Изображения

На интуитивно ниво понятието функция в математиката означава правило, по което на всеки елемент от дадено множество се съпоставя точно един елемент на друго множество. В настоящия параграф ще прецизираме това понятие и ще разгледаме основните му свойства.

Релацията $F$ се нарича изображение (функция, съответствие), ако притежава следното свойство: за всички $a,b,c$, ако $aFb$ и $aFc$, то $b=c$. С други думи, една релация $F$ е изображение, ако за всяко $a$ съществува единствено $b$, такова че $aFb$. Елементът $b$ се нарича стойност на изображението $F$ в $a$ и се означава с $F(a)$. Ако $F$ е изображение, $\text{dom }F=A$ и $\text{ran }F\subset B$, пишем $F:A\to B$ или $(F(a)\in B|a\in A)$ и казваме, че $F$ е изображение с дефиниционно множество $A$, което приема стойности в $B$. Да отбележим, че тъй като изображенията по определение са релации, то всички понятия свързани с релациите, като дефиниционно множество, множество от стойности образ и прообраз на множество, композиция и т. н. се отнасят и за изображенията. Например множеството от стойности $\text{ran }F$ на $F$ е множеството $\{b\in B|$ съществува $a\in A$ за което $F(a)=b\}$, което съвпада с $F(A)$.

Пример 3.1. Релацията $F=\{(\emptyset,
\emptyset), (\emptyset,\{\emptyset\})\}$ не е изображение, тъй като $(\emptyset,
\emptyset)\in F$, $(\emptyset,\{\emptyset\})\in F$, но $\emptyset\neq\{\emptyset\}$.

Пример 3.2. За произволно $A\neq\emptyset$, релацията $F=\{(x,\emptyset)|x\in A\}$ e изображение, за което $\text{dom } F=A$, $\text{ran }F=\{\emptyset\}$ и $F(x)=\emptyset$, за всяко $x\in A$.

Нека $F$ е функция и $A$, $B$ са множества. Казваме, че функцията $F$
а) е дефинирана върху $A$, ако $\text{dom }F=A$,
б) приема стойности в $B$, ако $\text{ran }F\subset B$,
в) приема стойности върху $B$, ако $\text{ran }F=B$, (т. е. всеки елемент на $B$ има прообраз в $A$). В този случай се казва също, че $F$ е сюрективно изображение (сюрекция),
г) е инективно (инекция), ако за всички $a, b\in A$, от $a\neq b$, следва $F(a)\neq F(b)$, (т. е. образите на различните елементи са различни).

Твърдение 3.1. Ако $F$ и $G$ са изображения, то $F=G$ точно, когато $\text{dom }F=\text{dom } G$ и $F(x)=G(x)$ за всяко $x\in\text{dom }F$.
Доказателство. Нека $F=G$, тогава $F\subset G$ и $G\subset F$. От $F\subset G$ имаме, че за всяко $x\in \text{dom }F$ е вярно $(x,F(x))\in G$, т. е. $x\in\text{dom }G$. Следователно $\text{dom }F\subset \text{dom }G$. Аналогично, от $G\subset F$ получаваме, че $\text{dom }G\subset \text{dom }F$. Следователно $\text{dom }F=\text{dom }G$. От друга страна за всяко $x\in\text{dom }F$ имаме $(x,F(x))\in F=G$ и $(x,G(x))\in G$, откъдето $F(x)=G(x)$, тъй като $G$ е изображение. Обратно, нека $x\in F$. Тогава съществува $y\in\text{dom }F=\text{dom }G$, за което $x=(y,F(y))=(y,G(y))\in G$. Следователно $F\subset G$. Аналогично $G\subset F$.

Казваме, че изображението $F$ е обратимо, ако релацията $F^{-1}$ е изображение. За произволно множество $A$ изображението $\text{id}_A=\{(x,x)|x\in A\}$ се нарича идентитет на $A$.

Твърдение 3.2. Изображението $F$ е обратимо точно, когато е инективно.
Доказателство. По определние $F^{-1}$ е изображение, точно когато от $(x,y)\in F^{-1}$ и $(x,z)\in F^{-1}$ следва $y=z$. От друга страна $(x,y)\in F^{-1}$ и $(x,z)\in F^{-1}$, точно когато $(y,x)\in F$ и $(z,x)\in F$, т. е. $x=F(y)=F(z)$. Следователно $F^{-1}$ е изображение, точно когато от $F(y)=F(z)$ следва $y=z$, т. е. точно когато $F$ е инективно.

