{Z}$.
Забележка. В алгебрична формулировка, Твърдение 1 гласи, че изображението $\exp:\mathbb{C}\to \mathbb{C}\setminus\{0\}$ е сюрективен хомоморфизъм на групи с ядро $2\pi i\mathbb{Z}$ (Твърдение 2 от Тема 7). От теоремата за хомоморфизмите следва съществуването на изоморфизъм $\log:\mathbb{C}\setminus\{0\}\to\mathbb{C}/2\pi i\mathbb{Z}$. Следователно $\log$ има следните свойства $\log zw=\log z+\log w$ и $\log(z^{-1})=-\log z$.
Забележка. За разлика от реалния случай, уравнението $\exp z=w$ има безброй решения, поради което не може да се определи единствена логаритмична функция, която да приема числови стойности.

Упражнение 4. Пресметнете $\log (-1)$, $\log (-1+i)$, $\log(\sin i)$, $\log(i\exp{2i})$, $\log(\exp(1+i))$.
Упражнение 5. Проверете непосредствено, че $\log$ е хомоморфизъм на групи, т. е. $$\log z^{-1}=-\log z, \quad \log(zw)=\log z+\log w, \quad z, w\in\mathbb{C}\setminus\{0\}.$$
Упражнение 6. Проверете, че $\exp\log=\text{id }$ и $\log\exp=p$, където $p:\mathbb{C}\to \mathbb{C}/2\pi i\mathbb{Z}$ е каноничното изображение.
Упражнение 7. Нека $w\in\mathbb{C}$. Опишете следните множества
а) $\{z\in\mathbb{C}|\sin z=w\}$, б) $\{z\in\mathbb{C}|\cos z=w\}$ , в) $\{z\in\mathbb{C}|\tan z=w\}$, г) $\{z\in\mathbb{C}|\cot z=w\}$.

Степенуване с комплексни числа

Определение 2. За всяко $z \in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ и $\alpha\in\mathbb{C}$ дефинираме $$z^{\alpha}=\exp(\alpha\log z):=\{\exp(\alpha w)|w\in\log z\}.$$

