Интеграл от функция на комплексна променлива

Определение 1. Нека $f$ е непрекъсната функция, дефинирана в област $D\subset\mathbb{C}$ и $\gamma$ е гладка крива в $D$. Интеграл от функцията $f$ по кривата $\gamma$ се нарича криволинейния интеграл върху $\gamma$ от диференциала $fdz=fdx+ifdy$.

Забележка. От Oпределение 1 виждаме, че ако $\gamma=\alpha+i\beta$, то $$\int_{\gamma}f(z)dz=\int_a^b[f(\gamma(t))\alpha'(t)+if(\gamma(t))\beta'(t)]dt=\int_a^bf(\gamma(t)(\alpha'(t)+i\beta'(t))dt=\int_a^bf(\gamma(t))\gamma'(t)dt.$$ Последната формула е удобна за практически пресмятания.

Забележка. От Oпределение 1 виждаме също, че всички свойства на криволинейните интеграли, които установихме в Тема 14 се пренасят директно върху интегралите от функции на комплексна променлива. Например, независимост на интеграла от параметризацията на кривата, (когато за еквивалентни се считат само параметризациите определящи една и съща ориентация), смяна на знака на интеграла при смяна на ориентацията на кривата $\gamma$, адитивност по кривата, т. е. ако кривата се представи като обединение на дъги, то интегралът върху кривата е сума от интегралите върху отделните дъги (вж. Твърдения 1, 2 и 3 от Тема 14) и др.

От оценката за модула на определен интеграл от комплекснозначна функция (модул на интеграл не надминава интеграл от модула) се получава следната оценка за модула на интеграла от функция на комплексна променлива: модула на интеграла се мажорира от криволинейния интеграл от първи род върху кривата от модула на функцията.

Твърдение 1. Ако $f$ е непрекъсната функция в отворено множество $D\subset\mathbb{C}$ и кривата $\gamma:[a,b]\to D$ е частично гладка, то $\left|\int_{\gamma}f(z)dz\right|\leq\int_{\gamma}|f(z)|ds.$
Доказателство. От Твърдение 4 в Тема 13 и Определение 1 от Тема 14 имаме
$$\left|\int_{\gamma}f(z)dz\right|=\left|\int_a^bf(\gamma(t))\gamma'(t)dt\right|\leq\int_a^b|f(\gamma(t))||\gamma'(t)|dt=\int_{\gamma}|f(z)|ds.$$
Последният интеграл ще означаваме с $\int_{\gamma}|f(z)||dz|$.

Примитивна на функция

Определение 2. Нека $D\subset\mathbb{C}$ и $f:D\to\mathbb{C}$ е непрекъсната функция. Казваме, че функцията $F:D\to\mathbb{C}$ e примитивна на $f$ в $D$, ако $F$ е примитивна на диференциала $fdz$, т. е. $F$ е непрекъснато-диференцируема функция, такава че $dF=fdz$ в $D$.

Твърдение 2. Нека $F:D\to\mathbb{C}$ е примитивна на функцията $f$ в областта $D\subset\mathbb{C}$. Тогава $F$ е холоморфна в $D$ и $F’=f$.
Доказателство. Съгласно Твърдение 3 от Тема 9 и Определение 2 имаме
$$dF=F’_xdx+F’_ydy=F’_zdz+F’_{\overline{z}}d\overline{z}=fdz.$$ Следователно $F’_z=f$ и $F’_{\overline{z}}=0$. От Твърдение 4 от Тема 9 получаваме, че $F$ е холоморфна в $D$ и $F’=F’_z=f$.

