Хомотопна инвариантност на интегралите от локално точни диференциали

В настоящия параграф ще обобщим понятието примитивна на локално точен диференциал по крива, за да установим най-важното свойство на криволинейните интеграли от локално точни диференциали, а именно, че интегралите от тях върху криви, с общо начало и край, които могат да се деформират непрекъснато една в друга, съвпадат. За да прецизираме идеята за непрекъсната деформация на криви в дадена област, ни е необходимо понятието хомотопия на криви.

Определение 1. Нека $D\subset\mathbb{C}$ е област и $\gamma_1:[0,1]\to D$, $\gamma_2:[0,1]\to D$ са две криви, такива че $\gamma_1(0)=\gamma_2(0)$ и $\gamma_1(1)=\gamma_2(1)$, т. е. те имат общо начало и общ край. Казваме, че $\gamma_1$ и $\gamma_2$ са хомотопни в $D$, ако съществува непрекъснато изображение $h:[0,1]\times[0,1]\to D$ такова че $h(t,0)=\gamma_1(t)$, $h(t,1)=\gamma_2(t)$ за всички $t\in[0,1]$ и $h(0,s)=\gamma_1(0)=\gamma_2(0)$, $h(1,s)=\gamma_1(1)=\gamma_2(1)$, за всички $s\in[0,1]$. Изображението $h$ с тези свойства се нарича хомотопия между $\gamma_1$ и $\gamma_2$ в $D$.

Определение 2. Нека $D\subset\mathbb{C}$ е област и $\gamma_1:[0,1]\to D$, $\gamma_2:[0,1]\to D$ са две затворени криви, т. е. $\gamma_1(0)=\gamma_1(1)$ и $\gamma_2(0)=\gamma_2(1)$. Казваме, че $\gamma_1$ и $\gamma_2$ са хомотопни, ако съществува непрекъснато изображение $h:[0,1]\times[0,1]\to D$ такова че $h(t,0)=\gamma_1(t)$, $h(t,1)=\gamma_2(t)$ за всички $t\in[0,1]$ и $h(0,s)=h(1,s)$ за всяко $s\in[0,1]$. Ще казваме, че една затворена крива $\gamma$ се свива в точка в $D$, ако $\gamma$ е хомотопна на постоянна крива, (т. е. например функцията $\gamma_2$ е постоянна).

Забележка. Както можем да забележим, за всяко $s\in[0,1]$, функцията $\gamma_s:[0,1]\to D$ дефинирана с $\gamma_s(t)=h(t,s)$ е крива в $D$, чиито краища $\gamma_s(0)$ и $\gamma_s(1)$ съвпадат съответно с краищата на $\gamma_1$ и $\gamma_2$. Интуицията зад определението за хомотопия между две криви $\gamma_1$ и $\gamma_2$, с общо начало и общ край, е, че при изменение на $s$ в интервала $[0,1]$, кивата $\gamma_s$ се деформира непрекъснато, от $\gamma_1$ до $\gamma_2$, без да се напуска областта $D$, т. е. чрез непрекъсната деформация на $\gamma_1$ получаваме $\gamma_2$. Ако хомотопията е между две затворени криви в дадена област, то за всяко $s\in[0,1]$, функцията $\gamma_s:[0,1]\to D$ дефинирана с $\gamma_s(t)=h(t,s)$ е затворена крива в $D$.
Забележка. Може да се покаже, че в множеството от всички криви в дадена област с фиксирани начало и край (или затворени криви), хомотопията е релация на еквивалентност.

Определение 3. Нека $D\subset\mathbb{C}$ е област, $P=[a,b]\times[c,d]$, $h:P\to D$ непрекъснато изображение и $\omega$ е локално точен диференциал в $D$. Примитивна на $\omega$ по отношение на $h$ се нарича непрекъсната функция $f:P\to \mathbb{C}$ със следните свойства: за всяко $(p,q)\in P$ съществуват отворена в $P$ околност $U$ на $(p,q)$, отворена околност $V\subset D$ на $h(p,q)$ и примитивна $F$ на $\omega$ в $V$, така че $h(U)\subset V$ и $f(t,s)=F(h(t,s))$ за всички $(t,s)\in U$.

