Геометрия в равнината $\mathbb{C}$

В настоящия параграф ще припомним някои понятия от линейната алгебра.
Определение 1. Нека $V$ е векторно пространство над $\mathbb{R}$ (реално векторно пространство). Казваме, че изображението $B:V\times V\to \mathbb{R}$ е билинейна форма, ако $B(v+w,u)=B(v,u)+B(w,u)$, $B(\alpha v,w)=\alpha B(v,w)$, $B(v,w+u)=B(v,w)+B(v,u)$, $B(v,\alpha w)=\alpha B(v,w)$, за всички $v,w,u\in V$, $\alpha\in \mathbb{R}$. Билинейната форма $B$ се нарича симетрична (антисиметрична), ако $B(v,w)=B(w,v)$ ($B(v,w)=-B(w,v)$) за всички $v,w\in V$. Симетричната билинейна форма $B$ се нарича положително дефинитна, ако $B(v,v)\geq 0$, за всяко $v\in V$ и $B(v,v)=0$ тогава и само тогава, когато $v=0$. Всяка положително дефинитна симетрична билинейна форма $B:V\times V\to \mathbb{R}$ се нарича скаларно произведение върху $V$. Евклидово пространство се нарича реално векторно пространство, върху което е зададено скаларно произведение.

Забележка. Във всяко евклидово пространство може да се дефинира понятието дължина на вектор. По-точно, ако $V$ е евклидово пространство, със скаларно произведение $B$, дължина на вектора $v\in V$, се нарича числото $\sqrt{B(v,v)}$, което означаваме с $|v|$.
Например $\mathbb{R}^2$, е евклидово простраснтво, тъй като за всички $x=(x_1,x_2), y=(y_1,y_2)\in \mathbb{R}^2$, изображението $B(x,y)=x_1y_1+x_2y_2$ определя скаларно произведение (стандартно скаларно произведение) върху $\mathbb{R}^2$ и $|x|=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$ е дължината на вектора $x$.

Забележка. Проверява се, че множеството от всички билинейни форми върху $V$ е векторно пространство по отношение на операциите $$(B_1+B_2)(v,w)=B_1(v,w)+B_2(v,w),$$ $$(\lambda B)(v,w)=\lambda B(v,w).$$ Лесно се вижда, че ако $V$ е двумерно векторно пространство над $\mathbb{R}$ (т. е. равнина), то множеството $\mathcal A(V)$ от всички антисиметрични билинейни форми върху $V$ е едномерно векторно пространство (т. е. векторна права), което е подпространство на векторното пространство от всички билинейни форми върху $V$. Действително, ако $A,B\in \mathcal A(V)$ и $\alpha\in\mathbb{R}$, то $A+B\in\mathcal A(V)$ и $\alpha A\in \mathcal A(V)$ (Проверете!). Също така, ако $(e_1,e_2)$ е база на $V$, $x=x_1e_1+x_2e_2$, $y=y_1e_1+y_2e_2$, то $$A(x,y)=A(x_1e_1+x_2e_2,y_1e_1+y_2e_2)=(x_1y_2-x_2y_1)A(e_1,e_2),$$ което показва, че $A$ се определя от числото $A(e_1,e_2)\in\mathbb{R}$. Оттук виждаме, че ако $f:V\to V$ линейно изображение, т. е. $f(v+w)=f(v)+f(w)$ и $f(\alpha v)=\alpha f(v)$ за всички $v,w\in V$, $\alpha\in\mathbb{R}$, то за всяка анстисиметрична билинейна форма $A\in\mathcal{A}(V)$ изображението $B:V\times V\to\mathbb{R}$ дефинирано с $$B(v,w)=A(f(z),f(w))$$ е антисиметрично и следователно съществува единствено число $\lambda\in\mathbb{R}$, такова че $B=\lambda A$. Това число $\lambda$ не зависи от избора на $A$, тъй като ако $C\in \mathcal{A}(V)$ и $C\neq 0$, то съществува скалар $\mu\neq 0$, такъв че $C=\mu A$, при което $B(v,w)=C(f(v),f(w))=\mu A(f(v),f(w))=\mu\lambda A(v,w)=\lambda C(v,w)$. Числото $\lambda$ се нарича детерминанта на оператора $f$ и се означава с $\det f$. Така по определение $$A(f(v),f(w))=\det f.A(v,w)$$ за всички $A\in \mathcal{A}(V)$. Оттук непосредствено виждаме, че ако $g:V\to V$ е още едно линейно изображение, то за всички $A\in \mathcal{A}(V)$ от една страна имаме $$A(g(f(v)),g(f(w)))=\det g.A(f(v),g(w))=\det g\det f A(v,w),$$ а от друга страна $$A(g(f(v)),g(f(w)))=\det (g\circ f) A(v,w),$$ което показва че $\det(g\circ f)=\det g\det f$.

