Комплексни числа
Определение 1. Комплексно число се нарича всяка наредена двойка от реални числа, т. е. всеки елемент на $\mathbb{R}^2=\{(x,y)|x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\}$. Множеството от всички комплексни числа се означава с $\mathbb{C}$. Сума и произведение на две комплексни числа $(a,b)$ и $(c,d)$ се дефинират с формулите $(a,b)+(b,d)=(a+c,b+d)$ и $(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd, ad+bc)$, съответно. Операцията, при която на всяка наредена двойка комплексни числа се съпостява тяхната сума се нарича събиране на комплексни числа, а операцията, при която на всяка наредена двойка комплексни числа се съпостява тяхното произведение се нарича умножение на комплексни числа.
Твърдение 1. Множеството $\mathbb{C}$ е поле по отношение на операциите събиране и умножение на комплексни числа.
Доказателство. Директна проверка показва, че от определението на операциите събиране и умножение в $\mathbb{C}$ и фактът, че $\mathbb{R}$ е поле, следват следните свойства:
1) За всички $z,w,u\in\mathbb{C}$ е вярно $(z+w)+u=z+(w+u)$.
2) За всички $z,w\in\mathbb{C}$ е вярно $z+w=w+z$.
3) Съществува $\nu\in\mathbb{C}$, а именно $\nu=(0,0)$, така че за всяко $z\in\mathbb{C}$ е вярно $z+\nu=z$. Елементът $\nu$ се нарича неутрален относно операцията събиране на комплексни числа.
4) За всяко $z\in\mathbb{C}$ съществува $w\in\mathbb{C}$, така че $z+w=\nu$. Елеменът $w$ с последното свойство се нарича противоположен на $z$ и се означава с $-z$. При това, ако $z=(a,b)$, то $-z=(-a,-b)$.
5) За всички $z,w,u\in\mathbb{C}$ е вярно $(z\cdot w)\cdot u=z\cdot(w\cdot u)$.
6) За всички $z,w\in\mathbb{C}$ е вярно $z\cdot w=w\cdot z$.
7) Съществува $\mu\in\mathbb{C}$, а именно $\mu=(1,0)$, така че за всяко $z\in\mathbb{C}$ е вярно $z\cdot\mu=z$. Елементът $\mu$ се нарича неутрален относно операцията умножение на комплексни числа.
8) За всяко $z\in\mathbb{C}$ и $z\neq \nu$, съществува $w\in\mathbb{C}$, така че $z\cdot w=\mu$. Елементът $w$ се нарича реципрочен на $z$ и се означава с $z^{-1}$ или $\frac{1}{z}$. При това, ако $z=(a,b)$, то $w=\left(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}\right)$.
9) За всички $z,w,u\in\mathbb{C}$ е вярно $z\cdot(w+u)=z\cdot w+z\cdot u$.
Действително
1) Ако $z=(a,b)$, $w=(c,d)$, $u=(p,q)$, то $(z+w)+u=((a,b)+(c,d))+(p,q)=(a+c,b+d)+(p,q)=(a+c+p,b+d+q)=(a,b)+(c+p,d+q)=(a,b)+((c,d)+(p,q))=z+(w+u)$.
2) Ако $z=(a,b)$, $w=(c,d)$, то $z+w=(a+c,b+d)=(c+a,d+a)=w+z$.
3) Нека $z=(a,b)$. Търсим $\nu=(x,y)$, така че $z+\nu=z$, т. е. $(a+x,b+y)=(a,b)$. Оттук $a+x=a$ и $b+y=b$. Следователно $x=y=0$, т. е. $\nu=(0,0)$.
4) Нека $z=(a,b)$. Търсим $w=(x,y)$, така че $z+w=\nu$, т. е. $(a+x,b+y)=(0,0)$. Оттук $a+x=0$ и $b+y=0$. Следователно $x=-a$ и $y=-b$, откъдето $-z=(-a,-b)$.
5) Ако $z=(a,b)$, $w=(c,d)$, $u=(p,q)$, то $$z\cdot(w\cdot u)=(a,b)\cdot(cp-dq,cq+dp)=(a(cp-dq)-b(cq+dp),a(cq+dp)+b(cp-dq))=$$$$=(acp-adq-bcq-bdp,acq+adp+bcp-bdq).$$ От друга страна $$(z\cdot w)\cdot u=(ac-bd, ad+bc)\cdot(p,q)=((ac-bd)p-(ad+bc)q,(ac-bd)q+(ad+bc)p)=$$$$=(acp-bdp-adq-bcq,acq-bdq+adp+bcp).$$
6) Ако $z=(a,b)$ и $w=(c,d)$, то $z\cdot w=(ac-bd, ad+bc)=(ca-db,cb+da)=w\cdot z$.