Твърдение 3.3. \label{identM} Нека $F$ е обратимо изображение. Тогава
a) $F^{-1}$ е обратимо изображение и $(F^{-1})^{-1}=F$.
б) $F^{-1}\circ F=\text{id}_{\text{dom }F}$ и $F\circ F^{-1}=\text{id}_{\text{ran }F}$
Доказателство. a) Съгласно Твърдение invprop, $F^{-1}$ е обратимо, точно когато е инективно. Нека $F^{-1}(x)=F^{-1}(y)=z$. Тогава $(x,z)\in F^{-1}$ и $(y,z)\in F^{-1}$, т. е. $(z,x)\in F$ и $(z,y)\in F$. Тъй като $F$ e изображение, имаме $x=y$. Следователно $F^{-1}$ е инективно. По определние $(x,y)\in (F^{-1})^{-1}$, точно когато $(y,x)\in F^{-1}$, а последното е изпълнено точно, когато $(x,y)\in F$. Следователно $(F^{-1})^{-1}=F$.
б) Имаме, че $(x,y)\in F^{-1}\circ F$, точно когато съществува $z\in\text{ran }F=\text{dom }F^{-1}$, за което $(x,z)\in F$ и $(z,y)\in F^{-1}$, т. е. $(x,z)\in F$ и $(y,z)\in F$. Тъй като $F$ е инективно имаме $x=y$. Следователно $F^{-1}\circ F= \text{id}_{\text{dom }F}$. Аналогично $F\circ F^{-1}= \text{id }_{\text{ran }F}$.

Нека $F$ е функция и $A\subset \text{dom }F$. Функцията $\{(x,y)\in F|x\in A\}$ се нарича рестрикция на $F$ до $A$ и се означава с $F|_A$. Ако $F$ и $G$ са функции и съществува множество $A$, такова че $G|_A=F$, казваме че $G$ е продължение на $F$. Очевидно $F$ е продължение на $F|_A$. Две функции $f$ и $g$ се наричат съгласувани, ако $f(x)=g(x)$, за всяко $x\in\text{dom }f\cap\text{dom }g$. Едно множество от функции се нарича съгласувана система от функции, ако всеки две функции от множеството са съгласувани.

Твърдение 3.4. \label{uninonfunc} Нека $F$ е съгласувана система от функции. Тогава $\cup F$ е функция и $\text{dom }(\cup F)=\cup\{\text{dom }f|f\in F\}$.
Доказателство. По определение $\text{dom }(\cup F)=\{x|$ съществуа $y$, за което $(x,y)\in\cup F\}$. Нека $x\in\text{dom }(\cup F)$. Тогава съществува $y$ за което $(x,y)\in\cup F$. От друга страна $(x,y)\in\cup F$, точно когато съществува $f\in F$, за което $(x,y)\in f$. Следователно $x\in\text{dom }f$, откъдето $\text{dom }(\cup F)\subset\cup\{\text{dom }f|f\in F\}$. Да докажем обратното включване. Нека $x\in\cup\{\text{dom }f|f\in F\}$. Тогава съществува $f\in F$ за което $x\in\text{dom }f$. Следователно съществува $y$, за което $(x,y)\in f$, откъдето $(x,y)\in\cup F$. Следователно $\cup\{\text{dom }f|f\in F\}\subset\text{dom }(\cup F)$ и равенството $\text{dom }(\cup F)=\cup\{\text{dom }f|f\in F\}$ следва от Аксиома 3) на sets. Да се убедим, че $\cup F$ е изображение. Нека $(x,y)\in\cup F$ и $(x,z)\in\cup F$. Тогава съществуват $f,g\in F$, за които $x\in\text{dom }f$, $x\in\text{dom }g$, $(x,y)\in f$, $(x,z)\in g$, откъдето $x\in \text{dom }f\cap\text{dom }g$, $y=f(x)$ и $z=g(x)$. Тъй като $F$ е съгласувана система от функции, $f$ и $g$ са съгласувани. Тогава $f(x)=g(x)$, откъдето $y=z$. Следователно релацията $\cup F$ е изображение.

