Степенни редове

Определение 1. Степенен ред с център в точката $a\in\mathbb{C}$ и коефициенти $a_n\in\mathbb{C}$, $n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$, се нарича наредена двойка редици от холоморфни функции $n\mapsto f_n(z)=a_n(z-a)^n$, $n\mapsto s_n(z)=\sum_{k=0}^nf_k(z)$, които се наричат общ член и редица от частични суми съответно. Степенният ред с център в точката $a$ и коефициенти $a_n$, $n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$ се означава със символа $\sum\limits_{k\geq 0}a_n(z-a)^n$.

Забележка. Както в случая на редове от комплексни числа, се вижда, че общия член на един степенен ред определя редицата му от частични суми и обратно, редицата от частични суми на реда определя общия му член. В частност, за определянето на един степенен ред е достатъчно да зададем общият му член, който се определя центърът и редицата от коефициенти.

Определение 2. Степененният ред $\sum\limits_{k\geq 0}a_n(z-a)^n$ се нарича сходящ/разходящ в точката $w\in\mathbb{C}$, когато редицата от частичните му суми е сходяща/разходяща в тази точка, т. е. редицата от комплексни числа $n\mapsto\sum\limits_{k=0}^na_k(w-a)^k$ е сходяща/разходяща. Когато редът е сходящ в дадена точка $w$, границата на редицата от частичните му суми се нарича сума на реда в тази точка и се означава с $\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_n(w-a)^n$, т. е. $\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_n(w-a)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=0}^na_k(w-a)^k$ (когато последната граница съществува).

Забележка. Сумата на един сходящ степенен ред е функция, дефинирана в множеството от точки $z\in\mathbb{C}$, за които редът е сходящ. Да забележим, че всеки степенен ред е сходящ в центъра си.

Определение 3. Нека редицата $a:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ е ограничена отгоре и има поне една точка на сгъстяване. Тогава множеството $A$ от точки на сгъстяване на $a$ е непразно и ограничено отгоре множество от реални числа. Според принципа за непрекъснатост на $\mathbb{R}$ съществува числото $\sup A$, което се нарича горна точка на сгъстяване на $a$ и се означава с $\limsup a$ или $\limsup\limits_{n\to\infty}a_n$.

Забележка. Ако редицата $a:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ е неограничена отгоре или няма точки на сгъстяване, то $\limsup a$ не съществува. Понякога, когато $a$ е неограничена отгоре се записва $\limsup a=+\infty$.