Твърдение 3. Функцията $f:D\subset\mathbb{C}$ има примитивна в $D$, тогава и само тогава, когато за всяка затворена частично гладка крива $\gamma:[a,b]\to D$ е изпълнено $\int_{\gamma}f(z)dz=0$.
Доказателство. Нека $F:D\to\mathbb{C}$ е примитивна на $f$, тогава за всяка затворена частично гладка крива $\gamma:[a,b]\to D$ имаме $$\int_\gamma f(z)dz=\int_\gamma dF=\int_{a}^bd(F\circ\gamma)=\int_{a}^b(F\circ\gamma)'(t)dt=F(\gamma(b))-F(\gamma(a))=0,$$ тъй като $\gamma(a)=\gamma(b)$. Обратно, ако за всяка затворена частично гладка крива $\gamma:[a,b]\to D$ имаме $\int_{\gamma} f(z)dz=0$, то съгласно Твърдение 6 от Тема 14 диференциалът $fdz$ е точен в $D$, т. е. $f$ има примитивна в $D$.

Упражнение 1. Нека функцията $f$ e непрекъсната и има примитивна $F$ в областта $D\subset \mathbb{C}$. Докажете, че за всяка частично гладка крива $\gamma:[0,1]\to D$ е в сила формулата на Нютон-Лайбниц $$\int_{\gamma}f(z)dz=F(\gamma(1))-F(\gamma(0)).$$
Забележка. Оттук получаваме, че ако диференциалът на една непрекъснато-диференцируема функция в област е тъждествено нула, то функцията е константа в тази област. В частност това е вярно за всяка холомофна функция, която има производна нула в областта. Това ни дава още едно доказателство на основната теорема на интегралното смятане (Твърдение 6 от Тема 9).

Забележка. Ще отбележим, че не всяка холоморфна функция в дадена област, има примитивна в тази област. Например функцията $z\mapsto z^{-1}$ в $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ няма примитивна, тъй като ако $\gamma(t)=\exp{(it)}$, $t\in[0,2\pi]$, то $\int_{\gamma}z^{-1}dz\neq 0$. Съществуването на примитивна на холоморфна функция зависи от областта, в която тя е дефинирана. В следващите Теми ще се убедим, че всяка холоморфна функция в едносвързана област има примитивна.

Индекс на крива относно точка

В настоящия параграф ще дефинираме понятието индекс на крива относно точка, чрез което ще прецизираме идеята за брой на обиколките, които прави една крива около фиксирана точка, която не лежи на носителя \`{и}. Ще установим и някои важни свойства на индекса, които по-нататък ще прилагаме при интегрирането. Преди това ще установим няколко помощни твърдения.

Твърдение 4. Нека $\gamma:[0,1]\to\mathbb{C}\setminus\{a\}$ е крива. Тогава съществува примитивна $f:[0,1]\to\mathbb{C}$ на $\omega=\frac{1}{z-a}dz$ по $\gamma$, такава че $\exp{(f(t))}=\gamma(t)-a$, за всяко $t\in[0,1]$
Доказателство. Съществуването на такава примитивна на $\omega$ по $\gamma$ следва от Твърдение 4 от Тема 16, тъй като всяка точка от $\mathbb{C}\setminus\{a\}$ има кръгова околност, в която $\omega$ има примитивна, която е еднозначен клон на $\log(z-a)$, в тази околност (вж. втората забележка след Твърдение 4 от Тема 16). Така при дефинирането на примитивна на $\omega$ по $\gamma$, в доказателството на Твърдение 6 от тема 15 можем да избираме всички примитивни на $\omega$, да бъдат еднозначни клонове на $\log(z-a)$ в кръгови околности на точки от носителя на $\gamma$. Ако $f$ е такава примитивна на $\omega$ по $\gamma$, то за всяко $t\in[0,1]$, съществува отворена в $[0,1]$ околност $U$ на $t$, околност $V$ на точката $\gamma(t)$ и примитивна $g$ на $\omega$, която е непрекъснат клон на $\log(z-a)$ в $V$, т. е. $\exp{(g(z))}=z-a$ за всяко $z\in V$, и такава че $f(s)=g(\gamma(s))$, за всяко $s\in U$. Тогава $\exp{(f(s))}=\exp{(g(\gamma(s)))}=\gamma(s)-a$ за всяко $s\in U$. В частност $\exp{(f(t))}=\gamma(t)-a$, и тъй като $t\in[0,1]$ бе произволно избрана точка, твърдението е доказано.

