Дробно-линейни функции (трансформации на Мьобиус)

Определение 1. Казваме, че функцията $f:\overline{\mathbb{C}}\to\overline{\mathbb{C}}$ е дробно-линейна (трансформация на Мьобиус), ако удовлетворява едно от следните условия:
1) Съществуват $a,b,c,d\in\mathbb{C}$, такива че $ad-bc\neq 0$, $c\neq 0$ и $f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$, за всяко $z\in\mathbb{C}\setminus\{-\frac{d}{c}\}$, $f(-\frac{d}{c})=\infty$, $f(\infty)=\frac{a}{c}$,
2) Съществуват $a,b\in\mathbb{C}$, такива че $a\neq 0$, $f(z)=az+b$, за всяко $z\in\mathbb{C}$, и $f(\infty)=\infty$.
Когато е изпълнено 1), числото $-\frac{d}{c}$ се нарича полюс на трансформацията $f$. Когато е изпълнено 2) казваме, че $f$ е афинна (цяла линейна) функция.

Забележка. Всяка афинна функция $f$ може да се запише във вида $f(z)=\frac{az+b}{0z+1}$. Изискванията $ad-bc\neq 0$ в 1) и $a\neq 0$ в 2), изключват постоянните функции от съвкупността на дробно-линейните. Да забележим, че на всяка дробно-линейна функция съответства една матрица с ненулева детерминанта. Действително, ако $f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$, съответната матрица е $\begin{pmatrix}a&b\\c&d \end{pmatrix}$. От друга страна, всяка матрица от вида $\lambda\begin{pmatrix}a&b\\c&d \end{pmatrix}$, където $\lambda\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$, определя същата функция $f$.
В следващите твърдения се съдържат основните свойства на дробно-линейните функции.

Твърдение 1. Всяка дробно-линейна функция е холоморфна във всяка точка на разширената комплексна равнина.
Доказателство. Съгласно дефиницията за холомофност на функция в точка от $\overline{\mathbb{C}}$ (Определение 4 от Тема 25) виждаме, че ако $f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$, за всяко $z\in\mathbb{C}\setminus\{-\frac{d}{c}\}$, $f(-\frac{d}{c})=\infty$, $f(\infty)=\frac{a}{c}$, то $f$ е холоморфна във всяка точка на $\mathbb{C}\setminus\{-\frac{d}{c}\}$, като частно на холоморфни функции. За да покажем, че $f$ е холоморфна в точката $-\frac{d}{c}$, в която $f$ приема стойност $\infty$, разглеждаме функцията $z\mapsto\frac{1}{f(z)}$ в пробита околност на $-\frac{d}{c}$ (вж Упражнение 6 от Тема 25). Имаме $\frac{1}{f(z)}=\frac{cz+d}{az+b}$ и тъй като функцията $g(z)=\frac{cz+d}{az+b}$ е холоморфна в точката $-\frac{d}{c}$ (като частно на холоморфни функции), получваме, че $f$ е холоморфна в $-\frac{d}{c}$. За покажем, че $f$ е холоморфна в точката $\infty$, в която $f$ приема стойност $\frac{a}{c}$, разглеждаме функцията $z\mapsto f(\frac{1}{z})$ в пробита околност на $0$. Имаме $f(\frac{1}{z})=\frac{a\frac{1}{z}+b}{c\frac{1}{z}+d}=\frac{a+bz}{c+dz}$ и тъй като функцията $g(z)=\frac{a+bz}{c+dz}$ е холоморфна в $0$, функцията $f$ е холоморфна в $\infty$.
Ако $f(z)=az+b$, където $a\neq 0$ и $f(\infty)=\infty$, то $f$ е холоморфна във всяка точка на $\mathbb{C}$. За да покажем, че $f$ е холоморфна в точката $\infty$, в която $f$ приема стойност $\infty$, разглеждаме функцията $z\mapsto\frac{1}{f(\frac{1}{z})}$ в пробита околност на $0$. Имаме $\frac{1}{f(\frac{1}{z})}=\frac{1}{a\frac{1}{z}+b}=\frac{z}{a+bz}$ в пробита околност на $0$. Тъй като функцията $g(z)=\frac{z}{a+bz}$ е холоморфна в $0$, функцията $f$ е холоморфна в $\infty$.

