Криволинейни интеграли от първи род

Нека $D\subset\mathbb{C}$ е област и $\gamma:[a,b]\to D$ е гладка крива. Дължина на $\gamma$ се нарича стойността на интеграла $\int_a^b|\gamma'(t)|dt$. Лесно се проверява, че стойностите на този интеграл за еквивалентни криви съвпадат. Една мотивация към това определение е фактът, че $$\sup\left\{\sum_{k=1}^n|\gamma(t_k)-\gamma(t_{k-1})|\Bigg|n\in\mathbb{N}, a=t_0<\ldots<t_n=b\right\}=\int_a^b|\gamma'(t)|dt,$$ т. е. този интеграл е точната горна граница на множеството от дължините на всевъзможните начупени линии, вписани в носителя на $\gamma$, което е интуитивното определение за дължина на крива. Ако $L$ е дължината на $\gamma$, то функцията $s_{\gamma}:[a,b]\to[0,L]$, зададена с $$s_{\gamma}(t)=\int_a^t|\gamma'(p)|dp,$$ съпоставя на всяко $t\in[a,b]$, дължината на частта от кривата $\gamma$ с начало $\gamma(a)$ и край $\gamma(t)$. Тъй като $\gamma'(t)\neq 0$ за всяко $t\in[a,b]$, функцията $s_{\gamma}$ има положителна производна и следователно тя има строго растяща обратна функция $s_{\gamma}^{-1}:[0,L]\to[a,b]$. Тогава можем да образуваме кривата $\gamma\circ s_{\gamma}^{-1}$, еквивалентна на $\gamma$. Тази крива се нарича естествена праметризация на $\gamma$. Лесно се проверява, че ако $\gamma_1$ и $\gamma_2$ са две еквивалентни криви, то съответните естествени параметризации съвпадат. Наистина, ако $\gamma_1:[a_1,b_1]\to D$, $\gamma_2:[a_2,b_2]\to D$ са еквивалентни, то съществува гладка функция $\psi:[a_2,b_2]\to[a_1,b_1]$, с постоянен знак на производната, такава че $\gamma_2=\gamma_1\circ\psi$. Тогава $\gamma_2\circ s_{\gamma_2}^{-1}=\gamma_1\circ\psi\circ s_{\gamma_2}^{-1}=\gamma_1\circ s_{\gamma_1}^{-1}$, тъй като $s_{\gamma_1}^{-1}=\psi\circ s_{\gamma_2}^{-1}$.
В този смисъл всяка гладка крива $\gamma$ има единствена естествена параметризация.
Ако $\gamma$ е частично гладка крива, дължината \`{и} се определя като сума от дължините на гладките криви $\gamma|_{[t_{j},t_{j+1}]}$, $j\in\{1,\ldots,n\}$, съответстващи на разделянето $a=t_1<\ldots<t_{n+1}=b$.

Определение 1. Нека $D\subset\mathbb{C}$ е област, $f:D\to\mathbb{C}$ е непрекъсната функция, $\gamma:[a,b]\to D$ е гладка крива в $D$. Криволинеен интеграл от първи род от функцията $f$, върху $\gamma$ (който обикновено се означава с $\int_{\gamma}f(z)ds$), се нарича интегралът $\int_a^b(f\circ\gamma)(t)|\gamma'(t)|dt$.
Забележка. Проверява се (чрез Твърдение 3 от Тема 13), че стойностите на този интеграл за еквивалентни криви съвпадат, т. е. Oпределение 1 е коректно. Лесно можем да се убедим, че $\int_{\gamma}f(z)ds$ се получава, чрез смяна на променливата в интеграла $$\int_0^L(f\circ\sigma)(s)ds,$$ където $L$ е дължината на $\gamma$, а $\sigma:[0,L]\to D$ е естествената параметризация на $\gamma$. Наистина, по определение $\sigma=\gamma\circ s^{-1}$, където $s:[a,b]\to [0,L]$ се задава с $s(t)=\int_a^t|\gamma'(p)|dp$. Тогава от Твърдение 3 от Тема 13 имаме $$\int_0^L(f\circ\sigma)(s)ds=\int_{a}^{b}(f\circ\sigma)(s(t))s'(t)dt=\int_a^b(f\circ\sigma)(s(t))|\gamma'(t)|dt=$$$$=\int_a^b(f\circ\gamma\circ s^{-1})(s(t))|\gamma'(t)|dt=\int_a^b(f\circ\gamma)(t)|\gamma'(t)|dt=\int_{\gamma}f(z)ds.$$ Така виждаме, че криволинейният интеграл от първи род $\int_{\gamma}f(z)ds$ не е нищо друго, освен определеният интеграл $\int_0^L(f\circ\sigma)(s)ds$, където $L$ е дължината на $\gamma$, а $\sigma:[0,L]\to D$ е естествената параметризация на $\gamma$. Оттук получаваме, че криволинейните интеграли от първи род имат свойства аналогични на свойствата на определените интеграли от комплексно-значни функции, описани в Тема 13.
Определението на криволинеен интеграл от първи род по частично гладка крива $\gamma$ е непосредствено, а именно $\int_{\gamma}f(z)ds=\sum_{j=1}^n\int_{\gamma_j}f(z)ds$, където $\gamma_j=\gamma|_{[t_{j},t_{j+1}]}$ са гладки криви $j\in\{1,\ldots,n\}$, съответстващи на разделянето $a=t_1<\ldots<t_{n+1}=b$.