7) Нека $z=(a,b)$. Търсим $\mu=(x,y)$, така че $\mu \cdot z=z$, т. е. $(xa-yb,xb+ya)=(a,b)$. Оттук $ax-yb=a$ и $xb+ya=b$. Получените съотношения са изпълнени за всички $a,b\in\mathbb{R}$ тогава и само тогава, когато $x=1$ и $y=0$, т. е. $\mu=(1,0)$.
8) Нека $z=(a,b)\neq (0,0)=\nu$. Търсим $w=(x,y)$, така че $z\cdot w=\mu$, т. е. $(ax-by,ay+bx)=(1,0)$. Оттук $ax-by=1$ и $ay+bx=0$. Ако $a\neq 0$, то $y=\frac{-b}{a}x$ и следователно $\left(a-b\frac{-b}{a}\right)x=1$, откъдето $\frac{a^2+b^2}{a}x=1$ т. е. $x=\frac{a}{a^2+b^2}$ и $y=\frac{-b}{a}\frac{a}{a^2+b^2}=\frac{-b}{a^2+b^2}$. До същия резултат достигаме, при условие че $b\neq 0$. Следователно $z^{-1}=\left(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}\right)$.
9) Ако $z=(a,b)$, $w=(c,d)$, $u=(p,q)$, то $$z\cdot(w+u)=(a,b)\cdot(c+p,d+q)=(a(c+p)-b(d+q),a(d+q)+b(c+p))=$$$$=(ac+ap-bd-bq,ad+aq+bc+bp)=(ac-bd,ad+bc)+(ap-bq,aq+bp)=z\cdot w+z\cdot u.$$
Твърдение 2. Нека изображението $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ се дефинира с $\varphi(a)=(a,0)$. Тогава $\varphi$ е инективен хомоморфизъм на полета, т. е. $\varphi$ е инективно изображение, за което $\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b)$ и $\varphi(ab)=\varphi(a)\cdot\varphi(b)$ за всички $a,b\in\mathbb{R}$.
Доказателство. От определението на операциите събиране и умножение на комплексни числа имаме
$$\varphi(a+b)=(a+b,0)=(a,0)+(b,0)=\varphi(a)+\varphi(b),$$ $$\varphi(a)\cdot\varphi(b)=(a,0)\cdot(b,0)=(a.b-0.0,a.0+0.b)=(ab,0)=\varphi(ab).$$ Ако $\varphi(a)=\varphi(b)$, то $(a,0)=(b,0)$, откъдето $a=b$, т. е. $\varphi$ е инективно изображение.
Определение 2. Изображението $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$, дефинирано с $\varphi(a)=(a,0)$ се нарича влагане на $\mathbb{R}$ в $\mathbb{C}$.
Забележка. От Твърдение 2 виждаме, че $\varphi(\mathbb{R})\subset\mathbb{C}$ е подполе, изоморфно на $\mathbb{R}$. Следователно всяко реално число може да се разглежда като комплексно, взимайки образа му при влагането на $\mathbb{R}$ в $\mathbb{C}$.
Определение 3. Комплексното число $(a,-b)$ се нарича комплексно спрегнато на $(a,b)$ и се означава с $\overline{(a,b)}$. Операцията, при която на всяко комплексно число се съпоставя неговото комплексно спрегнато се нарича комплексно спрягане.
Твърдение 3. Нека $\varphi$ е влагането на $\mathbb{R}$ в $\mathbb{C}$. Тогава за всяко $(a,b)\in\mathbb{C}$, съотношенията $(a,b)\in\varphi(\mathbb{R})$ и $\overline{(a,b)}=(a,b)$ са еквивалентни.
Доказателство. Нека $(a,b)\in\varphi(\mathbb{R})$. Тогава $b=0$, откъдето $\overline{(a,b)}=\overline{(a,0)}=(a,-0)=(a,0)=(a,b)$. Ако $\overline{(a,b)}=(a,b)$, то $(a,-b)=(a,b)$, откъдето $-b=b$, т. е. $b=0$. Следователно $(a,b)=(a,0)\in\varphi(\mathbb{R})$.
Твърдение 4. За всички $a,b\in\mathbb{R}$ е вярно $(a,b)=(a,0)+(0,1)\cdot(b,0)$ и $(0,1)^2=(-1,0)$.