Твърдение 2. Всяка дробно-линейна функция е биекция на разширената комплексна равнина.
Доказателство. Нека $f:\overline{\mathbb{C}}\to\overline{\mathbb{C}}$ е дробно-линейна функция, $w\in\overline{\mathbb{C}}$ и да потърсим $z\in\overline{\mathbb{C}}$, такова че $f(z)=w$. Ако $f(z)=az+b$, след решаване на последното уравнение относно $z$, получаваме единствено $z=\frac{w-b}{a}$, ако $w\neq\infty$, и $z=\infty$, ако $w=\infty$. Ако $f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$ и $c\neq 0$, след решаване на уравнението $f(z)=w$, определяме $z=\frac{d w-b}{-cw+a}$, ако $w\notin\{\infty,\frac{a}{c}\}$, $z=\frac{a}{c}$, ако $w=\infty$, и $z=\infty$, ако $w=\frac{a}{c}$. Дефинирайки изображение $g:\overline{\mathbb{C}}\to\overline{\mathbb{C}}$ с $g(z)=\frac{z-b}{a}$, $g(\infty)=\infty$, когато $f(z)=az+b$, или $g(z)=\frac{d z-b}{-cz+a}$ при $z\in\mathbb{C}\setminus\{\frac{a}{c}\}$ и $g(\frac{a}{c})=\infty$, когато $f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$ и $c\neq 0$, получаваме дробно-линейна функция, за която $f(g(z))=z$ и $g(f(z))=z$ за всяко $z\in\overline{\mathbb{C}}$ (Проверете това!). Следователно всяка дробно-линейна функция е биекция и съответната обратна функция е също дробно-линейна. При това, ако дробно-линейната функция е афинна, то обратната функция е също афинна.

Твърдение 3. Композиция на дробно-линейни функции е дробно-линейна функция.
Доказателство. Действително, ако $f_1(z)=\frac{a_1z+b_1}{c_1z+d_1}$ и $f_2(z)=\frac{a_2z+b_2}{c_2z+d_2}$, то $$(f_1\circ f_2)(z)=f_1(f_2(z))=\frac{a_1f_2(z)+b_1}{c_1f_2(z)+d_1}=\frac{a_1\frac{a_2z+b_2}{c_2z+d_2}+b_1}{c_1\frac{a_2z+b_2}{c_2z+d_2}+d_1}=$$$$=\frac{a_1(a_2z+b_2)+b_1(c_2z+d_2)}{c_1(a_2z+b_2)+d_1(c_2z+d_2)}=\frac{(a_1a_2+b_1c_2)z+a_1b_2+b_1d_2}{(c_1a_2+d_1c_2)z+c_1b_2+d_1d_2}.$$
Нека читателят сам се убеди, че получената функция удовлетворява определението за дробно-линейна функция.

Забележка. Да забележим, че матрицата съответстваща на $f_1\circ f_2$ e $$\begin{pmatrix}
a_1a_2+b_1c_2&a_1b_2+b_1d_2\\c_1a_2+d_1c_2&c_1b_2+d_1d_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1&b_1\\c_1&d_1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_2&b_2\\c_2&d_2 \end{pmatrix}$$ и нейната детермината е ненулева, тъй като тази матрица е произведение матрици с ненулеви детерминанти.

Като следствие от Твърдения 2 и 3, получаваме, че множеството от всички трансформации на Мьобиус е група (некомутативна) по отношение на композицията на изображения. Тя се нарича група на Мьобиус. При това множеството на всички афинни функции е подгрупа. В теорията на Римановите повърхнини различни типове подгрупи на групата на Мьобиус играят важна роля за описанието и класификацията им.

Твърдение 4. Всяка дробно-линейна функция, която не е афинна, може да се представи като композиция на афинна функция с функцията $T(z)=(z-p)^{-1}$, $z\in\mathbb{C}\setminus\{p\}$, $T(p)=\infty$, $T(\infty)=0$, където $p\in\mathbb{C}$ e полюсът на $f$.
Доказателство. Действително, ако $f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$, където $c\neq 0$, то полюсът на $f$ е $p=-\frac{d}{c}$ и при $z\in\mathbb{C}\setminus\{-\frac{d}{c}\}$ имаме $$f(z)=\frac{acz+ad-ad+bc}{c(cz+d)}=\frac{a(cz+d)-ad+bc}{c(cz+d)}=\frac{a}{c}+\frac{bc-ad}{c(cz+d)}=\frac{a}{c}+\frac{bc-ad}{c^2}\frac{1}{z-\left(-\frac{d}{c}\right)}.$$ Дефинирайки $g(z)=\frac{bc-ad}{c^2}z+\frac{a}{c}$ за $z\in\mathbb{C}$ и $g(\infty)=\infty$, получаваме афинна функция. Отчитайки, че $f(-\frac{d}{c})=\infty$ и $f(\infty)=\frac{a}{c}$, от горното съотношение виждаме, че $f=g\circ T$.
Забележка. Това твърдение играе важна роля за установяването на някои геометрични свойства на дробно-линейните функции.