Упражнения

3.1. Покажете, че $F$ е инективно изображение, тогава и само тогава когато за всяко $a\in \text{dom }F$ и всяко $b\in \text{dom }F$, от $F(a)=F(b)$ следва $a=b$.
3.2. Проверете, че за всяко изображение $F$, $\text{id}_{\text{ran }F}\circ F=F$ и $F\circ\text{id}_{\text{dom }F}=F$.
3.3. Покажете, че ако $F$ и $G$ са изображения, то релацията $F\circ G$ е е изображение и $\text{dom }(F\circ G)=\text{dom }G\cap G^{-1}(\text{dom }F)$.
При това $(F\circ G)(x)=F(G(x))$, за всяко $x\in\text{dom }(F\circ G)$.
3.4. Покажете, че $f$ е обратима функция тогава и само тогава, когато съществува функция $g$, такава че $\text{dom }g=\text{ran } f$ и $g\circ f=\text{id}_{\text{dom }f}$.
3.5. Покажете, че ако $f$ и $g$ са инективни функции, то $f\circ g$ е инективна (следователно обратима) и $(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$.
3.6. Докажете, че $f:A\to B$ е биекция, точно когато $f$ е обратима.
3.7. Нека $A$ и $B$ са множества и $f:A\to B$ е сюрективно изображение. Покажете, че
а) релацията $E=\{(x,y)|f(x)=f(y)\}$ е релация на еквивалентност
б) релацията $\varphi=\{(x,y)|$ съществува $a\in A$, такова че $x=[a]_E$ и $y=f(a)\}$
е сюрективно изображение $\varphi:A/E\to B$, такова че $\varphi([a]_E)=f(a)$.
в) релацията $p=\{(x,y)|x\in A$ и $y=[x]_E\}$ е сюрективно изображение $p:A\to A/E$, такова че $p(a)=[a]_E$ и $\varphi\circ p=f$. Фактът, че $\varphi\circ p=f$ може да се онагледи с диаграмата.

$\begin{tikzcd}[column sep=small]
A \arrow{r}{p} \arrow{rd}{f}
& A/E \arrow{d}{\varphi} \\
& B
\end{tikzcd}$
Изображението $p$ се нарича фактор изображение (канонично изображние, канонична проекция).
3.8. Нека $A$ е произволно множество. Докажете, че не съществува сюрективно изображение $f:A\to\mathcal{P}(A)$.

Теорема за рекурсията

Нека $A$ е множество, $a\in A$, $g:A\times\mathbb{N}\to A$ е функция и $n\in\mathbb{N}$. Казваме, че функцията $h:n\cup\{n\}\to A$ е итерация от ред $n$, с начало $a$ и база $g$, ако $h(\emptyset)=a$ и $h(k\cup\{k\})=g(h(k),k)$ за всяко $k<n$.

Твърдение 3.5. За всяко $n\in\mathbb{N}$ съществува итерация от ред $n$, с начало $a$ и база $g$.
Доказателство. Ще докажем твърдението по индукция. Ясно е, че функцията ${(\emptyset,a)}$ е итерация от ред $0$ (второто условие е изпълнено, тъй като не същестува естествено число $k<\emptyset$). Нека съществува итерация $\xi:m\cup\{m\}\to A$ от ред $m$, с начало $a$ и база $g$. Тогава $\xi(\emptyset)=a$ и $\xi(k\cup\{k\})=g(\xi(k),k)$ за всяко $k<m$. Нека $p=m\cup\{m\}$ и нека дефинираме $\eta:p\cup\{p\}\to A$, така че $\eta(k)=\xi(k)$, за всяко $k\leq m$ и $\eta(p)=\eta(m\cup\{m\})=g(\eta(m),m)$. Тогава $\eta$ е итерация от ред $p$. Наистина $\eta(\emptyset)=\xi(\emptyset)=a$, $\eta(k\cup\{k\})=\xi(k\cup\{k\})=g(\xi(k),k)=g(\eta(k),k)$, за всяко $k<m$, и $\eta(m\cup\{m\})=g(\eta(m),m)$. Следователно $\eta(\emptyset)=a$ и $\eta(k\cup\{k\})=g(\eta(k),k)$ за всяко $k<p$. От принципа за индукцията следва, че за всяко $n\in\mathbb{N}$ съществува итерация от ред $n$, с начало $a$ и база $g$.

Следващото твърдение се нарича теорема за рекурсията и представлява обобщение на горното твърдение за съществуване на итерации.