Забележка. От горното определение виждаме, че резултатът от степенуването на ненулево комплексно число с произволно комплексно число в общия случай не е едно число, а цяло множество от комплексни числа. Можем да забележим, че всеки елемент на множеството $z^{\alpha}$ е от вида $$\exp(\alpha(\ln|z|+i \text{Arg }z+2k\pi i)),$$ където $k\in\mathbb{Z}$. Тъй като $$\exp(\alpha(\ln|z|+i \text{Arg }z+2k\pi i))=\exp(\alpha\log_0 z)\exp(2\pi ik\alpha),$$ виждаме, че елементите на множеството $z^{\alpha}$ се получават, като произведения на комплексното число $\exp(\alpha\log_0 z)$ със стойностите на редиците $(\exp(2k\pi i\alpha))_{k=0}^{\infty}$ и $(\exp(-2k\pi i\alpha))_{k=0}^{\infty}$. За да добием нагледна представа за броят и разположението на елементите на $z^{\alpha}$ е достатъчно да изследваме само редицата $$(\exp(2k\pi i\alpha))_{k=0}^{\infty},$$ тъй като другата редица се получава със замяна на $\alpha$ с $-\alpha$. Можем да забележим, че броят на елементите на $z^{\alpha}$ се управлява изцяло от редицата $(\exp(2k\pi i\alpha))_{k=0}^{\infty}$. В зависимост от $\alpha$ тази редица може да приема стойност 1 (при $\alpha\in\mathbb{Z}$), да има краен брой точки на сгъстяване, чието множество съвпада с $\sqrt[m]{1}$ за някое $m\in\mathbb{N}$ (при $\alpha\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z}$), или да има безбройно много точки на сгъстяване, които запълват единичната окръжност (при $\alpha\in\mathbb{R}\setminus{\mathbb{Q}}$). При $\alpha\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$ имаме $\alpha=\sigma+i\tau$, където $\sigma,\tau\in\mathbb{R}$ и $\tau\neq 0$, и $$\exp(2k\pi i(\sigma+i\tau))=\exp(2k\pi i\sigma)\exp(-2k\pi \tau).$$ Оттук виждаме, че при $\sigma\in\mathbb{Z}$ получаваме неограничена редица от положителни реални числа, при $\sigma\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z}$ имаме неограничена редица, чиито стойности лежат върху лъчите с начало $0$, минаващи през елементите на $\sqrt[m]{1}$ за някое $m\in\mathbb{N}$, а при $\sigma\in\mathbb{R}\setminus{\mathbb{Q}}$ имаме неограничена редица, за която точките от всяка окръжност с център $0$ са точки на сгъстяване, и чиито стойности лежат върху всеки лъч с начало $0$, т. е. имаме редица, за която всички точки от $\mathbb{C}$ са точки на сгъстяване.
Забележка. За съжаление с дефинирането на степен с комплексен показател не печелим почти нищо, тъй като част от обичайните свойства на степените с реални числа не остават в сила. Нещо повече, за да се формулират съответните свойства e необходимо се дават допълнителни дефиниции. Например за изразите $z^{\alpha}z^{\beta}$ и $(z^{\alpha})^{\beta}$. Най-естествено е да дефинираме $$z^{\alpha}z^{\beta}:=\{ab|a\in z^{\alpha},b\in z^{\beta}\}.$$ Тогава можем да забележим, че $$z^{\alpha}z^{\beta}=\{\exp((\alpha+\beta)\log_0z)\exp(2\pi i(\alpha k+\beta m))|k,m\in\mathbb{Z}\},$$ и $$z^{\alpha+\beta}=\{\exp((\alpha+\beta)\log_0z)\exp(2\pi ik(\alpha+\beta))|k\in\mathbb{Z}\}\subset z^{\alpha}z^{\beta},$$ откъдето виждаме, че $z^{\alpha+\beta}\neq z^{\alpha}z^{\beta}$, при $\alpha,\beta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}$. Можем да забележим също, че ако $\alpha\in\mathbb{Z}$ или $\beta\in\mathbb{Z}$, то $z^{\alpha+\beta}=z^{\alpha}z^{\beta}$. По отношение на израза $(z^{\alpha})^{\beta}$, трябва да забележим, че на степен $\beta$ се повдига не едно комплексно число, а цяло множество от комплексни числа, а именно $z^{\alpha}$. Естествено е тогава да си мислим за $(z^{\alpha})^{\beta}$ като за множество, което съдържа всеки елемент на $z^{\alpha}$, повдигнат на степен $\beta$. Съответната дефиниция в този случай е $$(z^{\alpha})^{\beta}:=\bigcup_{w\in z^{\alpha}}w^\beta=\bigcup_{w\in z^{\alpha}}\exp(\beta\log w).$$ Тогава можем да забележим, че $$(z^{\alpha})^{\beta}=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\exp(\beta\log(\exp(\alpha\log_0z+2\pi i\alpha k))).$$
Тъй като $$\log(\exp(\alpha\log_0z+2\pi i\alpha k))=\alpha\log_0z+2\pi i\alpha k+2\pi i\mathbb{Z},$$ виждаме, че $$\exp(\beta\log(\exp(\alpha\log_0z+2\pi i\alpha k)))=\{\exp(\beta(\alpha\log_0z+2\pi i\alpha k+2\pi is))|s\in\mathbb{Z}\}.$$ Тогава $$(z^{\alpha})^{\beta}=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\{\exp(\alpha\beta\log_0z+2\pi i\alpha\beta k+2\pi i\beta s))|s\in\mathbb{Z}\}=\{\exp(\alpha\beta\log_0z)\exp(2\pi i\alpha\beta k+2\pi i\beta s)|k,s\in\mathbb{Z}\}.$$ Оттук виждаме, че $$(z^{\beta})^{\alpha}=\{\exp(\alpha\beta\log_0z)\exp(2\pi i\alpha\beta k+2\pi i\alpha s)|k,s\in\mathbb{Z}\},$$ което показва, че при $\alpha\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}$ или $\beta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}$, $$(z^{\alpha})^{\beta}\neq (z^{\beta})^{\alpha}.$$ Също така, тъй като $z^{\alpha\beta}=\{\exp(\alpha\beta\log_0z)\exp(2\pi i\alpha\beta k)|k\in\mathbb{Z}\}$, виждаме, че при $\alpha\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}$ $$z^{\alpha\beta}\subsetneq(z^{\beta})^{\alpha}$$ и при $\beta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}$, $$z^{\alpha\beta}\subsetneq(z^{\alpha})^{\beta}.$$
Можем да забележим също така, че при $\alpha\in\mathbb{Z}$ и $\beta\in\mathbb{C}$ имаме $z^{\alpha\beta}=(z^{\beta})^{\alpha}$.