Твърдение 1. Нека редицата $a:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ е ограничена отгоре, има поне една точка на сгъстяване и $\alpha=\limsup a$. Тогава $\alpha$ е точка на сгъстяване на $a$ и за всяко $\varepsilon>0$, същестува $m\in\mathbb{N}$ (евентуално зависещо от $\varepsilon$), такова че при $n>m$ е вярно $a_n-\alpha<\varepsilon$.
Доказателство. Нека $\varepsilon>0$. От определението на $\alpha$ следва, че съществува точка на сгъстяване $\beta$ на $a$, такава че $\alpha-\varepsilon<\beta\leq\alpha$. Следователно съществува подредица $b$ на $a$, за която $\lim b=\beta$. Следователно съществува $m\in\mathbb{N}$, за което $|b_n-\beta|<\beta-(\alpha-\varepsilon)$ при $n>m$. Тогава $-\beta+\alpha-\varepsilon<b_n-\beta<\beta-\alpha+\varepsilon$, при $n>m$, откъдето $\alpha-\varepsilon<b_n<2\beta-\alpha+\varepsilon\leq\alpha+\varepsilon$, при $n>m$, което показва, че $\lim b=\alpha$, т. е. $\alpha$ е точка на сгъстяване на $a$.
Ако допуснем, че съществува $\varepsilon>0$, такова че за всяко $m\in\mathbb{N}$ съществува $n>m$, за което $a_n-\alpha\geq\varepsilon$, получаваме растяща редица $b:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$, за която $a_{b_m}-\alpha\geq\varepsilon$, за всяко $m\in\mathbb{N}$. Тъй като $a$ е ограничена, подредицата $a\circ b$ е също ограничена и според теоремата на Вайерщрас тя има сходяща подредица $c$ (която е подредица на $a$), за която $\lim c\geq \alpha+\varepsilon$, а това противоречи на дефиницията на $\alpha$.
Твърдение 2. (критерий на Коши) Редът от комплекнси числа $\sum\limits_{n\geq 1}a_n$ е абсолютно сходящ при $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}<1$ и разходящ при $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}>1$ или $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=+\infty$. При $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=1$ сходимостта на реда е неопределена.
Доказателство. Ако $l=\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}<1$, то съществува $\delta>0$, такова че $0<l+\delta<1$. От друга страна, от Твърдение 1 съществува $m\in\mathbb{N}$, такова че при $n>m$ имаме $\sqrt[n]{|a_n|}-l<\delta$. Следователно $$\sqrt[n]{|a_n|}<l+\delta<1,$$ откъдето $|a_n|\leq (l+\delta)^n$ при $n>m$. Следователно при $n>m$ имаме $$\sum_{j=1}^{n}|a_j|=\sum_{j=1}^{m}|a_j|+\sum_{j=m+1}^{n}|a_j|\leq \sum_{j=1}^{m}|a_j|+\sum_{j=m+1}^{n}(l+\delta)^j.$$ Тъй като $0<l+\delta<1$, редицата $n\mapsto\sum_{j=1}^{n}(l+\delta)^j$ е сходяща и в частност е ограничена. Следователно редът $\sum_{n\geq 1}a_n$ е абсолютно сходящ. Ако $l>1$, или ако редицата $n\mapsto\sqrt[n]{|a_n|}$ е неограничена, то редът $\sum_{n\geq 1}a_n$ е разходящ, тъй като в тези случаи общият му член не клони към нула. Наистина, ако допуснем, че $|a_n|<\varepsilon$, от известно място нататък, то $\sqrt[n]{|a_n|}<\sqrt[n]\varepsilon$, от известно място нататък, откъдето $l=\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\leq \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\varepsilon}=1$, което е противоречие.
Редовете $\sum_{k=1}^{\infty}k^{-1}$ и $\sum_{k=1}^{\infty}k^{-2}$ показват, че при $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=1$, нищо не може да се твърди за сходимостта на реда $\sum_{k=1}^{\infty}a_k$.

Твърдение 3. За всеки степенен ред $\sum\limits_{k\geq 0}a_k(z-a)^k$ има три възможности:
1) редът е сходящ при $z=a$ и разходящ за всяко $z\neq a$,
2) редът е сходящ за всяко $z\in\mathbb{C}$,
3) съществува число $r\in (0,\infty)$, което се нарича радиус на сходимост на реда, такова че при $|z-a|<r$ редът е сходящ, при $|z-a|>r$ редът е разходящ, а при $|z-a|=r$ сходимостта на реда е неопределена.
Доказателство. Ще покажем че числото $$r=\left(\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\right)^{-1},$$ определено чрез коефициентите на степенния ред има изброените свойства (формула на Коши-Адамар). За произволно фиксирано $z\in\mathbb{C}$ прилагаме критерия на Коши за сходимост на числови редове към реда с общ член $n\mapsto a_n(z-a)^n$. Тогава, ако $$\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}|z-a|<1,$$ редът е сходящ, а ако $$\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}|z-a|>1$$ редът е разходящ (Твърдение 2). Оттук виждаме, че ако $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=0$, то редът е сходящ за всяко $z\in\mathbb{C}$, а ако $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=+\infty$, редът е сходящ при $z=a$ и разходящ за всяко $z\neq a$. Ако $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}>0$, то при $|z-a|<\left(\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\right)^{-1}$ редът е сходящ, а при $|z-a|>\left(\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\right)^{-1}$ той е разходящ. При $|z-a|=\left(\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\right)^{-1}$, сходимостта на реда е неопределена.

Забележка. Оттук виждаме, че множеството от точки, за които един ред $\sum\limits_{k\geq 0}a_k(z-a)^k$ е сходящ може да бъде $\{a\}$, $\mathbb{C}$ или $K(a,r)\cup M$, където $M\subset C(a,r)$. Вътрешността на множеството на сходимост на един степенен ред е област, която се нарича област на сходимост на степенния ред. Така областта на сходимост на всеки степенен е или празно множество, или кръг или цялата равнина.
Забележка. Всеки степенен ред $\sum\limits_{k\geq 0}a_k(z-a)^k$ с непразна област на сходимост $D$ е абсолютно сходящ във всеки кръг $K(a,r)$, за който $\overline{K(a,r)}\subset D$. Оттук виждаме, че всеки степенен ред е абсолютно сходящ върху всеки компакт $K\subset D$, тъй като всеки такъв компакт се съдържа в някой кръг с център в $a$, чиято затворена обвивка се съдържа в $D$.
Забележка. Всеки степенен ред с непразна област на сходимост е абсолютно и равномерно сходящ върху всеки компакт съдържащ се в областта му на сходимост, тъй като върху всеки такъв компакт, редът се мажорира от сходящ числов ред, а именно степенния ред пресметнат в точка от границата на кръг, съдържащ компакта и съдържащ се в областта на сходимост.