Криволинейни интеграли от втори род (интегриране на диференциали по криви)

Определение 2. Нека $D\subset\mathbb{C}$ е отворено множество и $P, Q$ са две комплексно-значни функции, дефинирани върху $D$. Линейната комбинация на диференциалите $dx$ и $dy$ на реалните координатни фунции $x,y$ върху $D$, с коефициенти $P, Q$, т. е. израза $Pdx+Qdy$ наричаме диференциал (диференциална форма) (с коефициенти $P, Q$) върху $D$. Диференциалът $Pdx+Qdy$ наричаме непрекъснат, диференцируем, непрекъснато-диференцируем и т. н. в $D$, ако коефициентите $P,Q$ имат съответните свойства в $D$.
Забележка. Предвид Определение 4 от Тема 9 изразът $Pdx+Qdy$ всъщност представлява изображението $D\ni a\mapsto P(a)dx_a+Q(a)dy_a\in \mathcal L_{\mathbb{R}}(\mathbb{C})$. От Твърдение 2 от Тема 9 виждаме, че можем да събираме диференциали и да умножаваме диференциал с комплексно-значна функция, дефинирани в едно и също отворено множество, при което получаваме отново диференциали, дефинирани в същото отворено множество. По-точно, ако $\omega_1=P_1dx+Q_1dy$ и $\omega_2=P_2dx+Q_2dy$, то $\omega_1+\omega_2=(P_1+P_2)dx+(Q_1+Q_2)dy$ и $f\omega_1=(fP_1)dx+(fQ_1)dy$. В частност, диференциалът на всяка диференцируема в отворено множество функция е пример за диференциална форма, дефинирана в това отворено множество.
Забележка. Това, което отличава един диференциал от обикновена двойка функции е начинът по който тя се преобразува, при смяна на координантите функции. Нека $f:U\to V$ е диференцируемо биективно изображение между отворени множества в $\mathbb{C}$, чието обратно изображение е също диференцируемо (т. е. $f$ е дифеоморфизъм), $x,y$ са реалните координатни функции върху $V$, а $u,v$ са реалните координатни функции върху $U$. Тогава $x+iy=f(u+iv)$ и ако $x=\varphi(u+iv)$, $y=\psi(u+iv)$, то обикновената двойка функции $(P(x+iy),Q(x+iy))$, дефинирана върху $V$, се преобразува в двойката функции
$(P(\varphi+i\psi),Q(\varphi+i\psi))$, дефинирана върху $U$, докато дифернециалът $Pdx+Qdy$, дефиниран върху $V$, се преобразува в диференциалът $$P(\varphi+i\psi) (\varphi’_udu+\varphi’_vdv)+Q(\varphi+i \psi)(\psi’_udu+\psi’_vdv)=$$$$(P(\varphi+i\psi)\varphi’_u+Q(\varphi+i\psi)\psi’_u)du+(P(\varphi+i\psi)\varphi’_v+Q(\varphi+i\psi)\psi’_v)dv,$$ дефиниран върху $U$. С други думи, двойката функции $(P,Q)$, разглеждана като коефициенти на диференциална форма, се преобразува в двойката $$(P(\varphi+i\psi)\varphi’_u+Q (\varphi+i\psi)\psi’_u,P(\varphi+i\psi)\varphi’_v+Q(\varphi+i\psi)\psi’_v).$$