Упражнение 8. Вярно ли е, че $(zw)^{\alpha}=z^{\alpha}w^{\alpha}$, за всички $z,w\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$, $\alpha\in\mathbb{C}$?

Твърдение 2. Нека $p\in\mathbb{Z}$, $q\in\mathbb{N}$ и $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$. Тогава $z^{\frac{p}{q}}=(\sqrt[q]{z})^p$.
Доказателство. Тъй като $p\in\mathbb{Z}$ имаме, $z^{\frac{p}{q}}=z^{\frac{1}{q}p}=(z^{\frac{1}{q}})^p$. Следователно е достатъчно да покажем, че $z^{\frac{1}{q}}=\sqrt[q]{z}$. Действително $$z^{\frac{1}{q}}=\left\{\exp\left(\frac{1}{q}\left(\ln|z|+i \text{Arg }z+2\pi ik\right)\right)\Big|k\in\mathbb{Z}\right\},$$ $$\exp\left(\frac{1}{q}\left(\ln|z|+i \text{Arg }z+2\pi ik\right)\right)=\exp\left(\ln|z|^{\frac{1}{q}}\right)\exp\left(\frac{i \text{Arg }z+2\pi ik}{q}\right)=\sqrt[q]{|z|}\exp\left(i\frac{\text{Arg }z+2\pi k}{q}\right),$$
и от доказателството на Твъдение 4 от Тема 7 виждаме, че $z^{\frac{1}{q}}=\sqrt[q]{z}$, с което твърдението е доказано.

Упражнение 9. Пресметнете \newline $i^{\sqrt{2}}$, $(1+i)^{2-3i}$, $1^{2+4i}$, $(1+i\sqrt{3})^{e^{2i}}$, $\sin(i)^{\cos (i)}$, $e^i$, $\pi^e$, $(\cos\pi)^{e^{\pi i}}$, $(-1)^{\frac{1}{2}}$, $(-27)^{\frac{1}{3}}$, $1^e$
Упражнение 10. Нека $n,m\in\mathbb{N}\setminus\{1\}$, $p\in\mathbb{Z}$ и $z,w\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$. Кои от следните съотношения са верни?
$\sqrt[n]{zw}=\sqrt[n]{z}\sqrt[n]{w}$, $\sqrt[n]{z^p}=(\sqrt[n]{z})^p$, $\sqrt[n]{z^p}=z^{\frac{p}{n}}$, $(\sqrt[n]{z})^{\frac{1}{m}}=\sqrt[mn]{z}$?
Упражнение 10. Вярно ли е, че $e^z=\exp z$ за $z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$?

Еднозначни клонове на $\log$

В предния параграф разглеждахме комплексния логаритъм като хомоморфизъм на групи, чиито стойности са елементи на факторгрупа, т. е. класове на еквивалентност. В този смисъл $\log$ не е числова функция. В настоящия параграф ще видим по какъв начин можем да разглеждаме $\log$ като съвкупност от функции, чиито стойности са комплексни числа.
Определение 3. Нека $D\subset\mathbb{C}\setminus\{0\}$ е област. Казваме функцията $f:D\to\mathbb{C}$ е еднозначен клон на $\log$, ако $f$ е непрекъсната функция в $D$ и $\exp{f(z)}=z$, за всяко $z\in D$.

Забележка. Определение 3 показва, че ако $f:D\to\mathbb{C}$ е еднозначен клон на $\log$, то за всяка точка на $D$, стойността $f(z)$ e един от елементите на $\log z$. Също така, ако $k\in\mathbb{Z}$ и $f$ е еднозначен клон на $\log$ в $D$, то $f+2k\pi i$ е също еднозначен клон. Оказва се, че пробягвайки $k$, по този начин можем да получим всички еднозначни клонове на $\log$ в $D$.

