Разширена равнина

В настоящия параграф ще видим по какъв начин, чрез добавяне на допълнителен елемент към едно некомпактно топологично пространство можем да получим, компактно пространство (едноточкова компактификация). Прилагайки съответната конструкция към пространството $\mathbb{C}$, получаваме разширената равнина $\widehat{\mathbb{C}}$.

Определение 1. Нека $(X,\tau)$ е топологично пространство и $\widehat{X}$ е множеството $X\cup\{\infty\}$, където $\infty$ е произволен елемент, непринадлежащ на $X$, т. е. $\infty$ се определя със свойството $\infty\notin X$.

Твърдение 1. (компактификация на Александров) Нека $(X,\tau)$ е топологично пространство и $\sigma\subset\mathcal{P}(\widehat{X})$ се дефинира по следния начин:
$A\in\sigma$ тогава и само тогава, когато
1) $A\cap X\in\tau$,
2) ако $\infty\in A$, то множеството $X\setminus A$ е компактно и затворено в $X$.
Тогава $(\widehat{X},\sigma)$ е компактно топологично пространство, което е хаусдорфово, тогава и само тогава, когато $(X,\tau)$ е локално компактно и хаусдорфово.
Доказателство. Нека $A,B\in\sigma$. Тогава $A\cap X\in\tau$, $B\cap X\in\tau$ и следователно $$(A\cap B)\cap X=(A\cap X)\cap(B\cap X)\in\tau.$$ Ако $\infty\in(A\cap B)$, то $\infty\in A$ и $\infty\in B$, т. е. $X\setminus A$ и $X\setminus B$ са компактни и затворени в $X$. Тогава $$X\setminus(A\cap B)=(X\setminus A)\cup (X\setminus B)$$ е компактно и затворено в $X$. Следователно $A\cap B\in\sigma$.
Нека $\alpha\subset\sigma$. Тогава $$(\cup\alpha)\cap X=\cup\{A\cap X|A\in\alpha\}.$$ Тъй като $A\cap X\in\tau$ за всяко $A\in\alpha$, виждаме, че $(\cup\alpha)\cap X\in\tau$. Ако $\infty\in\cup\alpha$, то съществува $A\in\alpha$, за което $\infty\in A$. Следователно $X\setminus A$ е компактно и затворено в $X$. Същевременно $$X\setminus(\cup\alpha)=\cap\{X\setminus B|B\in\alpha\}\subset X\setminus A$$ е затворено в $X$ подмножество, на компакта $X\setminus A$ и следователно е компактно. Следователно $\cup\alpha\in\sigma$, т. е. $\sigma$ е топология в $\widehat{X}$.
Нека сега $\alpha\subset\sigma$ е отворено покритие на $\widehat{X}$. Тогава съществува $A\in\alpha$, за което $\infty\in A$ и следователно $X\setminus A$ е компактно и затворено в $X$. Тъй като $$\{(X\setminus A)\cap B|B\in\alpha\}$$ е отворено покритие на компакта $X\setminus A$, съществува крайно подпокритие $$\{(X\setminus A)\cap B_j|B_j\in\alpha, j\in\{1,\ldots,n\}\}.$$ Тогава $\widehat{X}=A\cup(X\setminus A)=A\cup\left(\cup_{j=1}^n(X\setminus A)\cap B_j\right)=A\cup\left(\cup_{j=1}^n B_j\right)$, което показва, че $\{A,B_1,\ldots B_n\}\subset\alpha$ е крайно подпокритие на $\widehat{X}$, т. е. $\widehat{X}$ е компактно.
Нека $\widehat{X}$ е хаусдорфово и $a,b\in X\subset\widehat{X}$ са различни точки. Тогава съществуват $A,B\in\sigma$, за които $a\in A$, $b\in B$ и $A\cap B=\emptyset$. Тъй като $a\in A\cap X\in\tau$, $b\in B\cap X\in\tau$ и $(A\cap X)\cap(B\cap X)=(A\cap B)\cap X=\emptyset\cap X=\emptyset$ виждаме, че $X$ е хаусдорфово. Също така, за всяко $a\in X$, съществуват $A, B\in\sigma$, такива че $a\in A$, $\infty\in B$ и $A\cap B=\emptyset$. Тогава $a\in A\cap X\in\tau$, $X\setminus B$ е компактно и $A\cap X\subset X\setminus B$, което показва, че $X\setminus B$ е компактна околност на $a$, т. е. $X$ е локално компактно.
Нека $X$ е локално компактно и хаусдорфово и нека $a,b\in \widehat{X}$ са различни точки. Ако $a,b\in X$, то съществуват $A,B\in\tau\subset\sigma$, за които $a\in A$, $b\in B$ и $A\cap B=\emptyset$. Ако $a\in X$ и $b=\infty$, тъй като $X$ е локално компактно, съществува компактна околност $A$ на $a$, за която $\widehat{X}\setminus A\in\sigma$. Действително, тъй като $X$ е хаусдорфово, $A$ e затворено в $X$ и следователно $(\widehat{X}\setminus A)\cap X=X\setminus A\in\tau$. Също така, тъй като $b\in\widehat{X}\setminus A$ и $X\setminus(\widehat{X}\setminus A)=A$ е компактно и затворено в $X$, виждаме, че $\widehat{X}\setminus A\in\sigma$ и $A\cap(\widehat{X}\setminus A)=\emptyset$. Следователно $\widehat{X}$ е хаусдорфово.

