Експоненциална форма на комплексните числа

В настоящия параграф ще видим, че изображението $\exp:\mathbb{C}\to\mathbb{C}\setminus\{0\}$ е сюрективно. Това позволява всяко ненулево комплексно число да се представя, като експонента на някое друго комплексно число. Такова представяне на числата е полезно с това, че операциите умножение, деление, степенуване и коренуване, могат да се извършват непосредствено. Освен това, то води до интересна геометрична интерпретация на тези операции.

Твърдение 1. За всяко $z\in\mathbb{C}$ и всяко $k\in\mathbb{Z}$ е вярно $\exp(z+2k\pi i)=\exp z$ (периодичност на $\exp$).
Доказателство. От основното свойство на $\exp$ и периодичността на $\sin$ и $\cos$, за всяко $z\in\mathbb{C}$ и всяко $k\in\mathbb{Z}$ имаме
$$\exp(z+2k\pi i)=\exp z\exp(2k\pi i)=\exp z(\cos 2k\pi+i\sin 2k\pi)=\exp z.$$

Твърдение 2. $\{z\in\mathbb{C}|\exp z=1\}=2\pi i\mathbb{Z}$.
Доказателство. Нека $z=x+iy$ и $\exp z=1$. Тогава $|\exp z|=1$. Тъй като $|\exp z|=|\exp x\cdot \exp{iy}|=|\exp x||\exp{iy}|=\exp x\sqrt{\cos^2y+\sin^2y}=\exp x=1$, виждаме, че $x=0$ откъдето $z=iy$. Тогава $\exp{iy}=1$, т. е. $\cos y+i\sin y=1$ откъдето $\cos y=1$ и $\sin y=0$. От твърдение 8 на Тема 6 имаме $y\in\pi\mathbb{Z}$, т. е. съществува $k\in\mathbb{Z}$, такова че $y=k\pi$. Тогава $\cos y=\cos k\pi=(-1)^k$, откъдето $y\in 2\pi\mathbb{Z}$, т. е. $z\in2\pi i\mathbb{Z}$. Следователно $\{z\in\mathbb{C}|\exp z=1\}\subset2\pi i\mathbb{Z}$. Обратно, ако $z\in2\pi i\mathbb{Z}$, то същестува $k\in\mathbb{Z}$, за което $z=2k\pi i$. Тогава от Твърдения 1, 1) и 5 от Тема 6 имаме $\exp(z)=\exp(2k\pi i)=\cos(2k\pi)+i\sin(2k\pi)=1$, т. е. $2\pi i\mathbb{Z}\subset\{z\in\mathbb{C}|\exp z=1\}$.

Забележка. На алгебричен език Твърдение 2 гласи, че ядрото на хомоморфизмът $\exp:\mathbb{C}\to\mathbb{C}\setminus\{0\}$ е адитивната подгрупа $2\pi i\mathbb{Z}$.

Твърдение 3. Ако $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ и $|z|=1$, то съществува единствено $\theta\in(-\pi,\pi]$, такова че $$z=\exp(i\theta).$$
Доказателство. Нека $z=x+iy$, където $x,y\in\mathbb{R}$. От $|z|=1$ имаме $x^2+y^2=1$, което показва, че $x,y\in[-1,1]$. Нека $x\in[-1,1]$ и $y\in[0,1]$. Тогава $y=\sqrt{1-x^2}$. Тъй като функцията $\cos$ е непрекъсната и строго намаляваща в $[0,\pi]$, за всяко $x\in[-1,1]$, съществува единствено $\theta\in[0,\pi]$, такова че $\cos\theta=x$. Тъй като $\theta\in[0,\pi]$ имаме че $\sin\theta\geq 0$ и $\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{1-x^2}=y$. Аналогично, ако $x\in[-1,1]$ и $y\in[-1,0]$, то $y=-\sqrt{1-x^2}$ и от непрекъснатостта и строгата монотонност на $\cos$ в $[-\pi, 0]$, съществува единствено $\theta\in[-\pi,0]$, такова че $\cos\theta=x$, при което $\sin\theta=-\sqrt{1-\cos^2\theta}=-\sqrt{1-x^2}=y$. Следователно $z=x+iy=\cos\theta+i\sin\theta=\exp(i\theta)$, което искахме да докажем.