Твърдение 1. Нека $D\subset\mathbb{C}$ е област, $P=[a,b]\times[c,d]$, $h:P\to D$ е непрекъснато изображение и $\omega$ е локално точен диференциал в $D$. Тогава съществува единствена с точност до константа примитивна на $\omega$ по отношение на $h$.
Доказателство. Тъй като $P$ е компакт и $h$ е непрекъснато изображение имаме, че $h(P)$ е компакт. Следователно $\varepsilon=\text{dist}(h(P),\partial D)>0$ (Твърдение 3 от Тема 2). От друга страна, тъй като $h$ е непрекъсната функция върху комапкта $P$, тя е равномерно непрекъсната (Твърдение 4 от Тема 5). Следователно съществува $\delta$, такова че за всички $(p,q),(r,s)\in P$, за които $(p-r)^2+(q-s)^2<\delta^2$ е изпълнено $|h(p,q)-h(r,s)|<\varepsilon$. Нека $$P_{i,j}=[t_{i},t_{i+1}]\times[s_{j},s_{j+1}],$$ $i\in\{1,\ldots,n\}$, $j\in\{1,\ldots,m\}$, където $a=t_1<\ldots<t_{n+1}=b$, $c=s_1<\ldots<s_{m+1}=d$ са разделяния на интервалите $[a,b]$ и $[c,d]$, такива че $$\max\left\{\sqrt{(t_{i+1}-t_{i})^2+(s_{j+1}-s_{j})^2}\Big|i\in\{1,\ldots,n\}, j\in\{1,\ldots,m\}\right\}<\delta.$$ Тогава за всички $(t,s)\in P_{i,j}$ имаме $(t-t_i)^2+(s-s_j)^2<\delta^2$, и следователно $|h(t,s)-h(t_i,s_j)|<\varepsilon$. Следователно, ако $K_{i,j}=K(h(t_i,s_j),\varepsilon)$, $i\in\{1,\ldots,n+1\}, j\in\{1,\ldots,m+1\}$, то $h(P_{i,j})\subset K_{i,j}$ за всички $i\in\{1,\ldots,n\}, j\in\{1,\ldots,m\}$. Тъй като за всички $(t,s)\in P_{i,j}$ са изпълнени неравенствата $(t-t_{i+1})^2+(s-s_j)^2<\delta$ и $|h(t,s)-h(t_{i+1},s_j)|<\varepsilon$, виждаме, че $$h(P_{i,j})\in K_{i,j}\cap K_{i+1,j}.$$ Тъй като $\omega$ е локално точен диференциал, в кръговете $K_{i,j}$ съществуват примитивни на $\omega$ (Твърдение 2 от Тема 15). Понеже $K_{i,j}\cap K_{i+1,j}$ е непразно свързано множество, всеки две примитивни на $\omega$ върху $K_{i,j}\cap K_{i+1,j}$ се отличават с константа. Следователно, ако $F_{i,j}$ е примитивна на $\omega$ в $K_{i,j}$, то съществува примитивна $F_{i+1,j}$ на $\omega$ в $K_{i+1,j}$, такава че $$F_{i+1,j}=F_{i,j}$$ в $K_{i,j}\cap K_{i+1,j}$. Тогава можем да дефинираме изображение $f_j:[a,b]\times[s_{j},s_{j+1}]\to\mathbb{C}$ с $$f_j(t,s)=F_{i,j}(h(t,s))$$ при $t\in[t_{i},t_{i+1}]$, $i\in\{1,\ldots,n\}$. Тогава $f_j$ е непрекъсната функция в $[a,b]\times[s_{j},s_{j+1}]$ и е примитивна на $\omega$ по отношение на непрекъснатото изображение $h_j:[a,b]\times[s_j,s_{j+1}]\to D$, за което $h_j(t,s)=h(t,s)$, за всички $(t,s)\in[a,b]\times[s_j,s_{j+1}]$ (рестрикцията на $h$ върху правоъгълника $[a,b]\times[s_j,s_{j+1}]$).
Всяка от примитивните $f_j$ е определена с точност до константа (тъй като примитивната $F_{1,j}$ може да се избира произволно) и следователно, ако сме избрали $f_j$, то с добавяне на константа можем да изберем $f_{j+1}$, така че $$f_{j+1}(t,s_{j+1})=f_{j}(t,s_{j+1}),$$ за всички $t\in[a,b]$, $j\in\{1,\ldots,n-1\}$. Тогава можем да дефинираме $f:P\to \mathbb{C}$, така че $f(t,s)=f_j(t,s)$ за всички $t\in[a,b]$, $s\in[s_j,s_{j+1}]$, $j\in\{1,\ldots,n\}$, при което получаваме непрекъсната функция със свойствата от Определение 3.