Упражнение 1. Дайте примери на степенни редове, с краен радиус на сходимост, които се държат по различен начин върху границата на кръга си на сходимост.

Диференциране на степенни редове

В настоящия параграф ще се убедим, че сумата на един сходящ степенен ред, с ненулев радиус на сходимост, е функция с хубави свойства. Тя е холоморфна функция, която има производни от произволен ред, които също са степенни редове, и то със същата област на сходимост. При това съществуването на производни от произволен ред следва от съществуването на първа производна.

Твърдение 4. Степенните редове $\sum\limits_{k\geq 0}a_k(z-a)^k$ и $\sum\limits_{k\geq 1}ka_k(z-a)^{k-1}$ имат една и съща област на сходимост.
Доказателство. Областта на сходимост на степенния ред $\sum\limits_{k\geq 1}ka_k(z-a)^{k-1}$, можем да определим използвайки формулата на Коши-Адамар (Твърдение 3). За целта съобразяваме, че степенните редове $\sum\limits_{k\geq 1}ka_k(z-a)^{k-1}$ и $\sum\limits_{k\geq 1}ka_k(z-a)^{k}$ имат една и съща област на сходимост, тъй като вторият се получава от първия, чрез умножаване с $z-a$. За да докажем твърдението трябва да установим, че $$\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}=\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{k|a_k|}.$$ Нека $k\mapsto {n_k}$ определя подредица, на редицата $n\mapsto \sqrt[n]{|a_n|}$, за която $\sqrt[n_k]{|a_{n_k}|}\to\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$ (такава подредица съществува, тъй като $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$ е точка на сгъстяване на редицата $n \mapsto\sqrt[n]{|a_n|}$). Тъй като $k\mapsto \sqrt[n_k]{n_k}$ е подредица на сходящата към 1 редица $n\mapsto\sqrt[n]{n}$ имаме $$\sqrt[n_k]{n_k|a_{n_{k}}|}=\sqrt[n_k]{n_k}\sqrt[n_k]{|a_{n_{k}}|}\to\limsup\sqrt[n]{|a_n|}.$$ Следователно $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$ е точка на сгъстяване на редицата $n\mapsto\sqrt[n]{n|a_n|}$, което показва, че $$\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\leq\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n|a_n|}.$$ От друга страна, ако $n\mapsto n_k$ определя подредица на редицата $n\mapsto \sqrt[n]{n|a_n|}$, за която $\sqrt[n_k]{n_k|a_{n_k}|}\to\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n|a_n|}$, то $\sqrt[n_k]{|a_{n_k}|}=\frac{\sqrt[n_k]{n_k|a_{n_k}|}}{\sqrt[n_k]{n_k}}\to\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n|a_n|}$, което показва, че $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n|a_n|}$ е точка на сгъстяване на редицата $n\mapsto \sqrt[n]{|a_n|}$. Следователно $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n|a_n|}\leq \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$.