Определение 3. Нека диференциалът $\omega=Pdx+Qdy$ е непрекъснат в областта $D\subset\mathbb{C}$ и $\gamma:[a,b]\to D$ е гладка крива в $D$, и $\gamma=\sigma+i\tau$, където $\sigma,\tau$ са реално-значни функции. Интеграл от $\omega$ върху $\gamma$, се нарича числото $$\int_{\gamma}\omega=\int_{\gamma}Pdx+Qdy=\int_a^bP(\gamma(t))d\sigma(t)+Q(\gamma(t))d\tau(t):=\int_a^b[P(\gamma(t))\sigma'(t)+Q(\gamma(t))\tau'(t)]dt.$$

Забележка. Подинтегралната функция в последния интеграл от горното определение, е комплексно-значна функция, дефинирана в компактен интервал. Свойствата на интегралите от такива функции вече разгледахме в първя параграф. От тях и от Определение 3 можем да получим много аналогични свойства на интегралите от диференциали (криволинейни интеграли от втори род). Да забележим също, че интегрирането на комплексно-значна функция в интервал, може да се разглежда като частен случай на интегриране на диференциал по крива.

Твърдение 1. Нека $\omega=Pdx+Qdy$ непрекъснат диференциал в областта $D\subset\mathbb{C}$ и
$\gamma_1:[a,b]\to D$, $\gamma_2:[c,d]\to D$ са гладки криви в $D$, като $\gamma_2=\gamma_1\circ\mu$, където $\mu:[c,d]\to[a,b]$ е непрекъснато-диференцируема функция в $(c,d)$ (в краищата на интервала $\mu$ има лява и дясна производна), за която
а) $\mu(c)=a$, $\mu(d)=b$, б) $\mu(c)=b$, $\mu(d)=a$.
Тогава а) $\int_{\gamma_2}\omega=\int_{\gamma_1}\omega$, б) $\int_{\gamma_2}\omega=-\int_{\gamma_1}\omega$.
Доказателство. Нека $\gamma_j(t)=\varphi_j(t)+i\psi_j(t)$, $j\in\{1,2\}$. Тогава от свойствата на определения интеграл имаме а) $$\int_{\gamma_2}\omega=\int_c^d[P(\gamma_2(t))\varphi_2′(t)+Q(\gamma_2(t))\psi_2′(t)]dt=$$$$=\int_{c}^{d}[P(\gamma_1(\mu(t)))\varphi_1′(\mu(t))\mu'(t)+Q(\gamma_1(\mu(t)))\psi_1′(\mu(t))\mu'(t)]dt=$$$$=\int_{c}^{d}[P(\gamma_1(\mu(t)))\varphi_1′(\mu(t))+Q(\gamma_1(\mu(t)))\psi_1′(\mu(t))]\mu'(t)dt=$$$$=\int_a^b[P(\gamma_1(s))\varphi_1′(s)+Q(\gamma_1(s))\psi_1′(s)]ds=\int_{\gamma_1}\omega,$$
б) $$\int_{\gamma_2}\omega=\int_{c}^{d}[P(\gamma_1(\mu(t)))\varphi_1′(\mu(t))+Q(\gamma_1(\mu(t)))\psi_1′(\mu(t))]\mu'(t)dt=$$$$=\int_b^a[P(\gamma_1(s))\varphi_1′(s)+Q(\gamma_1(s))\psi_1′(s)]ds=-\int_a^b[P(\gamma_1(s))\varphi_1′(s)+Q(\gamma_1(s))\psi_1′(s)]ds=-\int_{\gamma_1}\omega.$$
Забележка. Оттук виждаме, че определението за интегриране на диференциал по гладка крива е коректно, в смисъл, че стойността на интеграла е една и съща за всички еквивалентни криви (т. е. когато една крива се получава от друга, чрез комозиция със строго растяща функция). От друга страна, интегралът зависи от ориентацията на $\gamma$, тъй като ако кривата $\gamma:[a,b]\to D$ композираме с $[a,b]\ni t\mapsto a+b-t\in[a,b]$ (строго намаляваща диференцируема функция) получаваме, че интегралът си сменя знака.

Следващите две твърдения се получават непосредствено от Определение 3 и линейните, и адитивни свойства на определения интеграл (Твърдения 1 и 2 от Тема 13).