Определение 2. Нека $A$ е ненулева антисиметрична билинейна форма върху равнината $V$. Множествата $$\mathcal{A}^+=\{\alpha A\in\mathcal{A}(V)|\alpha>0\}$$ и $$\mathcal{A}^-=\{\alpha A\in\mathcal{A}(V)|\alpha<0\},$$ се наричат ориентации на $V$. Двойките $(V,\mathcal{A}^+)$ и $(V,\mathcal{A}^-)$ се наричат (противоположно) ориентирани равнини.
Забележка.
Ясно е, че $\mathcal{A}^-=-\mathcal{A}^+$ и $\mathcal{A}^+=-\mathcal{A}^-$, т. е. ориентациите на $V$ са двете противоположни векторни полуправи (лъчи) на векторната права $\mathcal A(V)$.

Определение 3. Нека $(V,\mathcal{A})$ е ориентирана равнина, $A\in\mathcal{A}$ и $v,w\in V$ са линейно независими вектори. Казваме, че двойката $(v,w)$ е положителна (положително ориентирана) в $(V,\mathcal{A})$, ако $A(v,w)>0$. Ако $A(v,w)<0$, казваме, че двойката $(v,w)$ е отрицателна (отрицателно ориентирана) в $(V,\mathcal{A})$.
Забележка. Ясно е, че ако $(v,w)$ е положителна двойка в $(V,\mathcal{A})$, то $(w,v)$ е отрицателна в $(V,\mathcal{A})$ и обратно. Също така ако $(v,w)$ е положителна двойка в $(V,\mathcal{A})$, то тя е отрицателна в $(V,-\mathcal{A})$.

Определение 4. Казваме, че линейното изображение $f:V\to V$ запазва ориентацията на $V$, ако $A(f(v),f(w))>0$ за всяка положителна двойка $(v,w)$ в $(V,\mathcal{A})$ и $A\in \mathcal{A}$.

Твърдение 1.
Следните условия са еквивалентни:
1) $f$ запазва ориентацията на $V$,
2) ако $B(v,w)=A(f(v),f(w))$, то $B\in\mathcal{A}$,
3) $\det f>0$.
Доказателство. Упражнение върху Определения 3 и 4.

Определение 5. Нека $V$ е векторно пространство над $\mathbb{C}$. Казваме, че изображението $B:V\times V\to \mathbb{C}$ е ермитова форма, ако:
1) $B(v+w,u)=B(v,u)+B(w,u)$, $B(\alpha v,w)=\alpha B(v,w)$,
за всички $v,w,u\in V$, $\alpha\in \mathbb{C}$,
2) $B(w,v)=\overline{B(v,w)}$ за всички $v,w\in V$.
Ермитовата форма $B$ се нарича положително дефинитна, ако $B(v,v)\geq 0$ за всяко $v\in V$, като $B(v,v)=0$ тогава и само тогава, когато $v=0$. Всяка положително дефинитна ермитова форма форма $B:V\times V\to \mathbb{R}$ се нарича унитарно скаларно произведение върху $V$. Унитарно пространство се нарича комплексно векторно пространство, върху което е зададено унитарно скаларно произведение.

Забележка. Пространството $\mathbb{C}$ е унитарно пространство, тъй като за всички $z,w\in \mathbb{C}$, изображението $$B(z,w)=z\overline{w}$$ определя унитарно скаларно произведение (което също се нарича стандартно). Като комплексно векторно пространство $\mathbb{C}$ е едномерно, тъй като всяко ненулево комплексно число задава негова база (т. е. $\mathbb{C}$ е комплексна права), но същевременно то е двумерно реално векторно пространство, тъй като по самото си определение $\mathbb{C}$ е двумерното реално векторно пространство $\mathbb{R}^2$ (т. е. $\mathbb{C}$ е реална равнина). От друга страна, унитарното скаларно произведение в $\mathbb{C}$ съдържа в себе си стандартното скаларно произведение в $\mathbb{R}^2$, както и антисиметрична билинейна форма, която задава ориентация в $\mathbb{R}^2$ ($\mathbb{C}$). Действително, за всички $z,w\in\mathbb{C}$ имаме $$z\overline{w}=\Re(z\overline{w})+i\Im(z\overline{w})$$ и непосредствено се вижда, че $$(z,w)\mapsto\Re(z\overline{w})$$ е положително дефинитна симетрична билинейна форма върху $\mathbb{C}$ (разглеждано като реална равнина), която съвпада със стандартното скаларно произведение в $\mathbb{R}^2$, a $$(z,w)\mapsto\Im(z\overline{w})$$ е антисиметрична билинейна форма върху $\mathbb{C}$, която следователно определя ориентация в $\mathbb{C}$.

