Геометрични свойства на дробно-линейните функции
Определение 1. Окръжност в $\overline{\mathbb{C}}$ се нарича всяка окръжност в $\mathbb{C}$, както и всяка права в $\mathbb{C}$ с добавена безкрайна точка, т. е. oкръжност в $\overline{\mathbb{C}}$ e множество от вида $\{z\in\mathbb{C}||z-a|=r\}$, където $a\in\mathbb{C}$ и $r>0$, или множество от вида $\{z\in\mathbb{C}|\Re(Az)=b\}\cup\{\infty\}$, където $A\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ и $b\in\mathbb{R}$.
Твърдение 1. Ако $C$ е окръжност в $\overline{\mathbb{C}}$ и $f$ е дробно-линейна функция, то $f(C)$ е окъжност в $\overline{\mathbb{C}}$. При това, ако $f$ има полюс, и той лежи върху $C$, то $f(C)$ е права с $\infty$, а ако полюсът не лежи върху $C$, то $f(C)$ окръжност в $\mathbb{C}$. Ако $f$ е афинна, то $f(C)$ е окръжност от същия вид както $C$.
Доказателство. Предвид Tвърдение 4 от Тема 26, достатъчно е да докажем твърдението в случаите, когато $f$ е афинна, и когато $f$ има вида $f(z)=(z-p)^{-1}$, при $z\in\mathbb{C}\setminus\{p\},$ $f(p)=\infty$, $f(\infty)=0$. Тъй като тези функции са биекции, $z\in f(C)$ тогава и само тогава, когато $f^{-1}(z)\in C$. Първо ще докажем твърдението в случая, когато $f$ е афинна.
Нека $f(z)=az+b$, при $z\in\mathbb{C}$, където $a,b\in\mathbb{C}$, $a\neq 0$ и $f(\infty)=\infty$. Тогава $f^{-1}(z)=\frac{z-b}{a}$, $f^{-1}(\infty)=\infty$. Следователно, ако $C=\{z\in\mathbb{C}||z-c|=r\}$, където $c\in\mathbb{C}$, $r>0$, то $\infty\notin C$ и $f^{-1}(z)\in C$, тогава и само тогава, когато $z\neq\infty$ и $\left|\frac{z-b}{a}-c\right|=r$, т. е. $|z-(ac+b)|=|a|r$. Оттук получаваме, че $f(C)=\{z\in\mathbb{C}||z-(ac+b)|=|a|r\}$, което е окръжност в $\overline{\mathbb{C}}$, от същия вид, както $C$.
Ако $C=\{z\in\mathbb{C}|\Re(Az)=c\}\cup\{\infty\}$, където $A\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$, $c\in\mathbb{R}$, то $f^{-1}(z)\in C$, тогава и само тогава, когато $z=\infty$ или $\Re\left(A\frac{z-b}{a}\right)=c$, т. е. $\Re[A\overline{a}(z-b)]=|a|^2c$. Оттук получаваме, че $f(C)=\{z\in\mathbb{C}|\Re(A\overline{a}z)=\Re(A\overline{a}b)+|a|^2c\}\cup\{\infty\}$, което е окръжност в $\overline{\mathbb{C}}$, от същия вид, както $C$.
Нека сега $f(z)=(z-p)^{-1}$, при $z\in\mathbb{C}\setminus\{p\}$, $f(p)=\infty$, $f(\infty)=0$. Тогава $f^{-1}(z)=p+\frac{1}{z}$, при $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$, $f^{-1}(0)=\infty$, $f^{-1}(\infty)=p$. Оттук виждаме, че $\infty\in f(C)$, тогава и само тогава, когато $p\in C$.
Нека $C=\{z\in\mathbb{C}||z-c|=r\}$, където $c\in\mathbb{C}$, $r>0$. Тогава $0\notin f(C)$ (тъй като $\infty\notin C$) и при $z\neq\infty$, $f^{-1}(z)\in C$, тогава и само тогава, когато $\left|p+\frac{1}{z}-c\right|=r$, т. е. $|(p-c)z+1|=|z|r$. Повдигайки последното равенство на квадрат и групирайки получаваме \begin{equation}\label{eqcirc}
(|p-c|^2-r^2)|z|^2+2\Re[(p-c)z]+1=0.