Твърдение 2. Нека $\alpha_j\in\mathbb{C}$ и $\omega_j=P_jdx+Q_jdy$, $j\in\{1,\ldots,n\}$ са непрекъснати диференциали в областта $D\subset\mathbb{C}$ и
$\gamma:[a,b]\to D$, е гладка крива в $D$. Тогава $$\int_{\gamma}\sum_{j=1}^{n}\alpha_j\omega_j=\sum_{j=1}^{n}\alpha_j\int_{\gamma}\omega_j.$$

Твърдение 3. Нека $\omega=Pdx+Qdy$ e непрекъснат диференциал в областта $D\subset\mathbb{C}$ и
$\gamma:[a,b]\to D$, е гладка крива в $D$. Нека $$\{\{t_j\}_{j=0}^{n}\subset[a,b]|a=t_0<\ldots<t_n=b, n\in\mathbb{N}\}$$ е разбиване на $[a,b]$ и $\gamma_j=\gamma|_{[t_{j-1},t_j]}$. Тогава
$$\int_{\gamma}\omega=\sum_{j=1}^{n}\int_{\gamma_j}\omega.$$

Определение 4. Нека диференциалът $\omega$ е непрекъснат в областта $D\subset\mathbb{C}$ и $\gamma:[a,b]\to D$ е частично гладка крива в $D$, т. е. $\gamma$ е непрекъсната функция, за която съществува разделяне $\{\{t_j\}_{j=0}^{n}\subset[a,b]|a=t_0<\ldots<t_n=b, n\in\mathbb{N}\}$ на $[a,b]$, за което $\gamma_j=\gamma|_{[t_{j-1},t_j]}$ е гладка, $j\in\{1,\ldots, n\}$. Дефинираме $$\int_{\gamma}\omega=\sum_{j=1}^n\int_{\gamma_j}\omega.$$
Забележка. Може да се провери, че горното определение е коректно, в смисъл, че стойността на интеграла не зависи от разделянето на интервала $[a,b]$, със съответните свойства. Това може да се види, като се разгледа по-ситно разделяне на интервала, което съдържа делящите точки на две фиксирани разделяния, след което (използвайки Твърдение 2 от Тема 13) сумите от интеграли съответстващи на двете разделяния се представят като суми от интеграли съответстващи на по-ситното разделяне.

Затворени и точни диференциали

Определение 5. Диференциалът $Pdx+Qdy$, дефиниран в отворено множество $D\subset\mathbb{C}$ се нарича точен в $D$, ако съществува диференцируема функция $F:D\to\mathbb{C}$, такава че $dF=Pdx+Qdy$, (т. е. $F_x=P$ и $F_y=Q$ в $D$). Функцията $F$ с това свойство се нарича примитивна на $Pdx+Qdy$ в $D$.

Забележка. Диференциалът на всяка реално-диференцируема функция е точен и негова примитивна е самата функция.

Твърдение 4. Ако диференциалът $\omega$ е точен в областта $D\subset\mathbb{C}$ и $F,G$ са негови примитивни в $D$, то съществува $c\in\mathbb{C}$, така че $G-F=c$ в $D$.
Доказателство. Действително, ако $dF=\omega$ и $dG=\omega$ в $D$, то $d(F-G)=dF-dG=\omega-\omega=0$ и верността на твърдението следва от Твърдение 6 от Тема 9 .

Забележка. Горното твърдение показва, че всеки две примитивни на точен диференциал в област, се отличават с константа. Следователно, за да намерим всички примитивни на един точен диференциал в област е достатъчно да намерим само една примитивна. Важно е да се отбележи обаче, че твърдението не е вярно, ако $D$ е отворено множество, което не е област. Дайте пример.

Определение 6. Диференциалът $Pdx+Qdy$, непрекъснато-диференцируем в отворено множество $D\subset\mathbb{C}$ се нарича затворен в $D$, ако $P’_y=Q’_x$ в $D$.

Пример 1. Диференциалът $\omega=\frac{1}{z-a}dz$ е затворен в областта $D=\mathbb{C}\setminus\{a\}$, където $a\in\mathbb{C}$. Действително, $$\omega=\frac{1}{x+iy-a}dx+\frac{i}{x+iy-a}dy,$$ коефициентите му са непрекъснато-диференцируеми в $D$ и $$\left(\frac{1}{x+iy-a}\right)’_y=-\frac{i}{(x+iy-a)^2}=\left(\frac{i}{x+iy-a}\right)’_x$$ в $D$.

Твърдение 5. Ако диференциалът $Pdx+Qdy$ е непрекъснато-диференцируем и точен, в отворено множество $D\subset\mathbb{C}$, то той е затворен в $D$.
Доказателство. Нека $dF=Pdx+Qdy$ в $D$. Тогава $F’_x=P$ и $F’_y=Q$ в $D$, откъдето $P’_y=F“_{xy}$ и $Q’_x=F“_{yx}$. Тъй като $P$ и $Q$ са непрекъснато-диференцируеми в $D$, $F$ е два пъти непрекъснато-диференцируема в $D$. От теоремата за равенство на смесените производни имаме $P’_y=F“_{xy}=F“_{yx}=Q’_x$, което показва, че $Pdx+Qdy$ е затворен.