Забележка. Да забележим, че ако $f$ е примитивна на $\omega$ относно $h$, то за всяко фиксирано $s\in[c,d]$, функцията $[a,b]\ni t\mapsto f(t,s)\in\mathbb{C}$ е примитивна на $\omega$ по кривата $\gamma_s:[a,b]\to D$, дефинирана с $\gamma_s(t)=h(t,s)$.

Следващото твърдение е най-важното свойство на криволинейните интеграли от локално точни диференциали.

Твърдение 2. Нека $\alpha$ и $\beta$ са хомотопни криви с общо начало и край в областта $D\subset{\mathbb{C}}$ и $\omega$ е непрекъснат и локално точен диференциал в $D$. Тогава $\int_{\alpha}\omega=\int_{\beta}\omega$.
Доказателство. Нека $h$ е хомотопия между $\alpha$ и $\beta$, т. е. $h:[0,1]\times[0,1]\to D$ е непрекъснато изображение, за което $h(t,0)=\alpha(t)$, $h(t,1)=\beta(t)$, $h(0,s)=\alpha(0)=\beta(0)=a$, $h(1,s)=\alpha(1)=\beta(1)=b$, за всички $t,s\in[0,1]$. Според Твърдение 1 съществува примитивна $f$ на $\omega$ относно $h$. Тогава, ако $F$ и $G$ са примитивни на $\omega$, дефинирани около $a$ и $b$ съответно, то $$\int_{\alpha}\omega=f(1,0)-f(0,0)=G(h(1,0))-F(h(0,0))=G(b)-F(a)$$ и $$\int_{\beta}\omega=f(1,1)-f(0,1)=G(h(1,1))-F(h(0,1))=G(b)-F(a)$$ (вж. Определение 2 от Тема 15).

Едносвързани области

Целта в настоящия параграф е да дефинираме понятието едносвързана област, което ще ни помогне да разберем по-добре някои по-дълбоки свойства на локално точните диференциали, дефинирани върху такива области. Вече видяхме, че има локално точки диференциали, които не са точни. Използвайки хомотопната инвариантност ще се убедим, че ако един диференциал е локално точен в едносвързана област, то той е точен в тази област. На интуитивно ниво, едносвързана област представлява област без дупки. Тази идея може да се прецизира по различни начини. Ние ще направим това, чрез понятието хомотопия на криви, тъй като това ще бъде удобно при формулирането и установяването на други резултати впоследствие.

Определение 4. Казваме, че една област е едносвързана, ако всяка затворена крива се свива в точка в тази област.

Пример 1. Всяка звездна област е едносвързана. В частност всяка изпъкнала област е едносвързана.

За да дадем примери на неедносвързани области ще ни е нужно следното твърдение, което ще прилагаме и по-нататък.

Твърдение 3. Всеки непрекъснат локално точен диференциал в едносвързана област е точен в тази област.
Доказателство. Нека $D\subset\mathbb{C}$ е едносвързана област и $\omega$ е локално точен диференциал в $D$. Тогава всяка затворена (и в частност всяка затворена частично гладка) крива $\gamma$ е хомотопна на някоя постояна крива $\alpha$ в $D$ (Определение 4). Следователно от Твърдение 2 получаваме $\int_{\gamma}\omega=\int_{\alpha}\omega=0$ (последният интеграл е нула, тъй като той е разлика от стойностите на някоя примитивна на $\omega$, дефинирана в околност на точката определена от $\alpha$, пресметнати в общото начало и край на $\alpha$). Следователно от Твърдение от Тема получаваме, че $\omega$ е точен диференциал в $D$.