Твърдение 5. Нека $a\in\mathbb{C}$ и $\gamma:[0,1]\to \mathbb{C}\setminus\{a\}$ е затворена крива. Тогава $$\int_{\gamma} \frac{1}{z-a}dz \in 2\pi i\mathbb{Z}.$$
Доказателство. Tъй като диференциалът $\omega=\frac{1}{z-a}dz$ е локално точен в $\mathbb{C}\setminus\{a\}$, според Твърдение 4 съществува примитивна $f:[0,1]\to\mathbb{C}$ на $\omega$ по $\gamma$, такава че $\exp(f(t))=\gamma(t)-a$ за всички $t\in[0,1]$. Тогава $\int_{\gamma} \omega=f(1)-f(0)$ и $$\exp{\left(\int_{\gamma}\omega\right)}=\exp{(f(1)-f(0))}=\frac{\exp{(f(1))}}{\exp{(f(0))}}=\frac{\gamma(1)-a}{\gamma(0)-a}=1,$$ тъй като $\gamma$ е затворена крива. Следователно $\int_{\gamma} \omega\in2\pi i\mathbb{Z}$, което искахме да докажем.

Забележка. От Твърдение 5 виждаме че ако $\gamma:[0,1]\to\mathbb{C}\setminus\{a\}$ е произволна крива (не непременно затворена), то съществува $k\in\mathbb{Z}$, такова че $\int_{\gamma} \frac{1}{z-a}dz=\ln\left|\frac{\gamma(1)-a}{\gamma(0)-a}\right|+i[\text{Arg}(\gamma(1)-a)-\text{Arg}(\gamma(0)-a)]+2k\pi i$, което показва, че $\Im\left(\int_{\gamma}\frac{1}{z-a}dz\right)=\text{Arg}(\gamma(1)-a)-\text{Arg}(\gamma(0)-a)+2k\pi$. Това число се нарича изменение на аргумента на $z-a$ по $\gamma$ и измерва именно разликата между между аргументите на числата $\gamma(1)-a$ и $\gamma(0)-a$, когато точката $\gamma(t)$ описва $\gamma([0,1])$, от точката $\gamma(0)$ до точката $\gamma(1)$, когато $t$ се изменя от $0$ до $1$.

Определение 3. Нека $a\in\mathbb{C}$ и $\gamma$ е затворена крива в област $D\subset\mathbb{C}\setminus\{a\}$. Индекс на кривата $\gamma$ относно точката $a$ се нарича числото $\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{1}{z-a}dz$ и се означава с $\text{Ind}(\gamma,a)$.

Твърдение 6. Ако $\gamma_0$ и $\gamma_1$ са хомотопни затворени криви в областта $D\subset\mathbb{C}\setminus\{a\}$, то $$\text{Ind}(\gamma_0,a)=\text{Ind}(\gamma_1,a).$$
Доказатество. Следва директно от факта, че $(z-a)^{-1}dz$ е локално точен диференциал в $D$ и от хомотопната инвариантност на криволинейните интеграли от локално точни диференциали (Твърдение 2 от Тема 16).

Забележка. Твърдение 6 показва, че индексът на една затворена крива не се променя, ако тази крива се деформира непрекъснато в областта $D$.

Твърдение 7. Ако носителят на затворената крива $\gamma$ се съдържа в едносвързана област $D\subset \mathbb{C}\setminus\{a\}$, то $\text{Ind}(\gamma,a)=0$.
Доказателство. Ако носителят на затворената крива $\gamma$ се съдържа в едносвързана област $D\subset \mathbb{C}\setminus\{a\}$, то $\gamma$ се свива в точка от $D$, т. е. тя е хомотопна на някоя постоянна крива $\beta$ в $D$. Тогава от Твърдение 6 имаме $\text{Ind}(\gamma,a)=\text{Ind}(\beta,a)=0$.