Забележка. От Твърдение 3 виждаме, че $\exp:\mathbb{C}\to\mathbb{C}\setminus\{0\}$ е сюрективно изображение. Действително, ако $z\neq 0$, то $\frac{z}{|z|}$ е число с модул $1$ и следователно съществува единствено $\theta\in(-\pi,\pi]$, такова че $\frac{z}{|z|}=\exp(i\theta)$. Следователно $z=|z|\exp(i\theta)=\exp(\ln|z|)\exp(i\theta)=\exp(\ln|z|+i\theta)$.

Определение 1. Нека $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$. Числото $\theta\in(-\pi,\pi]$, за което $\frac{z}{|z|}=\exp(i\theta)$ се нарича главен аргумент на $z$ и се означава с $\text{Arg }z$. Тогава $z=|z|\exp(i \text{Arg } z)$, което е експоненциалната форма на $z$, чрез главния аргумент на $z$. Пълен аргумент (или просто аргумент) на $z$ се нарича множеството от реални числа $ \text{Arg } z+2\pi\mathbb{Z}:=\{ \text{Arg } z+2k\pi i|k\in\mathbb{Z}\}$ и се означава с $\arg z$. Понякога елементите на $\arg z$ също се наричат аргументи на $z$.

Забележка. От периодичността на $\exp$ можем да забележим, че при избор на различни елементи на $\arg z$, можем да получим и други експоненциални представяния на $z$, по-точно, за всяко $t\in\arg z$ имаме $z=|z|\exp(it)$.
Забележка. От експоненциалната форма на $z$ и формулата на Ойлер получаваме и т. нар. тригонометричен вид на $z$, а именно $z=|z|(\cos \text{Arg } z+i\sin\text{Arg } z)$.
Забележка. Геометричната интерпретация на експоненциалната форма на ненулево комплексно число $z$ и в частност на тригонометричния му вид се получава от факта, че $ \text{Arg } z$ съвпада със знакопроменливата дължина на дъгата от окръжността $\mathbb{U}=\{z\in\mathbb{C}||z|=1\}$ с начало $1$ и край $\frac{z}{|z|}$, т. е. тази дължина е неотрицателна, ако $\Im z\geq 0$ и е отрицателна, ако $\Im z<0$. В това можем да се убедим, използвайки дефиницията за дължина на дъга от гладка крива. Тогава $z$ се определя от разстоянието $|z|$ до $0$ и от мярката $\text{Arg }z$ на ориентирания ъгъл между векторите $1$ и $\frac{z}{|z|}$.

Забележка. Експоненциалната форма на комплексните числа позволява умножението, делението и степенуването на числа да се извършват непосредствено. Действително, ако $z=|z|\exp(i \text{Arg } z)$, $w=|w|\exp(i\text{Arg } w)$, то $$zw=|z|\exp(i\text{Arg } z)|w|\exp(i\text{Arg } w)=|z||w|\exp(i(\text{Arg } z+\text{Arg } w))$$ и $$\frac{z}{w}=\frac{|z|\exp(i\text{Arg } z)}{|w|\exp(i\text{Arg } w)}=\frac{|z|}{|w|}\exp(i(\text{Arg } z- \text{Arg } w)).$$ Също така, за всяко $z\in\mathbb{Z}$ имаме $$z^n=(|z|\exp(i\text{Arg } z))^n=|z|^n\exp(in \text{Arg } z).$$ Последната формула е известна като формула на Моавър.

Забележка. От Твърдение 3 виждаме, че изображението $$\mathbb{R}\ni x\mapsto\exp ix\in\mathbb{U},$$ където $\mathbb{U}=\{z\in\mathbb{C}||z|=1\}$ е сюрективен хомоморфизъм на групи. От Твърдение 2 виждаме, че ядрото на този хомоморфизъм е $2\pi\mathbb{Z}$, а от теоремата за хомоморфизмите следва съществуването на изоморфизъм $$p:\mathbb{U}\to\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}.$$ Тогава $$\arg z=p\left(\frac{z}{|z|}\right),$$ за всяко $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$. Действително, ако $p\left(\frac{z}{|z|}\right)=t+2\pi\mathbb{Z}$, където $\exp(it)=\frac{z}{|z|}$, от $\exp(i \text{Arg } z)=\frac{z}{|z|}$ имаме $\exp(i(t- \text{Arg }z))=1$ и от Твърдение 2 получаваме, че съществува $k\in\mathbb{Z}$, такова че $t= \text{Arg } z+2k\pi$, което показва че $\arg z$ и $p\left(\frac{z}{|z|}\right)$ съвпадат, като елементи на $\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$. Оттук директно получаваме свойствата $$\arg zw=\arg z+\arg w$$ и $$\arg(z^{-1})=-\arg z.$$