Твърдение 3.6. \label{recursia}
Нека $A$ е множество, $a\in A$ и $g:A\times\mathbb{N}\to A$ е функция. Тогава съществува единствена функция $f:\mathbb{N}\to A$, такава че $f(\emptyset)=a$ и $f(n\cup\{n\})=g(f(n),n)$, за всяко $n\in\mathbb{N}$.
Доказателство. Да отбележим, че ако $h$ e итерация от ред $n$, с начало $a$ и база $g$, то $h\subset\mathbb{N}\times A$. Нека $P(X)$ е свойството „съществува $n\in\mathbb{N}$, такова че $X$ e итерация от ред $n$, с начало $a$ и база $g$“ нека $\mathcal F=\{h\in\mathcal P(\mathbb{N}\times A)|P(h)\}$. Нека $f=\cup \mathcal F$. За да докажем, че $f$ е функция с $\text{dom }f=\mathbb{N}$ и $\text{ran }f\subset A$, първо ще проверим, че $\mathcal F$ е съгласувана система от функции (вж. Твърдение uninonfunc). Ако $\xi,\eta\in \mathcal F$, то съществуват $m,n\in\mathbb{N}$, такива че $\text{dom }\xi=m\cup\{m\}$, $\text{dom }\eta=n\cup\{n\}$, $\xi(\emptyset)=a$ и $\xi(k\cup\{k\})=g(\xi(k),k)$ за всяко $k<m$, $\eta(\emptyset)=a$ и $\eta(k\cup\{k\})=g(\eta(k),k)$, за всяко $k<n$. Трябва да покажем, че за всяко $k\in\text{dom }\xi\cap\text{dom }\eta$ имаме $\xi(k)=\eta(k)$, което ще направим по индукция. Можем да считаме, че $m\leq n$. Ако $m=n$, то $\text{dom}\xi=\text{dom }\eta$, а ако $m<n$, то $m\cup\{m\}\in n\cup\{n\}$ (вж. Твърдение nasled). Тъй като множеството $n\cup\{n\}\in\mathbb{N}$ е транзитивно (вж. Твърдение natnumistranz) имаме $\text{dom }\xi=m\cup\{m\}\subset n\cup\{n\}=\text{dom}\eta$. Тогава $\text{dom }\xi\cap\text{dom }\eta=\text{dom }\xi$ при $m\leq n$. Ясно е, че $\emptyset\in\text{dom }\xi$ и $\xi(\emptyset)=\eta(\emptyset)$. Ако $k\in\text{dom }\xi$ и $\xi(k)=\eta(k)$, то $\xi(k\cup\{k\})=g(\xi(k),k)=g(\eta(k),k)=\eta(k\cup\{k\})$. Следователно $\xi(k)=\eta(k)$, за всяко $k\leq m$, което показва, че $\xi$ и $\eta$ са съгласувани. Следователно $\text{dom }f=\cup\{\text{dom }h|h\in \mathcal F\}\subset\mathbb{N}$. Тъй като за всяко $n\in\mathbb{N}$ съществува $h\in \mathcal F$ с $\text{dom }h=n\cup\{n\}$ (Твърдение iteracii), имаме $n\in\text{dom }h$. Следователно $n\in \text{dom }f$, което показва, че $\mathbb{N}\subset\text{dom }f$. От аксиомата за идентичност получаваме $\text{dom } f=\mathbb{N}$.
За да установим, че $f$ удовлетворява $f(n\cup\{n\})=g(f(n),n)$ за всяко $n\in\mathbb{N}$, отново прилагаме Твърдение iteracii. Ясно е, че $f(\emptyset)=a$, тъй като $h(\emptyset)=a$ за всяко $h\in \mathcal F$. От друга страна, за всяко $n\in\mathbb{N}$ съществува итерация $h$ от ред $n\cup\{n\}$ с начало $a$ и база $g$ (Твърдение iteracii). Тогава $\text{dom } h=(n\cup\{n\})\cup\{n\cup\{n\}\}$ и следователно $n,n\cup\{n\}\in \text{dom }h$, $f(n)=h(n)$ и $f(n\cup\{n\})=h(n\cup\{n\})=g(h(n),n)=g(f(n),n)$.
За да покажем, че $f$ е единствената функция с посочените свойства, допускаме, че $\varphi$ е друга такава функция и проверяваме, че множеството $\{n\in\mathbb{N}|f(n)=\varphi(n)\}$ е индуктивно. Имаме $f(\emptyset)=a=\varphi(\emptyset)$ и ако $n\in\mathbb{N}$ и $f(n)=\varphi(n)$, то $f(n\cup\{n\})=g(f(n),n)=g(\varphi(n),n)=\varphi(n\cup\{n\})$. Следователно $f(n)=\varphi(n)$ за всяко $n\in\mathbb{N}$, откъдето $f=\varphi$.