Твърдение 8. Ако $\gamma$ е затворена крива в $\mathbb{C}$ с носител $\Gamma$, то функцията $$\mathbb{C}\setminus\Gamma\ni z\mapsto\text{Ind}(\gamma,z)\in\mathbb{Z}$$ е постоянна във всяка компонента на свързаност на $\mathbb{C}\setminus\Gamma$. При това $\mathbb{C}\setminus\Gamma$ има само една неограничена компонента на свързаност $\Omega$ и $\text{Ind}(\gamma, z)=0$ за всяко $z\in\Omega$.
Доказателство. Тъй като $\gamma:[0,1]\to\mathbb{C}$ е непрекъсната функция върху компакт, $\Gamma=\gamma([0,1])$ е затворено множество (Твърдение 6 от Тема 4). Следователно $\mathbb{C}\setminus\Gamma$ е отворено и според Твърдение от Тема 4 (вж. Упражнение 12) то е обединение свързани компоненти, които са области. Нека $D\subset\mathbb{C}\setminus\Gamma$ една компонента на свързаност и $a\in D$. Тогава множеството $$M=\{z\in D|\text{Ind}(\gamma,z)=\text{Ind}(\gamma,a)\}$$ е отворено в $D$. Действително, тъй като $D$ е отворено, съществува $r>0$, такова че $K(a,r)\subset D$. Нека $b\in K(a,r)$ и $$\beta(t)=\gamma(t)+b-a, \quad t\in[0,1].$$ Тогава $\beta$ и $\gamma$ са хомотопни в $\mathbb{C}\setminus\{a\}$ посредством хомотопията $h(t,s)=\gamma(t)+s(b-a)$, $t,s\in[0,1]$. Нека $f(z)=z+b-a$. Тогава от Твърдение 6, и Твърдение 10 от Тема 15 получаваме $$\text{Ind}(\gamma,b)=\text{Ind}(\beta,b)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\beta}\frac{1}{z-b}dz=\frac{1}{2\pi i}\int_{f\circ\gamma}\frac{1}{z-b}dz=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}f^*\left(\frac{1}{z-b}dz\right)=$$$$=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{1}{z+(b-a)-b}d(z+(b-a))=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{1}{z-a}dz=\text{Ind}(\gamma,a).$$ Следователно $K(a,r)\subset M$, което показва че $M$ е отворено в $D$. Аналогично и $D\setminus M$ е отворено в $D$. Действително, ако $c\in D\setminus M$, то $\text{Ind}(\gamma,c)\neq \text{Ind}(\gamma,a)$ и както по-горе виждаме, че множеството $\{z\in D|\text{Ind}(\gamma,z)=\text{Ind}(\gamma,c)\}\subset D\setminus M$ е отворено в $D$. Следователно $M$ е затворено в $D$ и тъй като $a\in M$, получаваме, че $M=D$ (Твърдение 7 от Тема 4).
Тъй като $\Gamma$ е ограничено множество, съществува $R>0$, такова че $\Gamma\subset K(0,R)$. Ако допуснем, че $\mathbb{C}\setminus\Gamma$ съдържа повече от една неограничена компонента, то $\mathbb{C}\setminus\overline{K(0,R)}$ се съдържа във всяка от тях, и следователно те съвпадат, тъй като се пресичат (Твърдение от Тема 4). Ако $a\in\mathbb{C}\setminus\overline{K(0,R)}$, тъй като $\Gamma$ се съдържа в едносвъраната област $K(0,R)$, от Твърдение 7 виждаме, че $\text{Ind}(\gamma,a)=0$. Тъй като $\text{Ind}(\gamma,z)=\text{Ind}(\gamma,a)$ за всяко $z\in\Omega$, твърдението е доказано.

назад