Твърдение 3. Нека $f$ и $g$ са еднозначни клонове на $\log$ в областта $D\subset\mathbb{C}\setminus\{0\}$. Тогава съществува $k\in\mathbb{Z}$, такова че $f(z)-g(z)=2k\pi i$ за всяко $z\in D$.
Доказателство. Според Определение 3, $\exp{f(z)}=z=\exp{g(z)}$ за всяко $z\in D$. Следователно за всяко $z\in D$ съществува число $k(z)\in\mathbb{Z}$, такова, че $f(z)-g(z)=2k(z)\pi i$ (Твърдение 2 от Тема 7). Следователно $k(z)=\frac{f(z)-g(z)}{2\pi i}$ е непрекъсната функция в $D$, която приема целочислени стойности, и следователно тя е локално постоянна функция в $D$. Тъй като $D$ е свързано множество, функцията $k$ е постоянна в $D$ (Твърдение 5 от Тема 5).

Забележка. От Твърдение 3, виждаме всеки два еднозначни клона на $\log$ в $D$, се отличават с целочислено кратно на $2\pi i$, и следователно, за да определим всички еднозначни клонове на $\log$ в дадена област $D$, е достатъчно да намерим само един.

Забележка. За да дадем пример на област, в която можем да дефинираме езнозначни клонове на $\log$, да си спомним по какъв начин дефинирахме реалния логаритъм: на всяко $x>0$ съпоставяме единственото реално число $y$, за което $e^y=x$. От друга страна, ако $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$, то съществуват безбройно много числа $w\in\mathbb{C}$, за които $\exp w=z$. Това показва, че за разлика от реалния случай,  уравнението $\exp w=z$ не определя функция, тъй като то има безброй решения, а именно $w\in \ln|z|+i \text{Arg }z+2\pi i\mathbb{Z}$. Бихме могли да дефинираме функция в $\mathbb{C}\setminus\{0\}$, която на всяко ненулево комплексно число $z$ съпоставя едно от многото решения на уравнението $\exp w=z$. По-точно, за всяко $k\in\mathbb{Z}$, можем да определим функция $f_k:\mathbb{C}\setminus\{0\}\to\mathbb{C}$, като $f_k(z)=\ln|z|+i \text{Arg }z+2k\pi i$. Тогава $\exp{f_k(z)}=z$, за всяко $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$, но $f_k$ не е непрекъсната в $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ и следователно тя не е еднозначен клон на $\log$ в областта $\mathbb{C}\setminus\{0\}$. От друга страна, в следващото твърдение ще видим, че $f_0$ е непрекъсната в $\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$ и следователно тя е е еднозначен клон на $\log$ в тази област. Следователно функциите $f_k$ за $k\in\mathbb{Z}$ са всички еднозначни клонове на $\log$ в областта $\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$. Означават се с $\log_k$, когато това не води до объркване.

Твърдение 4. Функцията $f:\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]\to\mathbb{C}$, дефинирана с $f(z)=\ln|z|+i\text{Arg } z$ е еднозначен клон на $\log$ в областта $\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$.
Доказателство. За всяко $z\in\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$ имаме $$\exp{(f(z))}=\exp{(\ln|z|+i \text{Arg }z)}=\exp{(\ln|z|)}\exp{(i\text{Arg }z)}=|z|\frac{z}{|z|}=z.$$ За да установим, че функцията $f$ е непрекъсната е достатъчно да покажем, че функцията $$\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]\ni z\mapsto \text{Arg }z\in(-\pi,\pi)$$ е непрекъсната, тъй като функцията $\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]\ni z\mapsto\ln|z|\in\mathbb{R}$ е непрекъсната. Нека $a\in \mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$ и $z:\mathbb{N}\to\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$ е редица, за която $z\to a$. Тогава $-\pi< \text{Arg }a<\pi$ и $-\pi< \text{Arg }z_n<\pi$ за всяко $n\in\mathbb{N}$, което показва, че редицата $( \text{Arg }z_n)_{n=1}^{\infty}$ е ограничена. Следователно тя има сходяща подредица (Твърдение 3 от Тема 2). Нека $( \text{Arg }z_{n_k})_{k=1}^{\infty}$ е произволна сходяща подредица на $z$ и нека $b=\lim\limits_{k\to\infty}\text{Arg }z_{n_k}$. Тогава $$\exp(i \text{Arg }z_{n_k})=\frac{z_{n_k}}{|z_{n_k}|}\to\frac{a}{|a|}.$$ От друга страна, от непрекъснатостта на експонентата имаме $$\exp(i \text{Arg }z_{n_k})\to \exp{(ib)}.$$ Следователно $$\exp{(ib)}=\frac{a}{|a|}=\exp{(i \text{Arg }a)},$$ откъдето $b- \text{Arg } a\in 2\pi i\mathbb{Z}$ (Твърдение 2 от Тема 7). Тъй като $-\pi\leq b\leq \pi$ и $-\pi< \text{Arg }a<\pi$ виждаме, че $|b- \text{Arg }a|<2\pi$. Следователно $b= \text{Arg } a$, т. е. $ \text{Arg } z_{n_k}\to \text{Arg }a$. Тъй като редицата $( \text{Arg }z_n)_{n=1}^{\infty}$ е ограничена и всяка нейна сходяща подредица клони към $ \text{Arg }a$, тя има единствена точка на сгъстяване и следователно е сходяща (Твърдение 4 от Тема 2). Следователно $\lim\limits_{n\to\infty} \text{Arg } z_n= \text{Arg }a$, с което твърдението е доказано.