\end{equation} Следователно, ако $p\in C$, то $|p-c|=r$, $\infty\in f(C)$ и (1) се редуцира до $2\Re[(p-c)z]+1=0$. Тогава $f(C)=\{z\in\mathbb{C}|\Re[(p-c)z]=-\frac{1}{2}\}\cup\{\infty\}$. Ако $p\notin C$, то $|p-c|\neq r$, при което $\infty\notin f(C)$ и (1) може да се запише като $|z|^2+2\Re\left[\overline{\overline{\left(\frac{p-c}{|p-c|^2-r^2}\right)}}z\right]+\left|\overline{\left(\frac{p-c}{|p-c|^2-r^2}\right)}\right|^2=\left|\overline{\left(\frac{p-c}{|p-c|^2-r^2}\right)}\right|^2-\frac{1}{|p-c|^2-r^2}$, т. е. $\left|z+\frac{\overline{p}-\overline{c}}{|p-c|^2-r^2}\right|^2=\frac{|p-c|^2-(|p-c|^2-r^2)}{(|p-c|^2-r^2)^2}$. Следователно, $$f(C)=\left\{z\in\mathbb{C}\Bigg|\left|z+\frac{\overline{p}-\overline{c}}{|p-c|^2-r^2}\right|=\frac{r}{||p-c|^2-r^2|}\right\}.$$
Нека $C=\{z\in\mathbb{C}|\Re(Az)=c\}\cup\{\infty\}$, където $A\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$, $c\in\mathbb{R}$, Следователно, при $z\neq\infty$, $f^{-1}(z)\in C$ тогава и само тогава, когато $z=0$, или $\Re\left[ A\left(p+\frac{1}{z}\right)\right]=b$. Последното съотношение е еквивалентно на $\Re(Ap)+\Re(A\frac{\overline{z}}{|z|^2})=b$, т. е. \begin{equation}\label{circpr} \Re(\overline{A}z)=|z|^2[b-\Re(Ap)].
\end{equation} Оттук виждаме, че ако $p\in C$, то $\Re(Ap)=b$, $\infty\in f(C)$, при което (2) се редуцира до $\Re(\overline{A}z)=0$. Следователно $f(C)=\{z\in\mathbb{C}|\Re(\overline{A}z)=0\}\cup\{\infty\}$. Ако $p\notin C$, то $\Re(Ap)\neq b$, $\infty\notin f(C)$, при което (2) може да се запише във вида $|z|^2-2\Re\left(\frac{\overline{A}}{2(b-\Re(Ap))}z\right)+\left|\frac{A}{2(b-\Re(Ap))}\right|^2=\left|\frac{A}{2(b-\Re(Ap))}\right|^2$, т. е. $\left|z-\frac{\overline{A}}{2(b-\Re(Ap))}\right|^2=\left|\frac{A}{2(b-\Re(Ap))}\right|^2$. Следователно $$f(C)=\left\{z\in\mathbb{C}\Bigg|\left|z-\frac{\overline{A}}{2(b-\Re(Ap))}\right|=\frac{|A|}{2|b-\Re(Ap)|}\right\}.$$
Определени 2. Двойно отношение на наредена четворка различни точки $z_1,z_2,z_3,z_4\in\overline{\mathbb{C}}$ се нарича образа на четвъртата точка при дробно-линейната функция, която преобразува първите три в $0,1,\infty$ съответно. Означава се с $[z_1,z_2,z_3,z_4]$. Да забележим, че $[z_1,z_2,z_3,z_4]\in\mathbb{C}\setminus \{0,1\}$.
Забележка. Даденото определение е коректно, съгласно Твърдение 6 от Тема 26, и е едно от многото възможни. Действително, бихме могли да вземем коя да е наредена тройка от дадената четворка точки и да наречем двойно отношение на четворката, образа на последната точка (от четирите) при дробно-линейната функция, която изпраща точките от избраната тройка в произволна фиксирана пермутация на точките $0,1,\infty$. Съществуват различни определения на това понятие в литературата. Предложеното тук е с цел по-лесно запомняне и извеждане на формула, в зависимост от точките $z_1,z_2,z_3, z_4$, тъй като лесно се пише дробно-линейната функция, която преобразува $z_1,z_2,z_3$ в $0,1,\infty$ съответно (вж. Твърдение 6 от Тема 26).