Забележка. Топологичното пространство $(X,\tau)$ се нарича топологично подпространство на $(Y,\sigma)$, ако $X\subset Y$ и $\tau$ съвпада с индуцираната от $\sigma$ топология върху $X$ (еквивалентно $\tau\subset\sigma$). От определението на топологията в $\widehat{X}$, виждаме, че $X$ е топологично подпространство на $\widehat{X}$.

Забележка. В топологично пространство, което не е хаусдорфово, компактните множества не са длъжни да бъдат затворени. Например в пространството $(X,\tau)$, където $X$ е множество с поне два елемента и $\tau=\{X,\emptyset\}$ (т. е. $\tau$ е антидискретната топология в $X$), всяко непразно множество $A\subsetneq X$ е компактно и не е затворено. От друга страна, в хаусдорфово топологично пространство $(X,\tau)$ всяко компактно множество $A\subset X$ е затворено. Действително, за всяка точка $x\in X\setminus A$ и всяка точка $a\in A$, съществува $B_a\in\tau$, такова че $a\in B_a$ и $x\in X\setminus\overline{B_a}$. Тогава $\{A\cap B_a|a\in A\}$ е отворено покритие на компакта $A$, за което съществува крайно подпокритие $\{A\cap B_1,\ldots,A\cap B_n\}$, такова че $x\in X\setminus\overline{B_j}$, за всяко $j\in\{1,\ldots,n\}$. Тогава $A\subset\cup_{j=1}^nB_j\in\tau$ и $x\in X\setminus(\cup_{j=1}^n\overline{B_j})=\cap_{j=1}^nX\setminus\overline{B_j}\in\tau$, т. е. всяка точка от $X\setminus A$ има отворена околност, която не се пресича с $A$. Обединението на всички тези околности е отворено и съвпада с $X\setminus A$ и следователно $A$ е затворено.

Определение 2. Разширена равнина се нарича едноточковата компактификация $\widehat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ на $\mathbb{C}$. Елементът $\infty$ се нарича безкрайна точка.

Забележка. От Твърдение 1 получаваме, че $\widehat{\mathbb{C}}$ е компактно хаусдорфово топологично пространство, в което отворените множества са всички отворени множества в $\mathbb{C}$ и множествата от вида $(\mathbb{C}\setminus K)\cup\{\infty\}$, където $K\subset\mathbb{C}$ е компакт.

Упражнение 1. Докажете, че всяко затворено множество в $\widehat{\mathbb{C}}$ е компактно.
Упражнение 2. Докажете, че всяка редица в $\widehat{\mathbb{C}}$ има сходяща подредица.