Твърдение 5. Нека $D\subset\mathbb{C}$ е областта на сходимост на степенния ред $\sum\limits_{k\geq 0}a_k(z-a)^k$ и $D\neq\emptyset$. Нека $f:D\to\mathbb{C}$ се дефинира с $f(z)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k(z-a)^{k}$. Тогава функцията $f$ е холоморфна в $D$ и $f'(z)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}ka_k(z-a)^{k-1}$ за всяко $z\in D$.
Доказателство. Тъй като $D\neq\emptyset$ е отворено, съществува $r>0$, за което $\overline{K(a,r)}\subset D$. Нека $z\in K(a,r)$. Тогава редът $\sum\limits_{k\geq 1}ka_k(z-a)^{k-1}$ е абсолютно сходящ (Твърдение 4) и за всяко $|h|<r-|z-a|$ имаме $$\frac{f(z+h)-f(z)}{h}-\sum\limits_{k=1}^{\infty}ka_k(z-a)^{k-1}=$$$$=\frac{1}{h}\left(\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k=0}^na_k(z+h-a)^k-\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k=0}^na_k(z-a)^k\right)-\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}ka_k(z-a)^{k-1}=$$
$$=\frac{1}{h}\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k= 0}^na_k[(z+h-a)^k-(z-a)^k]-\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}ka_k(z-a)^{k-1}=$$
$$=\frac{1}{h}\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}a_kh\sum_{j=0}^{k-1}(z+h-a)^j(z-a)^{k-j-1}-\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}ka_k(z-a)^{k-1}=$$$$=\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}a_k\left(\sum_{j=0}^{k-1}(z+h-a)^j(z-a)^{k-j-1}-k(z-a)^{k-1}\right).$$
Ще покажем, че последната граница е нула. За произволни $m\in\mathbb{N}$ и $n>m$, от неравенството на триъгълника имаме$$\left|\sum_{k=m+1}^{n}a_k\left(\sum_{j=0}^{k-1}(z+h-a)^j(z-a)^{k-j-1}-k(z-a)^{k-1}\right)\right|\leq$$$$\leq \sum_{k=m+1}^{n}|a_k|\left(\sum_{j=0}^{k-1}|z+h-a|^j|z-a|^{k-j-1}+k|z-a|^{k-1}\right)<$$$$<\sum_{k=m+1}^{n}|a_k|\left(\sum_{j=0}^{k-1}r^jr^{k-j-1}+kr^{k-1}\right)=2\sum_{k=m+1}^{n}k|a_k|r^{k-1}.$$Тъй като $a+r\in D$ и $\sum\limits_{k\geq 1}ka_k(z-a)^k-1{}$ е абсолютно сходящ в $D$, виждаме, че редът $2\sum_{k\geq 1}k|a_k|r^{k-1}$ е сходящ. Тогава за всяко $\varepsilon>0$ съществува $p\in\mathbb{N}$, такова че за всички $n>m>p$ имаме $$2\sum_{k=m+1}^{n}k|a_k|r^{k-1}<\frac{\varepsilon}{2}.$$ Нека $P(h)=\sum_{k=1}^{m}a_k\left(\sum_{j=0}^{k-1}(z+h-a)^j(z-a)^{k-j-1}-k(z-a)^{k-1}\right)$. Тогава $P$ e полином, за който $P(0)=0$. Следователно съществува $\delta>0$, такова че при $|h|<\delta$ е изпълнено $|P(h)|<\frac{\varepsilon}{2}$. Тогава при $|h|<\min\{\delta,r-|z-a|\}$, $n>m>p$, от неравенството на триъгълника имаме $$\left|\sum_{k=1}^{n}a_k\left(\sum_{j=0}^{k-1}(z+h-a)^j(z-a)^{k-j-1}-k(z-a)^{k-1}\right)\right|=$$$$=\left|P(h)+\sum_{k=m+1}^{n}a_k\left(\sum_{j=0}^{k-1}(z+h-a)^j(z-a)^{k-j-1}-k(z-a)^{k-1}\right)\right|\leq$$$$\leq|P(h)|+2\sum_{k=m+1}^{n}k|a_k|r^{k-1}<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.$$

Забележка. Върху границата на кръга на сходимост редовете от производните могат да се държат по различен начин (пример $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n}$) т. е. множествата от точки, в които редовете са сходящи могат да са различни, но радиусите на сходимост са винаги едни и същи.

Единственост на степенни редове

Твърдение 6. (Теорема за единственост) Нека степенният ред $\sum\limits_{j\geq 0}a_j(z-a)^j$ е сходящ в кръга $K(a,r)$ и $f(z)=\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{j=0}^{n}a_j(z-a)^j$ за всяко $z\in K(a,r)$.
Тогава, ако $w:\mathbb{N}\to K(a,r)\setminus\{a\}$ е редица, за която $\lim w= a$ и $f(w)=0$, то $a_j=0$ за всяко $j\in\mathbb{N}\cup\{0\}$.
Доказателство. Допускаме противното. Тогава съществува $p\in\mathbb{N}\cup\{0\}$, такова че $a_j=0$ за всички $j\in\{0,\ldots,p-1\}$ и $a_p\neq 0$. Следователно $f(z)=(z-a)^pg(z)$, където $g(z)=\sum_{j=p}^{\infty}a_j(z-a)^{j-p}$ и $g(w_n)=\sum_{j=p}^{\infty}a_j(w_n-a)^{j-k}=0$ за всяко $n\in\mathbb{N}$, т. е. $g(w)=0$. Тъй като $g$ е непрекъсната функция (като сума на сходящия в $K(a,r)$ степенен ред $\sum\limits_{j\geq p}a_j(z-a)^{j-p}$, вж. Твърдение 5) получаваме, че $$a_p=g(a)=g\left(\lim w\right)=\lim g(w)=0,$$ което е противоречие.