Теоремата за рекурсията e основният инструмент за построяване на функции с дефиниционно множество $\mathbb{N}$. Дефинираните по този начин функции се наричат безкрайни рекурентни редици. Изобщо, редица се нарича всяка функция с дефиниционно множество $\mathbb{N}$ или някое естествено число $n\in\mathbb{N}$. Редица с дефиниционно множество $n$ се наричакрайна редица (редица с дължина $n$) и се означава с $(a_i|i<n)$ или $(a_i)_{i<n}$. Единствената редица с дължина $0$ е $\emptyset$ (празната редица). Редица с дефиниционно множество $\mathbb{N}$ се нарича безкрайна редица и се означава с $(a_i|i\in\mathbb{N})$, $(a_i|i=0,1,\ldots)$, $(a_i)_{i\in\mathbb{N}}$ или $(a_i)_{i=0}^{\infty}$.
Както ще видим, безкрайните рекурентни редици имат важно значение за установяването на много от интуитивните свойства на естествените числа.

Индексирани системи от множества

В настоящия параграф ще обобщим някои от свойсвата на множествата и функциите за системи от множества, които са “номерирани“ с елементите на друго множество.
Нека $S=(S(i)|i\in I)$ е функция с дефиниционно множество $I\neq\emptyset$.
Когато искаме да подчертаем, че стойностите на $S$ са множества, функцията $S$ наричаме индексирана система от множества.
Нека $A$ и $B$ са множества. Тогава съществува множеството $\{f|f:A\to B\},$ което се означава с $B^A$. Действително, за всяко изображение $f:A\to B$ имаме $f\subset A\times B$, което показва, че $B^A\subset \mathcal P(A\times B)$ (вж. Аксиоми 4) и 6) от sets). Нека $S$ е индексирана система от множества. Тогава съществува множеството $\{f|f:I\to\cup \text{ran }S$ и $f(i)\in S(i)$ за всяко $i\in I\}\subset (\cup S)^I$, което се нарича декартово произведение на индексираната система $S$ и се означава с $\prod S$. Други често срещани означения са $\prod(S(i)|i\in I),\quad \prod_{i\in I}S(i),\quad\prod_{i\in I}S_i$. Ако $S$ е такава, че $S(i)\neq\emptyset$ за всяко $i\in I$, то елементите на $S$ са две по две непресичащи се непразни множества, тъй като, от $i\neq j$, следва $(i,S(i))\cap(j,S(j))=\emptyset$. Тогава от аксиомата за избор (вж. Аксиома 9) на sets) имаме, че съществува функция $f:I\to\cup \text{ran }S$, за която $f(i)\in S(i)$ за всяко $i\in I$, което показва, че $\prod S\neq\emptyset$. Това свойство може да се изкаже така: “Декартово произведение на индексирана система от непразни множества е непразно.“. Обратно, ако $\prod S\neq\emptyset$, то съществува множество (а именно кой да е елемент на $\prod S$) със свойствата описани в Аксиома 9) на sets. Така аксиомата за избора е еквивалентна на твърдението, че произведението на индексирана система от непразни множества е непразно. От определението виждаме, че ако съществува $i\in I$, за което $S(i)=\emptyset$, то $\prod S=\emptyset$.
Казваме, че множеството $A$ може да се индексира с множеството $I$, ако съществува биекция $S$, за която $\text{dom }S=I$ и $\text{ran }S=A$. Всяко множество може да се индексира (със себе си, посредством идентитета в $A$). Ако $A$ е индексирано с $I$ и $S:I\to A$ е функция, за която $\text{ran }S=A$, вместо $\cup A$ или $\cap A$, пишем $\cup\{S(i)|i\in I\}$, $\cup_{i\in I}S(i)$, $\cup_{i\in I}S_i$ или $\cap\{S(i)|i\in I\}$, $\cap_{i\in I}S(i)$, $\cap_{i\in I}S_i$, съответно.
Забележка. Понятието произведение на индексирана система от множества позволява да се обобщи понятието декартово произведение на множества за произволни системи от множества.