Доказателство. От определението на операциите събиране и умножение на комплексни числа имаме
$$(0,1)\cdot(b,0)=(0.b-1.0,0.0+1.b)=(0,b),$$ $$(a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(0,1)\cdot(b,0),$$
$$(0,1)^2=(0,1)\cdot(0,1)=(0.0-1.1,0.1+1.0)=(-1,0).$$
Забележка. От Твърдение 4 виждаме, че в полето $\mathbb{C}$ съществува елемент, а именно $(0,1)$, чийто квадрат е $-\mu=\varphi(-1)$, т. е. елементът в $\mathbb{C}$, който съответства на реалното число $-1$, при влагането $\varphi$ на $\mathbb{R}$ в $\mathbb{C}$. Също така за всяко комплексно число $(a,b)$ е в сила представянето $(a,b)=\varphi(a)+(0,1)\varphi(b)$ (алгебричен вид на $(a,b)$).
Определение 4. $i=(0,1)$, $a+ib=\varphi(a)+i\varphi(b)$, където $\varphi$ е влагането на $\mathbb{R}$ в $\mathbb{C}$. Числото $i$ се нарича имагинерна единица, а числата $a$ и $b$ – реална и имагинерна част на $(a,b)$. Числата от вида $(a,0)$ и $(0,a)$, където $a\in\mathbb{R}$, се наричат съответно реални и чисто имагинерни, и се записват съответно, като $a$ и $ia$, вместо $a+i0$ и $0+ia$. Реалната и имагинерната част на числото $z\in\mathbb{C}$ се означават с $\Re z$ и $\Im z$, съответно.
Забележка. От горното определение и от Твърдение 4 виждаме, че за всяко $z\in\mathbb{C}$ имаме $z=\Re z+i\Im z$. Също така $\nu=0$, $\mu=1$ и $i^2=-1$. Прилагайки неколкократно Твърдение 1 може да се види, че пресмятането на сумата и произведението на две комплексни числа може да се извършва, чрез обичайните действия с реални числа и замяна на символа $i^2$ с $-1$.
Забележка. От Oпределения 1, 4 и Твърдение 1 виждаме, че за разлика от полето $\mathbb{R}$, в полето $\mathbb{C}$ уравнението $z^2=-1$ има решение, и това позволява да се коренуват отрицателни числа. Действително уравнението $z^2=-1$ е еквивалентно на $z^2=i^2$, т. е. $(z-i)(z+i)=0$, така че корените му са $i$ и $-i$. Оказва се, че в полето на комплексните числа всяко полиномиално уравнение има решение и това е съдържанието на основната теорема на алгебрата, която се доказва в този курс.
Забележка. Макар, че в полето $\mathbb{C}$ е възможно коренуването на отрицателни числа, то не е наредено поле, т. е. не можем да пишем неравенства между комплексни числа. По-точно не е възможно да се въведе наредба в $\mathbb{C}$, която да бъде съгласувана с операциите събиране и умножение на комплексни числа. За да се убедим в това е достатъчно да забележим, че в наредено поле квадратът на всеки елемент е неотрицателен (докажете). Действително, ако допуснем че в $\mathbb{C}$ има наредба $<$, съгласувана с операциите събиране и умножение на комплексни числа, то $0<1$, и тъй като $i\neq 0$, имаме две възможности $0<i$ или $0<-i$. В първия случай имаме $0.i<i^2$, т. е. $0<-1$, което е противоречие, а във втория случай $0.(-i)<(-i)^2$, т. е. $0<-1$, което отново е противоречие.
Определение 5. Модул на комплексното число $(a,b)$ наричаме, реалното неотрицателно число $\sqrt{a^2+b^2}$, което означаваме с $|(a,b)|$.
Забележка. От определението на $\mathbb{C}$ (вж. Определение 1) виждаме, че $\mathbb{C}$ е векторно пространство над $\mathbb{R}$ (тъй като $\mathbb{R}^2$ е такова) и операцията събиране на комплексни числа, съвпада с операцията събиране на вектори от $\mathbb{R}^2$. Лесно се проверява, че произведението на вектора $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ с числото $\lambda\in\mathbb{R}$, т. е. $(\lambda a,\lambda b)$, съвпада с произведението на комплексни числа $\varphi(\lambda)\cdot(a,b)$, където $\varphi$ е влагането на $\mathbb{R}$ в $\mathbb{C}$. Очевидно $|(a,b)|$ съвпада с евклидовата норма на вектора $(a,b)\in\mathbb{R}^2$.
Предвид горните забележки и определения, свързани с начина на записване, можем да установим установим следните свойства, които ще прилагаме постоянно.