Стереографска проекция

Нека $\mathbb{S}^2=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3|x_1^2+x_2^2+x_3^2=1\}$, $\alpha=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3|x_3=0\}$ и $\varphi:\mathbb{S}^2\setminus\{(0,0,1)\}\to\alpha$ се дефинира по следния начин. Ако $(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{S}^2\setminus\{(0,0,1)\}$, то $\varphi(x_1,x_2,x_3)$ e точката на пресичане на правата $g$ през точките $(0,0,1)$ и $(x_1,x_2,x_3)$ и равнината $\alpha$. Ще отбележим, че в това определение точката $(0,0,1)$ може да се замени с коя да е друга точка от $\mathbb{S}^2$, а равнината $\alpha$, с коя да е равнина през центъра $(0,0,0)$. Може дори да се вземе коя да е друга сфера в $\mathbb{R}^3$ и произволна равнина, не съдържаща фиксирана точка от сферата. Причината да изберем горната постановка е, че от една страна тя е традиционна, а от друга страна, за удобство в изчисленията. Така дефинираното изображение $\varphi$ се нарича стереографска проекция. Да опишем това изображение в координати. Правата $g$ има векторно-параметрично уравнение $(y_1,y_2,y_3)=(0,0,1)+t((x_1,x_2,x_3)-(0,0,1))=(tx_1,tx_2,1+t(x_3-1))$, $t\in\mathbb{R}$. Сечението на тази права с $\alpha$ се определя за онези стойности на $t$, за които координатите на точките от $g$ са координати на точки от $\alpha$, т. е. удовлетворяват уравнението, определящо $\alpha$. Тогава търсим всички $t$, за които $1+t(x_3-1)=0$. Оттук получаваме $t=\frac{1}{1-x_3}$, откъдето $$\varphi(x_1,x_2,x_3)=\left(\frac{x_1}{1-x_3},\frac{x_2}{1-x_3},0\right).$$
Непосредствено се вижда, че $\varphi$ е биекция и $\varphi^{-1}:\alpha\to\mathbb{S}^2 \setminus\{(0,0,1)\} $ се определя като на всяка точка $(y_1,y_2,0)\in\alpha$ съпоставим точката на пресичане на правата $g$ през $(y_1,y_2,0)$ и $(0,0,1)$ с $\mathbb{S}^2 \setminus\{(0,0,1)\}$. Както по-горе виждаме, че (Проверете!) $$\varphi^{-1}(y_1,y_2,0)=\left(\frac{2y_1}{1+y_1^2+y_2^2}, \frac{2y_2}{1+y_1^2+y_2^2}, \frac{y_1^2+y_2^2-1}{1+y_1^2+y_2^2} \right).$$ Изображенията $\varphi$ и $\varphi^{-1}$ са непрекъснати в дефиниционните си множества, тъй като координатите им са непрекъснати функции в дефиниционните си множества. Следователно те са хомеоморфизми (напомняме, че хомеоморфизъм се нарича непрекъснато биективно изображение, чието обратно изображение е също непрекъснато). Проверява се, че
a) за всяко $\varepsilon>0$ съществува $\delta>0$, такова че при $|(x_1,x_2,x_3-1)|<\delta$ и $(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{S}^2\setminus\{(0,0,1)\}$ е изпълнено $|\varphi(x_1,x_2,x_3)|\geq\varepsilon$,
б) за всяко $\varepsilon>0$, съществува $\delta>0$, такова че при $|(y_1,y_2,0)|>\delta$ е изпълнено $|\varphi^{-1}(y_1,y_2,0)-(0,0,1)|<\varepsilon$. Действително,
а) $$|\varphi(x_1,x_2,x_3)|^2=\frac{x_1^2+x_2^2}{(1-x_3)^2}=\frac{1-x_3^2}{(1-x_3)^2}=\frac{1+x_3}{1-x_3}\to+\infty,$$ при $(x_1,x_2,x_3)\to(0,0,1)$ и $ (x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{S}^2\setminus\{(0,0,1)\}$,
б) $$|\varphi^{-1}(y_1,y_2,0)-(0,0,1)|^2=\left|\left(\frac{2y_1}{1+y_1^2+y_2^2}, \frac{2y_2}{1+y_1^2+y_2^2}, \frac{-2}{1+y_1^2+y_2^2}\right)\right|^2=\frac{4y_1^2+4y_2^2+4}{(1+ y_1^2+y_2^2)^2}=\frac{4}{1+y_1^2+y_2^2}\to 0,$$ при $y_1,y_2\to\infty$.