Твърдение 6. Непрекъснатият диференциал $\omega$ е точен в областта $D\subset\mathbb{C}$, тогава и само тогава, когато $\int_{\gamma}\omega=0$ за всяка затворена частично гладка крива $\gamma:[0,1]\to D$.
Доказателство. Нека $\omega=Pdx+Qdy$ точен в $D$ и $F$ е негова примитивна, т. е. $dF=\omega$ в $D$. Нека $0=t_0<t_1<\ldots<t_n=1$ е разделяне, за което $\gamma|_{[t_{k-1},t_k]}$, $k\in\{1,\ldots,n\}$ e гладка. Тогава $$\int_{\gamma}\omega=\int_{\gamma}dF=\sum_{k=1}^n\int_{t_{k-1}}^{t_k}(F\circ\gamma)'(t)dt=\sum_{k=1}^n\left(F(\gamma(t_k))-F(\gamma(t_{k-1})\right)=F(\gamma(1))-F(\gamma(0))=0,$$ тъй като $\gamma(0)=\gamma(1)$.
Обратно, нека за всяка затворена частично гладка крива $\gamma$ е изпълнено $\int_{\gamma}\omega=0$ и $a\in D$. Тогава можем да дефинираме функция $F:D\to\mathbb{C}$ с $$F(z)=\int_{\gamma_z}\omega,$$ където $\gamma_z$ е произволна частично гладка крива с начало $a$ и край $z\in D$. Трябва да се убедим, че това е коректно дефинирана функция, т. е. че стойността на интеграла не зависи от това коя крива с начало $a$ и край $z$ сме избрали. Нека $\gamma_1:[0,1]\to D$ и $\gamma_2:\to[0,1]$ са две частично гладки криви, за които $\gamma_1(0)=\gamma_2(0)=a$ и $\gamma_1(1)=\gamma_2(1)=z$. Тогава кривата $\gamma_3:[0,1]\to D$ дефинирана с $$\gamma_3(t)=\begin{cases}
\gamma_1(2t), t\in[0,\frac{1}{2}] \\ \gamma_2(2(1-t)), t\in[\frac{1}{2},1]
\end{cases},$$ е частично гладка и затворена. Следователно $\int_{\gamma_3}\omega=0$. От друга страна, от Твърдения 1 б) и 3 имаме $\int_{\gamma_3}\omega=\int_{\gamma_1}\omega-\int_{\gamma_2}\omega=0$, което показва, че $\int_{\gamma_1}\omega=\int_{\gamma_2}\omega$. Следователно $F$ е коректно дефинирана.
Остава да се покаже, че $F$ е примитивна на $\omega=Pdx+Qdy$ в $D$. За целта е достатъчно да покажем, че $F’_x=P$ и $F’_y=Q$ в $D$. Ще покажем само първото равенство, тъй като второто се доказва аналогично. За всяка точка $z\in D$ и достатъчно малко $h\in\mathbb{R}$ можем да дефинираме частично гладка крива $\gamma:[0,1]\to D$, за която $\gamma(0)=a$, $\gamma(1)=z+h$ по следния начин $$\gamma(t)=\begin{cases}
\alpha(2t), t\in[0,\frac{1}{2}] \\ \beta(2t-1), t\in[\frac{1}{2},1]
\end{cases},$$ където $\alpha:[0,1]\to D$ е произволна частично гладка крива за която $\alpha(0)=a$, $\alpha(1)=z$ и $\beta(t)=z+th$, $t\in[0,1]$. Тогава $$F(z+h)-F(z)=\int_{\gamma}\omega-\int_{\alpha}\omega=\int_{\alpha}\omega+\int_{\beta}\omega-\int_{\alpha}\omega=$$$$=\int_{\beta}Pdx+Qdy=\int_0^{1}P(z+th)hdt=\int_{\Re z}^{\Re z+h}P(s+i\Im z)ds.$$ Следователно $$F’_x(z)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{F(z+h)-F(z)}{h}= \lim\limits_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_{\Re z}^{\Re z+h}P(s+i\Im z)ds=\lim\limits_{h\to 0}P(z+h)=P(z),$$ предвид непрекъснатостта на $P$ и теоремата Нютон-Лайбниц за диференциране на интеграла по горната граница.

назад