Забележка. Като следствие от Твърдение 6 получаваме, че сумите на два степенни реда с общ кръг на сходимост съвпадат, тогава и само тогава, когато коефициентите им съвпадат. Действително, ако коефициентите редовете съвпадат, то техните суми съвпадат. Ако сумите на редовете съвпадат, прилагаме Твърдение 6 към степенния ред с коефициенти, разликата от коефициентите на двата реда.
Забележка. Теоремата за единственост е аналог на твърдението, че ако един полином с комплексни коефициенти, разглеждан като функция върху $\mathbb{C}$, се анулира в $n+1$ точки, то коефициентите му са нулеви (т. е. полиномът е тъждествено нула).

Гранична теорема на Абел

Граничната теорема на Абел е резултат, касаещ граничното поведение на сумата на един степенен, ред в точка от границата на кръга на сходимост, в която той е сходящ. По-точно, ако един степенен ред с ненулев радиус на сходимост е сходящ в точка от границата на кръга си на сходимост, то сумата на степенния ред клони към сумата на реда в граничната точка, когато аргуметна клони към точката радиално.

Твърдение 7. Нека степенният ред $\sum\limits_{k\geq 0}a_k(z-a)^k$ има радиус на сходимост $r>0$ и е сходящ в точката $a+r\exp( i\theta)$, където $\theta\in\mathbb{R}$. Ако $f:K(a,r)\to\mathbb{C}$ е сумата на реда, т. е. $f(z)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k(z-a)^k$, за всяко $z\in K(a,r)$, то $\lim\limits_{x\to r}f(a+x\exp(i\theta))=\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_kr^k\exp(ik\theta)$.
Доказателство. Нека $s_n=\sum_{k=0}^{n}a_kr^k\exp(ik\theta)$, $n\geq 0$ и $s=\sum_{k=0}^{\infty}a_kr^k\exp(ik\theta)$. Тогава за всяко $k\geq 1$ имаме $s_k-s_{k-1}=a_kr^k\exp(ik\theta)$, откъдето $$a_k\exp(ik\theta)=\frac{s_k-s_{k-1}}{r^k}.$$ Следователно за всяко $n\in\mathbb{N}$ и всяко $x\in(0,r)$ имаме $$\sum_{k=0}^{n}a_kx^k\exp(ik\theta)=a_0+\sum_{k=1}^{n}a_kx^k\exp(ik\theta)=a_0+\sum_{k=1}^{n}\frac{s_k-s_{k-1}}{r^k}x^k=s_0+\sum_{k=1}^{n}s_k\left(\frac{x}{r}\right)^k-\sum_{k=1}^{n}s_{k-1}\left(\frac{x}{r}\right)^k=$$
$$=\sum_{k=0}^{n}s_k\left(\frac{x}{r}\right)^k-\sum_{k=0}^{n-1}s_{k}\left(\frac{x}{r}\right)^{k+1}=\sum_{k=0}^{n-1}s_k\left(\frac{x}{r}\right)^k-\frac{x}{r}\sum_{k=0}^{n-1}s_{k}\left(\frac{x}{r}\right)^{k}+s_n\left(\frac{x}{r}\right)^n=$$$$=\left(1-\frac{x}{r}\right)\sum_{k=0}^{n-1}s_{k}\left(\frac{x}{r}\right)^{k}+s_n\left(\frac{x}{r}\right)^n=\left(1-\frac{x}{r}\right)\sum_{k=0}^{n-1}(s_{k}-s+s)\left(\frac{x}{r}\right)^{k}+s_n\left(\frac{x}{r}\right)^n=$$$$=\left(1-\frac{x}{r}\right)\sum_{k=0}^{n-1}(s_{k}-s)\left(\frac{x}{r}\right)^{k}+\left(1-\frac{x}{r}\right)\sum_{k=0}^{n-1}s\left(\frac{x}{r}\right)^{k}+s_n\left(\frac{x}{r}\right)^n.$$
Тъй като всички редици в последното равенство са сходящи, след граничен преход при $n\to\infty$ получаваме