И така, дефинираната по-горе стереографска проекция е хомеоморфизъм между единичната сфера без северния полюс $\mathbb{S}^2\setminus\{(0,0,1)\}$ и хоризонталната равнина $\alpha$, която можем да отъждествим с множеството на комплексните числа посредством хомеоморфизмът $\alpha\ni(y_1,y_2,0)\mapsto y_1+iy_2\in\mathbb{C}$. Тогава получаваме хомеоморфизъм $\varphi:\mathbb{S}^2\setminus\{(0,0,1)\}\to\mathbb{C}$, дефиниран с $\varphi(x_1,x_2,x_3)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}$. При това, на точките от сферата, произволно близки до северния полюс, съответстват комплексни числа с произволно голям модул и обратно.

Дефинирайки $\psi:\mathbb{S}^2\to\widehat{\mathbb{C}}$ с $\psi(x_1,x_2,x_3)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}$, при $(x_1,x_2,x_3)\neq(0,0,1)$ и $\psi(0,0,1)=\infty$, получаваме хомеоморфизъм между единичната сфера и разширената комплексна равнина. Оттук между другото можем да забележим, че тъй като $\mathbb{S}^2$ е компкат (затворено и ограничено множество в $\mathbb{R}^3$), $\overline{\mathbb{C}}$ е също компакт.

Упражнение 3. Докажате, че всяка права в $\mathbb{C}$ е множество от вида $\{z\in\mathbb{C}|\Re(Az)=r\}$, където $A\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ и $r\in\mathbb{R}$. Какъв е геометричният смисъл на числата $\overline{A}$ и $i\overline{A}$?

Упражнение 4. Нека $\mathbb{S}^2$ и $\alpha$ са дефинирани както по-горе, а $\psi:\mathbb{S}^2\setminus\{(0,0,-1)\}\to\alpha$ се дефинира по следния начин: ако $(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{S}^2\setminus\{(0,0,-1)\}$, то $\psi(x_1,x_2,x_3)$ e точката на пресичане на правата $g$ през точките $(0,0,-1)$ и $(x_1,x_2,x_3)$ и равнината $\alpha$.
Покажете, че $\psi$ е хомеоморфизъм.

Упражнение 5. Окръжност върху сфера се нарича сечение на сферата с равнина, чието разстояние до центъра на сферата е по-малко от радиуса. В частност, окръжност върху единичната сфера $\mathbb{S}^2=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3|x_1^2+x_2^2+x_3^2=1\}$ е множество от вида $$C=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3|x_1^2+x_2^2+x_3^2=1,a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+a_4=0\},$$ където $a_1,a_2,a_3,a_4\in\mathbb{R}$ и $a_1^2+a_2^2+a_3^2>a_4^2$.
Нека $\psi:\mathbb{S}^2\to\widehat{\mathbb{C}}$ се дефинира с $\psi(x_1,x_2,x_3)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}$, при $(x_1,x_2,x_3)\neq(0,0,1)$ и $\psi(0,0,1)=\infty$.
Докажете, че:
a) ако $C=\{z\in\mathbb{C}||z-a|=r\}$, където $a\in\mathbb{C}$ и $r>0$, то $\psi^{-1}(C)$ е окръжност върху $\mathbb{S}^2$, такава че $(0,0,1)\notin \psi^{-1}(C)$,
б) ако $C=\{z\in\mathbb{C}|\Re(Az)=b\}\cup\{\infty\}$, където $A\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ и $b\in\mathbb{R}$, то $\psi^{-1}(C)$ е окръжност върху $\mathbb{S}^2$, такава че $(0,0,1)\in \psi^{-1}(C)$.
Забележка. Оттук можем да забележим, че образът чрез $\psi$ на окръжност върху единичната сфера, която не минава през северния полюс, е окръжност в комплексната равнина, а образът на окръжност върху сферата, която минава през северния полюс, е права в комплексната равнина с добавена безкрайна точка. По тази причина е прието окръжностите и правите с добавена безкрайна точка да се наричат окръжности в разширената комплексна равнина.