Коренуване на комплексни числа

Нека $w\in\mathbb{C}$, $n\in\mathbb{N}$ и да разгледаме задачата за определяне на всички $z\in\mathbb{C}$, за които $z^n=w$, т. е. задачата за коренуване на комплексно число. Ако $w=0$, то $z=0$. Ако $z=u+iv$, където $u,v\in\mathbb{R}$, то $$z^n=(u+iv)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}u^{k}(iv)^{n-k}.$$ Тогава задачата се свежда до определяне на всички $u,v\in\mathbb{R}$, за които $$\Re\left[\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}u^{k}(iv)^{n-k}\right]=\Re w$$ и $$\Im\left[\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}u^{k}(iv)^{n-k}\right]=\Im w.$$ При $n\geq 3$ тази нелинейна система практически е нерешима. Оттук виждаме, че пресмятането на реалните и имагинерните части на степените на едно комплексно число е доста усложнено в алгебричен вид, а намирането на решения на уравнението $w^n=z$ при големи $n$, т. е. коренуване е практически неизпълнимо. Тази задача обаче се решава лесно с помощта на експоненциалната форма на комплексните числа, както се вижда от доказателството на следващото твърдение.

Твърдение 4. Нека $w\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$, $n\in\mathbb{N}$. Тогава $$\{z\in\mathbb{C}|z^n=w\}=\left\{\sqrt[n]{|w|}\exp\left(i\frac{ \text{Arg } w+2k\pi}{n}\right)\Bigg|k\in\{0,1,\ldots, n-1\}\right\}.$$
Доказателство. Нека $z^n=w$. Тогава $(|z|\exp(i \text{Arg } z))^n=|w|\exp(i \text{Arg } w)$, т. е. $|z|^n\exp(in \text{Arg } z)=|w|\exp(i \text{Arg }w)$. Оттук $|z|^n=|w|$, т. е. $|z|=\sqrt[n]{|w|}$ и следователно $\exp(in \text{Arg } z)=\exp(i\text{Arg }w)$. Тогава $\exp(i(n\text{Arg }z- \text{Arg }w))=1$, откъдето $n\text{Arg } z- \text{Arg }w\in 2\pi\mathbb{Z}$, т. е. $n\text{Arg }z\in\arg w$. Това показва, че съществува $k\in\mathbb{Z}$, такова че $n \text{Arg }z=\text{Arg }w+2k\pi$, т. е. $ \text{Arg }z=\frac{\text{Arg }w+2k\pi}{n}$. Следователно ако $z^n=w$, то съществува $k\in\mathbb{Z}$, такова че $z=\sqrt[n]{|w|}\exp(i\frac{\text{Arg }w+2k\pi}{n})$. От друга страна, непосредствено се вижда, че за всяко $k\in\mathbb{Z}$ имаме $\left(\sqrt[n]{|w|}\exp\left(i\frac{\text{Arg } w+2k\pi}{n}\right)\right)^n=w$, което показва, че $$\{z\in\mathbb{C}|z^n=w\}=\left\{\sqrt[n]{|w|}\exp\left(i\frac{\ \text{Arg } w+2k\pi}{n}\right)\Bigg|k\in\mathbb{Z}\right\}.$$ Полученото множество от числа е крайно, тъй като за всяко $k\in\mathbb{Z}$, от теоремата за деление на цели числа с частно и остатък имаме, че съществуват $p, q\in\mathbb{Z}$, такива че $k=pn+q$ и $0\leq q<n$, при което $$\exp\left(i\frac{\text{Arg }w+2k\pi}{n}\right)=\exp\left(i\frac{\text{Arg }w+2(pn+q)\pi}{n}\right)=\exp\left(i\frac{\text{Arg }w+2q\pi}{n}+2p\pi i\right)=\exp\left(i\frac{ \text{Arg }w+2q\pi}{n}\right).$$ Следователно $\{z\in\mathbb{C}|z^n=w\}=\{\sqrt[n]{|w|}\exp(i\frac{\text{Arg }+2k\pi}{n})|k\in\{0,1,\ldots, n-1\}\}$.

Определение 4. $\sqrt[n]{z}=\{w\in\mathbb{C}|w^n=z\}$, където $n\in\mathbb{N}$ и $z\in\mathbb{C}$.

Упражнение 3. Проверете, че при $z\neq 0$ и $n>2$, $\sqrt[n]{z}$ задава правилен $n$-ъгълник. Какъв е радиуса на описаната му окръжност и каква е дължината на страната му?

назад