Твърдение 2. Дробно-линейните функции, и само те, запазват двойното отношение на четири точки. По-точно, ако $f$ е дробно-линейна функция и $z_1,z_2,z_3,z_4\in\overline{\mathbb{C}}$ са произволни различни точки, то $[f(z_1),f(z_2),f(z_3),f(z_4)]=[z_1,z_2,z_3,z_4]$. Обратно, ако $f:\overline{\mathbb{C}}\to\overline{\mathbb{C}}$ е функция, такава че за произволни $z_1,z_2,z_3,z_4\in\overline{\mathbb{C}}$ е изпълнено $[f(z_1),f(z_2),f(z_3),f(z_4)]=[z_1,z_2,z_3,z_4]$, то $f$ е дробно-линейна функция.
Доказателство. Нека $z_1,z_2,z_3,z_4\in\overline{\mathbb{C}}$ са различни точки, $f$ е дробно-линейна функция, а $g, h$ са дробно-линейните функции, за които $g(f(z_1))=0$, $g(f(z_2))=1$, $g(f(z_3))=\infty$, $h(z_1)=0$, $h(z_2)=1$, $h(z_3)=\infty$. Тогава $g\circ f=h$. Следователно $$[f(z_1),f(z_2),f(z_3),f(z_4)]=g(f(z_4))=h(z_4)=[z_1,z_2,z_3,z_4].$$ Обратно, ако за всяка четворка различни точки $z_1,z_2,z_3,z_4\in\overline{\mathbb{C}}$ имаме $$[f(z_1),f(z_2),f(z_3),f(z_4)]=[z_1,z_2,z_3,z_4]$$ и $g,h$ са както по-горе, то $g(f(z_4))=h(z_4)$, за всяко $z_4\in\overline{\mathbb{C}}$, откъдето $g\circ f=h$. Следователно $f=g^{-1}\circ h$ е дробно-линейна функция като композиция на дробно-линейни функции.
Твърдение 3. Четири различни точки лежат на една окръжност в $\overline{\mathbb{C}}$ тогава и само тогава, когато двойното им отношение е реално.
Доказателство. Ако $z_1,z_2,z_3,z_4$ лежат на една окръжност в $\overline{\mathbb{C}}$, то дробно-линейната функция $w$, за която $w(z_1)=0, w(z_2)=1, w(z_3)=\infty$, преобразува дадената окръжност в окръжността $\mathbb{R}\cup\{\infty\}$ (Твърдение 1). В частност $w(z_4)=[z_1,z_2,z_3,z_4]$ е точка от тази окръжност, т. е. $[z_1,z_2,z_3,z_4]\in\mathbb{R}$. Обратно, ако двойното отношение е реално, то $w^{-1}$ е дробно-линейна функция, която преобразува окръжността $\mathbb{R}\cup\{\infty\}$, съдържаща точките $0,1,\infty$ и $w(z_4)$ в някоя окръжност в $\overline{\mathbb{C}}$, съдържаща точките $z_1,z_2,z_3,z_4$.
Точките $z,w\in \overline{\mathbb{C}}$ се наричат инверсни относно окръжността $C\subset\overline{\mathbb{C}}$, ако съществуват точки $z_1,z_2,z_3\in C$, такива че $[z_1,z_2,z_3,w]=\overline{[z_1,z_2,z_3,z]}$. Лесно се проверява, че това определение е корекнто, т. е. то не зависи от точките $z_1,z_2,z_3\in C$.
Следващото твърдение дава още едно описание на инверсните точки.
Твърдение 4. а) Точките $z,w\in \overline{\mathbb{C}}$ са инверсни относно окръжността $C=C(a,r)$ тогава и само тогава, когато $w=a+\frac{r^2}{\overline{z}-\overline a}$ или $z,w\in\{a,\infty\}$.
б) Точките $z,w\in \overline{\mathbb{C}}$ са инверсни относно окръжността $C=\{z\in\mathbb{C}|Az+\overline{A}\overline{z}+B=0\}\cup\{\infty\}$ тогава и само тогава, когато $Aw+\overline{A}\overline{z}+B=0$ или $z=w\in C$.