Определение 2. Неподвижна точка на дробно-линейна функция $f$ се нарича всяка точка $a\in\overline{\mathbb{C}}$, за която $f(a)=a$.

Твърдение 5. Всяка дробно-линейна функция, освен идентитета (за който всички точки от $\overline{\mathbb{C}}$ са неподвижни), има най-много две неподвижни точки.
Доказателство. Ако $f$ е дробно линейна функция, неподвижните точки удовлетворяват уравнението $f(z)=z$, което е полиномиално уравнение от степен не по-висока от 2 и следователно има не повече от две решения. Безкрайната точка е неподвижна само за афинните функции.

Забележка. Като следствие от Твърдение 5 получаваме, че ако две дробно-линейни функции съвпадат в три различни точки от $\overline{\mathbb{C}}$, то те съвпадат в $\overline{\mathbb{C}}$. Действително, ако $f(z_j)=g(z_j)$ за $j\in\{1,2,3\}$, където $z_1,z_2,z_3\in\overline{\mathbb{C}}$ са различни, то $g^{-1}\circ f$ е дробнолинейна функция, за която $(g^{-1}\circ f)(z_j)=z_j$ т. е. тя има три неподвижни точки. Следователно $g^{-1}\circ f=\text{id}$, т. е. $f=g$.

Твърдение 6. За всяка наредена тройка различни точки от разширената комплексна равнина съществува единствена дробно-линейна функция, която преобразува тази тройка в тройката точки $(0,1,\infty)$.
Доказателство. От една страна, ако $z_1,z_2,z_3\in\mathbb{C}$ са различни точки, то $f(z)=\frac{z-z_1}{z-z_3}\cdot\frac{z_2-z_3}{z_2-z_1}$ е дробно линейна функция, за която $f(z_1)=0, f(z_2)=1, f(z_3)=\infty$. От друга страна, във всеки случай, когато една от трите точки е $\infty$, можем посочим дробно-линейна функция $f$, за която $f(z_1)=0, f(z_2)=1, f(z_3)=\infty$. Наистина, ако $z_1=\infty$, то $f(z)=\frac{z_2-z_3}{z-z_3}$, ако $z_2=\infty$, то $f(z)=\frac{z-z_1}{z-z_3}$, а ако $z_3=\infty$, то $f(z)=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$. Предвид гореспоменатото следствие от Твърдение 5, посочените трансформации са единствени.

Забележка. Като следствие от Твърдение 6 получаваме, че за всеки две наредени тройки различни точки от разширената комплексна равнина съществува единствена дробно-линейна функция, която преобразува едната тройка точки в другата. Наистина, ако $f,g$ са дробно-линейните функции, за които $f(z_1)=0, f(z_2)=1,f(z_3)=\infty$ и $g(w_1)=0, g(w_2)=1,g(w_3)=\infty$, то функцията $h=g^{-1}\circ f$ е дробно-линейната функция, за която $h(z_j)=w_j, j\in\{1,2,3\}$.

Упражнения

1. Намерете полюсът и неподвижните точки на дробно-линейната функцията зададена с матрицата $\begin{pmatrix}2i&i-1\\1+i&-i \end{pmatrix} .$
2. Нека $f(z)=\frac{(1-i)z+3i}{(i-1)z+2-i}$. Додефинирайте функцията $f$, така че да се получи холоморфна функция във всички точки на $\overline{\mathbb{C}}$. Намерете полюсът и неподвижните точки на функцията.
3. В кои случаи композицията на дробно-линейни функции е афинна?
4. Кои са афинните функции с една, две и безбройно много неподвижни точки и какъв е геометричният им смисъл?
5. Покажете, че всяка афинна функция с две неподвижни точки е композиция на въртене и хомотетия с център крайната неподвижна точка. Кои са ъгълът на завъртане и коефициента на хомотетия?
6. Намерете дробно-линейна функция, която преобразува точките $1+i,-2,3i$ в $i,4-i,-1$ съответно.

назад