Пример 2. Областта $D=\mathbb{C}\setminus\{a\}$, където $a\in\mathbb{C}$ не е едносвързана. Действително, диференциалът $\omega=\frac{1}{z-a}dz$ е локално точен в $D$, тъй като е непрекъснато-диференцируем и затворен (вж. Твърдение, но не е точен в $D$ тъй като $\int_{\gamma}\omega\neq 0$ за кривата $\gamma:[0,1]\to D$, зададена с $\gamma(t)=a+\exp{(2\pi i t)}$ (вж Твърдение 6 от Тема 14).

Следващото твърдение ни показва, че във всяка едносвързана област несъдържаща $0$ съществува еднозначен клон на комплексния логаритъм.

Твърдение 4. Ако $a\in\mathbb{C}$ и $D\subset\mathbb{C}\setminus\{a\}$ е едносвързана област, то диференциалът $\omega=\frac{1}{z-a}dz$ има примитивна в $D$, която е еднозначен клон на $\log(z-a)$ в $D$.
Доказателство. Трябва да покажем, че съществува непрекъснато-диференцируема функция $f$ в $D$, такава че $df=\omega$ и $\exp{f(z)}=z-a$ за всяко $z\in D$. Последното съотношение е еквивалентно на $1=(z-a)\exp{(-f(z))}$ за всяко $z\in D$, т. е. търсим примитивна $f$ на $\omega$, такава че функцията $z\mapsto (z-a)\exp{(-f(z))}$ е константата $1$ в $D$. Тъй като $\omega$ е локално точен диференциал в $\mathbb{C}\setminus\{a\}$ (вж. Пример 1 на Тема 15 и Твърдение 4 на Тема 15), той е локално точен в $D$ и понеже $D$ е едносвързана, $\omega$ е точен в $D$ (Твърдение 3). Следователно съществува непрекъснато-диференцируема функция $g$, такава че $dg=\omega$ в $D$. За функцията $z\mapsto (z-a)\exp{(-g(z))}$, имаме $$d\left[(z-a)\exp{(-g(z))}\right]=\exp{(-g(z))}d(z-a)+(z-a)d(\exp{(-g(z))})=\exp{(-g(z))}dz-(z-a)\exp{(-g(z))}dg(z)=$$$$=\exp{(-g(z))}dz-(z-a)\exp{(-g(z))}\cdot\frac{1}{z-a}dz=0.$$ Тогава съществува $b\in\mathbb{C}$, такова че $(z-a)\exp{(-g(z))}=b$ (Твърдение 6 на Тема 9). Тъй като $(z-a)\exp{(-g(z))}\neq 0$ за всяко $z\in D$, виждаме, че $b\neq 0$. Тогава съществува $c\in\mathbb{C}$, такова че $b=\exp c$ и следователно $(z-a)\exp{(-g(z))}=\exp c$, откъдето $\exp{(g(z)+c)}=z-a$. Тогава функцията $f:D\to\mathbb{C}$, дефинирана с $f(z)=g(z)+c$ е примитивна на $\omega$ в $D$, която е еднозначен клон на $\log(z-a)$ в $D$.

Забележка. Твърдение 4 всъщност показва, че в едносвързана област $D\subset\mathbb{C}\setminus\{a\}$ винаги съществува еднозначен клон $f$ на $\log(z-a)$ и той е холоморфна функция в $D$, като $f'(z)=\frac{1}{z-a}$.

Забележка. От Твърдение 4 получаваме в частност, че във всеки кръг $K(b,|b-a|)$, където $b\in \mathbb{C}\setminus\{a\}$, диференциалът $\frac{1}{z-a}dz$ има примитивна, която е еднозначен клон на $\log(z-a)$ в този кръг. Този факт може да се установи и непосредствено, предвид Твърдение 5 от Тема 14, без да се опираме на понятието едносвързаност.

Забележка. Да забележим, че не всяка примитивна $f$ на $\frac{1}{z-a}dz$ в едносвързана област $D\subset\mathbb{C}\setminus\{a\}$ е еднозначен клон на $\log(z-a)$ в тази област (тъй като може да не е изпълнено съотношението $\exp{f(z)}=z-a$). Обаче от доказателството на Твърдение 4 виждаме, че към всяка такава примитивна $f$ може да се добави подходяща константа, така че да се получи еднозначен клон на $\log(z-a)$ в $D$.

назад