$$f(a+x\exp(i\theta))=\left(1-\frac{x}{r}\right)\sum_{k=0}^{\infty}(s_{k}-s)\left(\frac{x}{r}\right)^{k}+s,$$ откъдето виждаме, че е достатъчно да докажем, че $$\lim\limits_{x\to r}\left(1-\frac{x}{r}\right)\sum_{k=0}^{\infty}(s_{k}-s)\left(\frac{x}{r}\right)^{k}=0.$$ Нека $\varepsilon>0$. Тъй като $\lim\lim\limits_{n\to\infty}s_n=s$ съществува число $p\in\mathbb{N}$ такова, че $|s_k-s|<\frac{\varepsilon}{2}$ за всяко $k>p$. Тогава за всички $n>m>p$ имаме $$\left|\left(1-\frac{x}{r}\right)\sum_{k=0}^{n}(s_{k}-s)\left(\frac{x}{r}\right)^{k}\right|\leq\left(1-\frac{x}{r}\right)\sum_{k=0}^{n}|s_{k}-s|\left(\frac{x}{r}\right)^{k}=$$$$=\left(1-\frac{x}{r}\right)\sum_{k=0}^{m}|s_{k}-s|\left(\frac{x}{r}\right)^{k}+\left(1-\frac{x}{r}\right)\sum_{k=m+1}^{n}|s_{k}-s|\left(\frac{x}{r}\right)^{k}<$$$$<\left(1-\frac{x}{r}\right)\sum_{k=0}^{m}|s_{k}-s|+\left(1-\frac{x}{r}\right)\sum_{k=m+1}^{n}\frac{\varepsilon}{2}\left(\frac{x}{r}\right)^{k}<$$$$<\left(1-\frac{x}{r}\right)\sum_{k=0}^{m}|s_{k}-s|+\frac{\varepsilon}{2}\left(1-\frac{x}{r}\right)\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{x}{r}\right)^{k}.$$ Следователно $$\left|\left(1-\frac{x}{r}\right)\sum_{k=0}^{\infty}(s_{k}-s)\left(\frac{x}{r}\right)^{k}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\left(1-\frac{x}{r}\right)\sum_{k=0}^{n}(s_{k}-s)\left(\frac{x}{r}\right)^{k}\right|\leq\left(1-\frac{x}{r}\right)\sum_{k=0}^{m}|s_{k}-s|+\frac{\varepsilon}{2}.$$ Оттук виждаме, че ако означим $M=\sum_{k=0}^{m}|s_{k}-s|$, то за всяко $x\in(0,r)$, за което $\left(1-\frac{x}{r}\right)M<\frac{\varepsilon}{2}$, т. е. $x>r(1-\frac{\varepsilon}{2M})$ имаме
$$\left|\left(1-\frac{x}{r}\right)\sum_{k=0}^{\infty}(s_{k}-s)\left(\frac{x}{r}\right)^{k}\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon,$$ с което твърдението е доказано.

Забележка. Като приложение на Твърдение 7 могат да се намират сумите на някои редове. Например можем да получим, че $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k}=\ln 2$. Действително, степенният ред $\sum\limits_{k\geq 1}(-1)^k\frac{z^k}{k}$ е абсолютно сходящ в $K(0,1)$ и е сходящ в точката $1$. Също така, за всяко $x\in(0,1)$ имаме $\ln(1+x)=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k\frac{x^k}{k}$. От непрекъснатостта на $\ln$ и теоремата на Абел получаваме $\ln 2=\lim\limits_{x\to 1}\ln(1+x)=\lim\limits_{x\to 1}\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k\frac{x^k}{k}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k}$. По аналогичен начин могат да се пресмятат сумите и на други редове.

Забележка. Aко сумата на един степенен ред е непрекъсната функция в гранична точка от кръга на сходимост, то не може да се твърди, че редът е сходящ в граничната точка. Например редът $\sum\limits_{k\geq 0}^{\infty}(-z)^k$ има сума $(1+z)^{-1}$, която е непрекъсната в точката 1, но редът не е сходящ в тази точка).

назад