Холоморфни функции в разширената равнина

В настоящия параграф първоначално ще видим по какъв начин можем да дефинираме локални карти върху разширената равнина, което ще ни позволи да дефинираме холоморфни функции върху отворени множества в $\widehat{\mathbb{C}}$ и приемащи стойности в $\widehat{\mathbb{C}}$.

Определение 3. Нека $U_1=\mathbb{C}$, $U_2=\widehat{\mathbb{C}}\setminus{0}$ и изображенията $\varphi_j:U_j\to\mathbb{C}$, $j\in\{1,2\}$ се дефинират с $\varphi_1(z)=z$ и $$\varphi_2(z)=\begin{cases}
\frac{1}{z}, z\neq\infty \\ 0, z=\infty
\end{cases}.$$ Двойките $(U_j,\varphi_j)$, $j\in\{1,2\}$ ще наричаме (локални) карти върху $\widehat{\mathbb{C}}$, а множеството $\{(U_j,\varphi_j)|j\in\{1,2\}\}$ ще наричаме (стандартен) атлас на $\widehat{\mathbb{C}}$.

Твърдение 2. Нека $\mathcal{A}$ е стандартния атлас на $\widehat{\mathbb{C}}$. Тогава $\{U_j|j\in\{1,2\}\}$ е отворено покритие на $\widehat{\mathbb{C}}$, $\varphi_j:U_j\to\mathbb{C}$, $j\in\{1,2\}$ са хомеоморфизми, и функциите $\varphi_i\circ\varphi_j^{-1}:\varphi_j(U_1\cap U_2)\to\varphi_i(U_1\cap U_2)$, $i,j\in\{1,2\}$ са холоморфни в дефиниционните си области.
Доказателство. Очевидно $U_j$, $j\in\{1,2\}$ са отворени в $\widehat{\mathbb{C}}$ и $\widehat{\mathbb{C}}=U_1\cup U_1$, т. е. $\{U_j|j\in\{1,2\}\}$ е отворено покритие на $\widehat{\mathbb{C}}$. Също така, очевидно $\varphi_j$ са непрекъснати, обратими и $\varphi_1^{-1}(z)=z$, $$\varphi_2^{-1}(z)=\begin{cases}
\frac{1}{z}, z\neq 0 \\ \infty, z=0
\end{cases},$$ откъдето виждаме, че $\varphi_j^{-1}$ са също непрекъснати, т. е. $\varphi_j$, $j\in\{1,2\}$ са хомеоморфизми. Тъй като $U_1\cap U_2=\mathbb{C}\setminus\{0\}$, $\varphi_j(U_1\cap U_2)=\mathbb{C}\setminus\{0\}$, $j\in\{1,2\}$ виждаме, че $\varphi_i\circ\varphi_j^{-1}(z)=\frac{1}{z}$ при $i\neq j$ и $\varphi_i\circ\varphi_j^{-1}(z)=z$ при $i=j$. Във всички случаи функциите $\varphi_i\circ\varphi_j^{-1}:\varphi_j(U_1\cap U_2)\to\varphi_i(U_1\cap U_2)$, $i,j\in\{1,2\}$ са холоморфни в дефиниционните си области.