Доказателство. a) Нека $z,w\in \overline{\mathbb{C}}$ са инверсни относно окръжността $C=C(a,r)$ и $z_1,z_2,z_3\in C$. Тогава $r^2=|z_j-a|^2=(z_j-a)(\overline{z_j}-\overline{a})$, откъдето $\overline{z_j}=\overline{a}+\frac{r^2}{z_j-a}$, $j\in\{1,2,3\}$. Нека $g(z)=\overline{a}+\frac{r^2}{z-a}$, за $z\in\mathbb{C}\setminus\{a\}$, $g(a)=\infty$, $g(\infty)=\overline{a}$. Тогава $\overline{z_j}=g(z_j)$, $j\in\{1,2,3\}$. Тъй като двойното отношение на четири точки е инвариантно относно дробно-линейни функции (Твърдение 2), имаме $$[z_1,z_2,z_3,w]=\overline{[z_1,z_2,z_3,z]}=\overline{[g(z_1),g(z_2),g(z_3),g(z)]}=\overline{[\overline{z_1},\overline{z_2},\overline{z_3},g(z)]}=[z_1,z_2,z_3,\overline{g(z)}].$$ Следователно $w=\overline{g(z)}$. От горните равенства виждаме, че е вярно и обратното, т. е. ако $w=\overline{g(z)}$, то $\overline{[z_1,z_2,z_3,z]}=[z_1,z_2,z_3,w]$, т. е. $z,w$ са инверсни относно $C$.
б) Нека $z,w\in \overline{\mathbb{C}}$ са инверсни относно окръжността $C=\{z\in\mathbb{C}|Az+\overline{A}\overline{z}+B=0\}\cup\{\infty\}$, ($A\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$, $B\in\mathbb{R}$) и $z_1,z_2,z_3\in C$. Тогава $Az_j+\overline{A}\overline{z_j}+B=0$, т. е. $\overline{z_j}=-\frac{Az_j+B}{\overline{A}}$, $j\in\{1,2,3\}$. Оттук нататък прилагаме горните разсъждения към афинната функция $g(z)=-\frac{Az+B}{\overline{A}}$, $z\in\mathbb{C}$, $g(\infty)=\infty$.
Следващото твърдение изяснява какъв е геометричния смисъл на 1) и 2) от горното твърдение.
Твърдение 5. а) Tочките $z,w\in\overline{\mathbb{C}}$ са инверсни относно окръжността $C(a,r)$, ($a\in\mathbb{C}$, $r>0$) тогава и само тогава, когато или $z,w\in\{a,\infty\}$, или $z,w$ лежат на лъч с начало $a$ и произведението от разстоянията им до $a$ е $r^2$.
б) Tочките $z,w\in\overline{\mathbb{C}}$ са инверсни относно окръжността $\{z\in\mathbb{C}|Az+\overline{A}\overline{z}+B=0\}\cup\{\infty\}$, ($A\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$, $b\in\mathbb{R}$) тогава и само тогава, когато или $z=w$ са от окръжността, или $z,w$ са ортогонално симетрични относно правата $\{z\in\mathbb{C}|Az+\overline{A}\overline{z}+B=0\}$.
Доказателство. Упражнение.
Твърдение 6. Ако $z,w\in\overline{\mathbb{C}}$ са инверсни относно окръжност $C$ в $\overline{\mathbb{C}}$ и $f$ е дробно-линейна функция, то $f(z)$ и $f(w)$ са инверсни относно окръжността $f(C)\subset\overline{\mathbb{C}}$.
Доказателство. Aко $z,w$ са инверсни относно окръжноста $C$ и $z_1,z_2,z_3\in C$ са различни точки, то $f(C)$ е окръжност в $\overline{\mathbb{C}}$, съдържаща точките $f(z_j), j\in\{1,2,3\}$ (Твърдение 1). Тъй като дробно-линейните функции запазват двойното отношение (Твърдение 2), имаме $$[f(z_1),f(z_2),f(z_3),f(z)]=[z_1,z_2,z_3,z]=\overline{[z_1,z_2,z_3,w]}=\overline{[f(z_1),f(z_2),f(z_3),f(w)]},$$ което показва, че $f(z)$ и $f(w)$ са инверсни относно $f(C)$.