Пример 3.3. Нека $S=\{A,B\}$ и $I=\{0,1\}$. Тогава $S$ може да се индексира с $I$ и съществува биекция между $\prod S$ и $A\times B$.
Действително, нека $h:I\to S$ е функцията, за която $h(0)=A$, $h(1)=B$. Тогава изображението $f:\prod S\to A\times B$, за което $f(g)=(g(0),g(1))$ е биекция, чието обратно изображение $f^{-1}:A\times B\to\prod S$ се задава с $f^{-1}((a,b))=g$, където $g\in \prod S$ е функцията, за която $g(0)=a\in h(0)$, $g(1)=b\in h(1)$.
Следвайки идеологията на този пример можем да дефинираме декартово произведение на повече от две множества. Например, ако $A$, $B$ и $C$ са множества, можем да дефинираме $A\times B\times C$, като произведение на системата $S={A,B,C}$ индексирана с $I={0,1,2}$. Може да се провери, че съществуват биекции между $\prod S$ и $(A\times B)\times C$, $A\times(B\times C)$.

Изобщо, ако $n\in\mathbb{N}$, $I=\{1,\ldots,n\}$ и $(A_i|i\in I)$ е индексирана система от множества, то е определено произведението $\prod(A_i|i\in I)$, което се нарича декартово произведение на множествата $A_1,\ldots, A_n$ и се означава с $A_1\times\cdots\times A_n$ или $\prod_{i=1}^nA_i$. В частност, ако $A_i=A$ за всяко $i\in I$, множеството $A\times\cdots\times A$ се означава с $A^n$ и се нарича $n$-та декартова степен на $A$. Елементите на $A^n$ се наричат наредени $n$-орки (от елементи на $A$).

Упражнения

3.9. Покажете, че ако $A$ е множество и $S$ е индексирана система от множества, такава че за всяко $i\in I$, $S(i)=A$, то $\prod S=A^I$.
2. Покажете, че ако $A\neq\emptyset$, то 1) $\cup_{\alpha\in \cup A}F_{\alpha}=\cup_{\beta\in A}\cup_{\alpha\in\beta}F_{\alpha}$,
2) $\cap_{\alpha\in \cup A}F_{\alpha}=\cap_{\beta\in A}\cap_{\alpha\in\beta}F_{\alpha}$
\newline(асоциативност на $\cup$ и $\cap$)
3) $\left(\cup_{\alpha\in A}F_{\alpha}\right)\cap\left(\cup_{\beta\in B}G_{\beta}\right)=\cup_{(\alpha,\beta)\in A\times B}F_{\alpha}\cap G_{\beta}$
4) $\left(\cap_{\alpha\in A}F_{\alpha}\right)\cup\left(\cap_{\beta\in B}G_{\beta}\right)=\cap_{(\alpha,\beta)\in A\times B}F_{\alpha}\cup G_{\beta}$
\newline(дистрибутивност на $\cup$ и $\cap$)
5) $B\setminus\cap_{\alpha\in A}F_{\alpha}=\cup_{\alpha\in A}(B\setminus F_{\alpha})$
6) $B\setminus\cup_{\alpha\in A}F_{\alpha}=\cap_{\alpha\in A}(B\setminus F_{\alpha})$
\newline(закони на Де Морган)
3.10. Покажете, че ако $f$ е функция, то
1) $f\left(\cup_{\alpha\in A}U_{\alpha}\right)=\cup_{\alpha\in A}f(U_{\alpha})$
2) $f\left(\cap_{\alpha\in A}U_{\alpha}\right)\subset\cap_{\alpha\in A}f(U_{\alpha})$
3) $f^{-1}\left(\cup_{\alpha\in A}U_{\alpha}\right)=\cup_{\alpha\in A}f^{-1}(U_{\alpha})$
4) $f^{-1}\left(\cap_{\alpha\in A}U_{\alpha}\right)=\cap_{\alpha\in A}f^{-1}(U_{\alpha})$.\newline
Покажете, че ако $f$ е инективна то в 2) $\subset$ може да се замени с $=$.

назад