Забележка. Ако $z\in U_j\subset\widehat{\mathbb{C}}$, точката $\varphi_j(z)\in\mathbb{C}$ се нарича локална координата на $z$ в картата $(U_j,\varphi_j)$, а функциите $\varphi_i\circ\varphi_j^{-1}:\varphi_j(U_1\cap U_2)\to\varphi_i(U_1\cap U_2)$ $i,j\in\{1,2\}$ се наричат функции на прехода (от локалните координати в картата $(U_j,\varphi_j)$ към локалните координати в картата $(U_i,\varphi_i)$. От Твърдение 2 виждаме, че всяка точка $z\in\widehat{\mathbb{C}}$ съществува околност, хомеоморфна на отворено множество в $\mathbb{C}$ и ако $z$ е точка от сечението на две различни такива околности, то функцията на прехода, която преобразува локалната координата на $z$ в едната локална карта, в локалната координата на $z$ в другата локална карта е холоморфна.

Определение 4. Нека $A\subset\widehat{\mathbb{C}}$ е отворено множество, $a\in A$ и $f:A\to\widehat{\mathbb{C}}$ е непрекъсната функция. Казваме, че функцията $f$ е холоморфна в точката $a$, ако съществуват локални карти $(U_i,\varphi_i)$, $(U_j,\varphi_j)$, $j\in\{1,2\}$ от стандартния атлас на $\widehat{\mathbb{C}}$, за които $a\in U_i$, $f(a)\in U_j$ и функцията $\varphi_j\circ f\circ\varphi_i^{-1}:\varphi_i(A\cap f^{-1}(U_j))\to\mathbb{C}$ е холоморфна в точката $\varphi_i(a)$. Казваме, че $f$ е холоморфна в $A$, ако е холоморфна във всяка точка $a\in A$.

Упражнение 6. Нека $A\subset\widehat{\mathbb{C}}$ е отворено множество, $a\in A$ и $f:A\to\widehat{\mathbb{C}}$ е холоморфна функция в точката $a$. Докажете, че
a) Ако $a\in \mathbb{C}$ и $f(a)=\infty$, то съществува холоморфна в точката $a$ функция $g$, за която $g(z)=\frac{1}{f(z)}$ в пробита околност на $a$.
б) Ако $a=\infty$ и $f(a)\in\mathbb{C}$, то съществува холоморфна в точката $0$ функция $g$, за която $g(z)=f(\frac{1}{z})$ в пробита околност на $0$.
в) Ако $a=\infty$ и $f(a)=\infty$, то съществува холоморфна в точката $0$ функция $g$, за която $g(z)=\frac{1}{f(\frac{1}{z})}$ в пробита околност на $0$.

Упражнение 7. Докажете, че Определение 4 не зависи от картите.

Определение 5. Нека $A\subset\widehat{\mathbb{C}}$ е отворено множество и $f:A\to\mathbb{C}$ е холоморфна функция в $A$. Казваме, че точката $a\in\widehat{\mathbb{C}}$ е особена за $f$, ако $a\in\partial A$. Казваме, че особената точка $a\in\widehat{\mathbb{C}}$ на $f$ е отстранима, полюс или съществена особена точка на $f$, ако съществува карта $(U,\varphi)$ от атласа на $\widehat{\mathbb{C}}$, такава че $a\in U$ и точката $\varphi(a)$ е съответно отстранима, полюс или съществена особена точка на функцията $f\circ\varphi^{-1}:\varphi(A\cap U)\to\mathbb{C}$.

Твърдение 3. Определение 5 не зависи от картата.
Доказателство. Нека $(U,\varphi)$, $(V,\psi)$ са две карти от атласа на $\widehat{\mathbb{C}}$, $a\in U\cap V$ и $\varphi(a)$ е отстранима особена точка, полюс или съществена особеност на $f\circ\varphi^{-1}$. Тогава $f\circ\psi^{-1}=(f\circ\varphi^{-1})\circ(\varphi\circ\psi^{-1})$ и тъй като $\varphi\circ\psi^{-1}$ е холоморфна в точката $\psi(a)$, и $(\varphi\circ\psi^{-1})(\psi(a))=\varphi(a)$, виждаме, че $\psi(a)$ e особена точка на функцията $f\circ\psi^{-1}$ от същия вид, както точката $\varphi(a)$ на функцията $f\circ\varphi^{-1}$.

назад