Твърдение 5. В сила са следните свойства
1) $\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$ и $\overline{zw}=\overline{z}\cdot\overline{w}$, за всички $z,w\in\mathbb{C}$,
2) $\overline{\overline{z}}=z$, $\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}$, $\overline{\left(\frac{z}{w}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{w}}$, за всички $z\in\mathbb{C}$ и $w\in\mathbb{C}\setminus{0}$,
3) $|\overline{z}|=|z|$, $|z|=\sqrt{z\overline{z}}$, за всяко $z\in\mathbb{C}$,
4) $|zw|=|z||w|$, за всички $z,w\in\mathbb{C}$,
5) $|z^{-1}|=|z|^{-1}$ за всяко $z\in\mathbb{C}\setminus{0}$, $|\frac{z}{w}|=\frac{|z|}{|w|}$ и $\frac{z}{w}=\frac{z\overline{w}}{|z|^2}$, за всички $z\in\mathbb{C}$ и $w\in\mathbb{C}\setminus{0}$,
6) $\Re z=\frac{z+\overline{z}}{2}$ и $\Im z=\frac{z-\overline{z}}{2i}$, за всички $z\in\mathbb{C}$.
7) $|z+w|^2=|z|^2+2\Re (z\overline{w})+|w|^2$, за всички $z,w\in\mathbb{C}$,
8) $\Re z\leq|z|$, $\Im z\leq |z|$ и $|z+w|\leq|z|+|w|$, за всички $z,w\in\mathbb{C}$.
Доказателство.
1) Нека $z=a+ib$, $w=c+id$. Тогава $$\overline{z+w}=\overline{a+c+i(b+d)}=a+c-i(b+d)=a-ib+c-id=\overline{z}+\overline{w}$$ и $$\overline{zw}=\overline{(a+ib)(c+id)}=\overline{ac-bd+i(ad+bc)}=(a-ib)(c-id)=\overline{z}\cdot\overline{w}.$$
2) $$\overline{\overline{z}}=\overline{a-ib}=(a-i(-b))=a+ib=z,$$ $$\overline{z^{-1}}=\overline{\frac{a}{a^2+b^2}+i\frac{-b}{a^2+b^2}}=\frac{a}{a^2+b^2}-i\frac{-b}{a^2+b^2}=\frac{a}{a^2+(-b)^2}+i\frac{-(-b)}{a^2+(-b)^2}=(a-ib)^{-1}=\overline{z}^{-1},$$ $$\overline{\left(\frac{z}{w}\right)}=\overline{zw^{-1}}=\overline{z}\overline{w^{-1}}=\overline{z}\cdot\overline{w}^{-1}=\frac{\overline{z}}{\overline{w}}.$$
3) $$|\overline{z}|=|a-ib|=\sqrt{a^2+(-b)^2}=\sqrt{a^2+b^2}=|a+ib|=|z|,$$\newline
$$z\overline{z}=(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2=|z|^2.$$
4) $$|z w|=\sqrt{zw\overline{z w}}=\sqrt{z\overline{z} w\overline{w}}=\sqrt{z\overline{z}w\overline{w}}=\sqrt{z\overline{z}}\sqrt{w\overline{w}}=|z||w|.$$
5) $$|z^{-1}|=\left|\frac{a}{a^2+b^2}+i\frac{-b}{a^2+b^2}\right|=\sqrt{\left(\frac{a}{a^2+b^2}\right)^2+\left(\frac{-b}{a^2+b^2}\right)^2}=$$$$=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{(a^2+b^2)^2}}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}=|a+ib|^{-1}=|z|^{-1},$$ $$\left|\frac{z}{w}\right|=|zw^{-1}|=|z||w^{-1}|=|z||w|^{-1}=\frac{|z|}{|w|},$$
$$\frac{z}{w}=\frac{z\overline{w}}{w\overline{w}}=\frac{z\overline{w}}{|w|^2}.$$
6) От $z=\Re z+i\Im z$ и $\overline{z}=\Re z-i\Im z$ имаме $z+\overline{z}=2\Re z$, $z-\overline{z}=2i\Im z$, т. е. $\Re z=\frac{z+\overline{z}}{2}$ и $\Im z=\frac{z-\overline{z}}{2i}$.
7) $$|z+w|^2=(z+w)\overline{(z+w)}=(z+w)(\overline{z}+\overline{w})=z\overline{z}+z\overline{w}+w\overline{z}+w\overline{w}=$$$$=|z|^2+z\overline{w}+\overline{z\overline{w}}+|w|^2=|z|^2+2\Re (z\overline{w})+|w|^2.$$
8) $\Re z\leq|\Re z|=\sqrt{(\Re z)^2}\leq\sqrt{(\Re z)^2+(\Im z)^2}=|z|$. Аналогично $\Im z\leq |z|$.
$$|z+w|^2=|z|^2+2\Re(z\overline{w})+|w|^2\leq |z|^2+2|z\overline{w}|+|w|^2=|z|^2+2|z||w|+|w|^2=(|z|+|w|)^2,$$ откъдето $|z+w|\leq|z|+|w|$.
Упражнение. Покажете, че множеството ${z\in\mathbb{C}||z|=1}$ е група по отношение на умножението на комплексни числа.