В следващото твърдение ще се убедим, че всеки еднозначен клон на $\log$ е холоморфна функция в дефиниционното си множество.

Твърдение 5. Нека $f$ е еднозначен клон на $\log$ в областта $D\subset\mathbb{C}\setminus\{0\}$. Тогава $f$ е холоморфна функция в $D$ и $f'(z)=\frac{1}{z}$, за всяко $z\in D$.
Доказателство. За всяко $z\in D$, от Определение 3 имаме $$\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{z+h-z}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{\exp{(f(z+h))}-\exp{(f(z))}}=$$$$=\lim\limits_{h\to 0}\frac{1}{\exp{f(z)}}\cdot\frac{f(z+h)-f(z)}{\exp{(f(z+h)-f(z))}-1}=$$$$=\frac{1}{\exp{f(z)}}\lim\limits_{h\to 0}\left(\frac{\exp{(f(z+h)-f(z))}-1}{f(z+h)-f(z)}\right)^{-1}=\frac{1}{z}\left(\lim\limits_{h\to 0}\frac{\exp{(f(z+h)-f(z))}-1}{f(z+h)-f(z)}\right)^{-1}=\frac{1}{z}.$$ За да получим последното равенство използвахме, че $f(z+h)-f(z)\to 0$ при $h\to 0$ (предвид непрекъснатостта на $f$), и че $\lim\limits_{z\to 0}\frac{\exp z-1}{z}=1$. Следователно $f$ е холоморфна функция в $D$ и $f'(z)=\frac{1}{z}$, за всяко $z\in D$.

Забележка. Да забележи, че ако $D\subset\mathbb{C}\setminus\{0\}$ е област и $g:D\to\mathbb{C}\setminus\{0\}$ произволна функция, то $\log g$ не е комплексно-значна функция и същевременно изображението $D\ni z\mapsto\log g(z)\in\mathbb{C}/2\pi i\mathbb{Z}$ не допуска алгебрична интерпретация. От друга страна, $\log g$ може (също както $\log$) да се разглежда като съвкупност от комплексно-значни функции (еднозначни клонове) дефинирани върху $D$.

Определение 4. Нека $D\subset\mathbb{C}\setminus\{0\}$ е област и $g:D\to\mathbb{C}\setminus\{0\}$ е непрекъсната функция. Казваме функцията $f:D\to\mathbb{C}$ е еднозначен клон на $\log g$, ако $f$ е непрекъсната функция в $D$ и $\exp{(f(z))}=g(z),$ за всяко $z\in D$.

Забележка. От Определение 4 се вижда (както в Твърдение 3), че всички еднозначни клонове на $\log g$ се определят с точност до целочислено кратно на $2\pi i$. Също така, от теоремата за диференциране на съставна функция и Твърдение 5 следва, че ако $g$ е холоморфна функция, която не се анулира в $D$, то всеки еднозначен клон $f$ на $\log g$ в $D$ е холоморфна функция и $f'(z)=\frac{g'(z)}{g(z)}$ за всяко $z\in D$ (трябва да се пресметне диференчното частно). В следващите теми ще видим при какви условия за областта $D$ съществуват еднозначни клонове на $\log g$, при условие, че $g$ е холоморфна функция в $D$.

назад