Холоморфни функции и конформни изображения

В настоящия параграф ще видим какви геометрични свойства имат комплексно диференцируемите функции, ако те се интерпретират, като изображения в реалната равнина $\mathbb{R}^2$, т. е. в $\mathbb{C}$, разглеждано като векторно постранство над $\mathbb{R}$.

Определение 6. Нека $D\subset\mathbb{C}$ и $a\in D$ е вътрешна точка. Казваме, че изображението $f:D\to\mathbb{C}$ е конформно в точката $a$, ако $f$ е $\mathbb{R}$-диференцируемо в точката $a$ и $df_a$ e ненулево линейно подобие в $\mathbb{C}$, т. е. съществува реално число $\lambda>0$, такова че за всяко $h\in \mathbb{C}$ е изпълнено $$|df_a(h)|=\lambda|h|.$$ Казваме, че $f$ е конформно в $D$, ако $f$ е конформно във всяка точка на $D$.

Забележка. От Определение 6 виждаме, че ако $\det(df_a)=0$, то $f$ не може да бъде конформно в точката $a$, тъй като всяко ненулево линейно подобие е биективно и следователно има ненулева детерминанта.

Твърдение 2. Нека $D\subset\mathbb{C}$ и $a\in D$ е вътрешна точка. Следните условия са еквивалентни:
а) Функцията $f:D\to\mathbb{C}$ е $\mathbb{C}$-диференцируема в точката $a\in D$ и $f'(a)\neq 0$,
б) Функцията $f:D\to\mathbb{C}$ e конформно изображение в точката $a\in D$ и $df_a$ запазва ориентацията на $\mathbb{C}$.
Доказателство. Нека е изпълнено a), т. е. $f$ е $\mathbb{C}$-диференцируема в точката $a$ и $f'(a)\neq 0$. Тогава $f’_x(a)+if’_y(a)=0$, откъдето $$df_a(h)=f’_x(a)\Re h+f’_y(a)\Im h=f’_x(a)\Re h+if’_x(a)\Im h=f’_x(a)(\Re h+i\Im h)=f’_x(a)h=f'(a)h$$ и $$|df_a(h)|=|f'(a)h|=|f'(a)||h|.$$ Следователно $df_a$ е ненулево линейно подобие. За да пресметнем $\det(df(a))$, избираме ненулева антисиметрична билинейна форма $A\in\mathcal{A}(\mathbb{C})$, например $A(z,w)=\Im(z\overline{w})$. Тогава за всички $h,k\in\mathbb{C}$ имаме
$$A(df_a(h),df_a(k))=\Im[f'(a)h\overline{f'(a)k}]=\Im[|f'(a)|^2h\overline{k}]=|f'(a)|^2A(h,k),$$ т. е. $\det(df_a)=|f'(a)|^2>0$, което показва, че $df_a$ запазва ориентацията на $\mathbb{C}$. Следователно е изпълнено б).
Нека е изпълнено б), т. е. $f:D\to\mathbb{C}$ e конформно изображение в точката $a\in D$ и $df_a$ запазва ориентацията на $\mathbb{C}$. Тогава $f$ е $\mathbb{R}$-диференцируема в точката $a$, съществува $\lambda>0$, такова че $|df_a(h)|=\lambda|h|$ за всяко $h\in\mathbb{C}$ и $\det(df_a)>0$. Имаме $$|df_a(h)|^2=|f’_x(a)\Re h+f’_y(a)\Im h|^2=(f’_x(a)\Re h+f’_y(a)\Im h)\overline{(f’_x(a)\Re h+f’_y(a)\Im h)}=$$$$=|f’_x(a)|^2\Re h^2+f’_x(a)\overline{f’_y(a)}\Re h\Im h+f’_y(a)\overline{f’_x(a)}\Re h\Im h+|f’_y(a)|^2\Im h^2=$$$$=|f’_x(a)|^2\Re h^2+2\Re(f’_x(a)\overline{f’_y(a)})\Re h\Im h+|f’_y(a)|^2\Im h^2=\lambda^2\Re h^2+\lambda^2\Im h^2.$$ Следователно $|f’_x(a)|^2=\lambda^2$, $|f’_y(a)|^2=\lambda^2$ и $2\Re(f’_x(a)\overline{f’_y(a)})=0$. От друга страна $|\frac{1}{\lambda}df_a(h)|=|h|$, което показва, че $\frac{1}{\lambda}df_a$ е ортогонален оператор. Следователно $\det\left(\frac{1}{\lambda}df_a\right)=1$, тъй като $\lambda>0$ и $\det(df_a)>0$. Тогава $\det(df_a)=\lambda^2$. От друга страна $\det(df_a)$ можем да пресметем, както в а). Имаме
$$A(df_a(h),df_a(k))=\Im[(f’_x(a)\Re h+f’_y(a)\Im h)\overline{(f’_x(a)\Re k+f’_y(a)\Im k)}]=$$$$=\Im[|f_x'(a)|^2\Re h\Re k+f’_x(a)\overline{f’_y(a)}\Re h\Im k+f’_y(a)\overline{f’_x(a)}\Im h\Re k+|f_y'(a)|^2\Im h\Im k]=$$$$=\Im[f’_x(a)\overline{f’_y(a)}]\Re h\Im k+\Im[f’_y(a)\overline{f’_x(a)}]\Im h\Re k=$$$$=-\Im[f’_y(a)\overline{f’_x(a)}]\Re h\Im k+\Im[f’_y(a)\overline{f’_x(a)}]\Im h\Re k=$$$$=\Im[f’_y(a)\overline{f’_x(a)}](\Im h\Re k-\Re h\Im k)=\Im[f’_y(a)\overline{f’_x(a)}]\Im(h\overline{k})=\Im[f’_y(a)\overline{f’_x(a)}]A(h,k),$$ което показва, че $\det(df_a)=\Im[f’_y(a)\overline{f’_x(a)}]=\lambda^2$. Тогава $$\left|f’_x(a)+if’_y(a)\right|^2=|f’_x(a)|^2-if’_x(a)\overline{f’_y(a)}+if’_y(a)\overline{f’_x(a)}+|f’_y(a)|^2=$$
$$=|f’_x(a)|^2+i[f’_y(a)\overline{f’_x(a)}-f’_x(a)\overline{f’_y(a)}]+|f’_y(a)|^2=|f’_x(a)|^2-2\frac{[f’_y(a)\overline{f’_x(a)}-\overline{f’_y(a)\overline{f’_x(a)}}]}{2i}+|f’_y(a)|^2=$$
$$=|f’_x(a)|^2-2\Im[f’_y(a)\overline{f’_x(a)}]+|f’_y(a)|^2=\lambda^2-2\lambda^2+\lambda^2=0.$$ Следователно $f’_x(a)+if’_y(a)=0$, т. е. $f$ е $\mathbb{C}$-диференцируема в точката $a$. От $f'(a)=f’_x(a)$ и $|f’_x(a)|=\lambda>0$ виждаме, че $f'(a)\neq 0$, т. е. изпълнено е а).