Твърдение 7. Нека $D_1, D_2\subset\mathbb{C}$ са области, чиито граници са окръжности в $\overline{\mathbb{C}}$ (т. е. всяка от тези области е полуравнина, кръг или външост на кръг в $\mathbb{C}$). Тогава съществува дробно-линейна функция $f$, за която $f(D_1)=D_2$.
Доказателство. Нека $C_1, C_2$ са границите на $D_1,D_2$ съответно. Тогава те са окръжности в $\overline{\mathbb{C}}$. Нека $z\in D_1$ и $z_1,z_2,z_3\in C_1$ са такива, че $\Im[z_1,z_2,z_3,z]>0$, $w\in D_2$ и $w_1,w_2,w_3\in C_2$ са такива, че $\Im[w_1,w_2,w_3,w]>0$. Тогава, функциите $g_1(t)= [z_1,z_2,z_3,t]$ и $g_2(t)=[w_1,w_2,w_3,t]$ преобразуват $D_1$ и $D_2$ съответно, в горната полуравнина. Нека $f=g_2^{-1}\circ g_1$. Тогава $f$ е дробно-линейната функция, за която $f(z_j)=w_j$, $j\in\{1,2,3\}$ и $f(D_1)=D_2$.
Забележка. Условието $\Im[z_1,z_2,z_3,z]>0$ за някое $z\in D_1$ означава, че при движение по $C_1$ от точката $z_1$, през $z_2$, към $z_3$, областта $D_1$ остава отляво, тъй като холоморфните функции запазват ориентацията в равнината, a при движение върху реалната ос от 0, през 1 към $\infty$, горната полуравнина (която е образ на $D_1$ при холоморфната функция $t\mapsto[z_1,z_2,z_3,t]$) остава отляво. Тогава нагледното описание на Търдение 7 (което ни дава и практическо правило за определянето на $f$) е следното. Ако изберем наредена тройка точки $z_1,z_2, z_3$ върху границата $C_1$ на областта $D_1$ (това задава ориентация на $C_1$), така че при движение върху $C_1$ от $z_1$, през $z_2$, към $z_3$, областта $D_1$ остава отляво, и по същия начин, върху границата $C_2$ на областта $D_2$ изберем наредена тройка точки $w_1,w_2, w_3$, така че при движение върху $C_2$ от $w_1$, през $w_2$, към $w_3$, областта $D_2$ остава отляво, то дробно-линейната функция $f$, за която $f(z_j)=w_j$, $j\in\{1,2,3\}$ преобразува $D_1$ в $D_2$.
Забележка. Използвайки Твърдения 1 и 6 можем да определяме лесно образите, подредством дробно-линейни функции, на области, чиито граници са части от окръжности в разширената равнина. Също така използвайки Твърдение 7, можем да определяме дробно-линейни функции, за които е известно, че преобразуват една област с граница окръжност в разширената равнина, в друга такава област.
Упражнения
- Проверете, че ако $\varphi:\mathbb{S}^2\to\overline{\mathbb{C}}$ е дефинирано с $\varphi(x_1,x_2,x_3)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}$, когато $(x_1,x_2,x_3)\neq(0,0,1)$ и $\varphi(0,0,1)=\infty$, то образът на всяка окръжност върху $\mathbb{S}^2$, посредством $\varphi$, е окръжност в $\overline{\mathbb{C}}$.
- Докажете, че определението за инверсия относно окръжност $C\subset\overline{\mathbb{C}}$ е коректно в смисъл, че то не зависи от точките $z_1,z_2,z_3\in C$.
Упътване. Разгледайте дробно-линейната функция, която преобразува някоя друга тройка различни точки $u_1,u_2,u_3\in C$ в тройката $0,1,\infty$ съответно. - Докажете Твърдение 5.
Упътване. Използвайте Твърдение 4. - Намерете образа на областта $D$, при дробно-линейната функция $f$, ако…
- Намерете дробно линейна функция $f$, която преобразува областта $D_1$ в областта $D_2$, ако…
- Намерете всички дробно-линейни функции, които преобразуват единичния кръг в себе си.