От Твърдение 2 получаваме следното слествие

Твърдение 3.
1) Функцията $f$, дефинирана в отворено множество $U\subset\mathbb{C}$ е холоморфна в $U$ и $f'(z)\neq 0$ за всяко $z\in U$, тогава и само тогава, когато $f$ е конформно изображение в $U$, и във всяка точка на $U$ $df$ запазва ориентацията на $\mathbb{C}$, .
2) Ако $f$ е холоморфна в отворено множество $U\subset\mathbb{C}$, то $f$ запазва ориентираните ъгли между гладките криви, във всяка точка $a\in U$, за която $f'(a)\neq 0$.
Доказателство. Достатъчно е да забележим, че $df_a$ запазва унитарното скаларно произведение, на нормираните допирателни вектори към кривите в точката $a$.

Упражнение 1. Проверете, че изображението $z\mapsto \overline{z}$ е конформно във всяка точка $a\in\mathbb{C}$, и $d\overline{z}_a$ не запазва ориентацията на $\mathbb{C}$.
Упражнение 2. Обяснете защо изображението $z\mapsto \overline{z}$ е конформно в $\mathbb{C}$, но не е $\mathbb{C}$-диференицруема функция в нито една точка от $\mathbb{C}$?
Упражнение 3. Конформно изображение ли е функцията $z\mapsto z^2$ в точката $0$ и защо?
Упражнение 4. Нека $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ се задава с $f(z)=z^n$ където $n\in\mathbb{N}$. Намерете образа на
а) отсечката с начало $0$ и край точката $r\exp(i\theta)$,
б) ъгловия сектор $D=\{z\in\mathbb{C}|0\leq \text{Arg }z\leq \theta\}$, където $\theta\in\mathbb{R}$. За кои стойности на $\theta$ функцията $f$ е инективна върху $D$?
Упражнение 5. Нека $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ се задава с $f(z)=\exp z$. Намерете образа на
а) произволна права, паралелна на имагинерната ос,
б) произволна права, паралелна на реалната ос.
В кои точки от $\mathbb{C}$ функцията $f$ е инективна?
Упражнение 6. Нека $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ се задава с $f(z)=\cos z$. Намерете образите на всички прави, паралелни на реалната и имагинерната ос. В кои точки функцията е конформно изображение?

назад