Полиноми
Определение 1. Функция $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$, за която съществуват $n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$, $\{a_0,\ldots,a_n\}\subset\mathbb{C}$, така че $$f(z)=\sum_{k=0}^na_kz^{k},$$ за всяко $z\in\mathbb{C}$, където $z^0=1$, се нарича полином с комплексни коефициенти $a_0,\ldots,a_n$. Ако $a_n\neq 0$, полиномът $f$ се нарича полином от степен $n$. Функцията $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$, за която $f(z)=0$ за всяко $z\in\mathbb{C}$, e също полином (нулев полином), но този полином няма степен.
Предвид свойствата на полето на комплексните числа, сума и произведение на полиноми са отново полиноми. По-точно, ако $f(z)=\sum_{k=0}^na_kz^{k}$ и $g(z)=\sum_{k=0}^mb_kz^{k}$, то $$(f+g)(z)=\sum_{k=0}^m(a_k+b_k)z^{k}+\sum_{k=m+1}^na_kz^{k}, \quad m<n$$ и $$(fg)(z)=\sum_{k=0}^{m+n}\left(\sum_{i+j=k}a_ib_j\right)z^{k}.$$
Забележка. Проверява се, че по отношение на операциите сума и произведение, множеството на всички полиноми с комплексни коефициенти е комутативен пръстен с единица, без делители на нулата, в който обратимите елементи са полиномите от нулева степен. Доказва се, че ако $f(z)=\sum_{k=0}^na_kz^{k}$, където $n\in\mathbb{N}$, $\{a_0,\ldots,a_n\}\subset\mathbb{C}$ и $\{z_1,\ldots,z_{n+1}\}\subset\mathbb{C}$ е такова множество от числа, че $z_i\neq z_j$ при $i\neq j$, и $f(z_1)=\ldots=f(z_{n+1})=0$, то $a_0=\ldots=a_{n}=0$. Оттук виждаме, че всеки полином от степен $n\in\mathbb{N}$ може да приема стойност $0$ в най-много $n$ различни точки (т. е. да има най-много $n$ корена). Също така всеки ненулев полином се определя еднозначно от степента и коефициентите си, т. е. ако $f(z)=\sum_{k=0}^na_kz^{k}$ и $f(z)=\sum_{k=0}^mb_kz^{k}$, където $a_nb_m\neq 0$, то $m=n$ и $a_j=b_j$ за всички $j\in\{0,\ldots,n\}$. Това на свой ред показва, че два ненулеви полинома съвпадат тъждествено, тогава и само тогава, когато са от една и съща степен и имат едни и същи коефициенти. Предвид теоремите за непрекъснатост и диференцируемост (вж. Тема 5), виждаме, че всеки полином е непрекъсната функция, която има производна и производната на полином е пак полином .Като приложение на теорията, която ще развием по-нататък ще се убедим, че всеки полином с комплексни коефициенти има поне един комплексен корен (основна теорема на алгебрата).
Рационални функции
Определение 2. Функция $f$, която може да се запише във вид на частно на два полинома с комплексни коефициенти се нарича рационална функция.
От определение 2 виждаме, че всяка рационална функция има вида $$f(z)=\frac{\sum\limits_{k=0}^na_kz^{k}}{\sum\limits_{k=0}^mb_kz^{k}}=\left(\sum\limits_{k=0}^na_kz^{k}\right)\left(\sum\limits_{k=0}^mb_kz^{k}\right)^{-1},$$ където $z\in\mathbb{C}$ и $\sum_{k=0}^mb_kz^{k}\neq 0$.
Забележка. Всяка рационална функция е дефинирана в множеството от точки, в които полиномът в знаменател приема стойности различни от нула, т. е. дефиниционното множество на всяка рационална функция е допълнение на крайно множество от комплексни числа. Да забележим, че всеки полином е рационална функция. Също така, две рационални функции $f_1=\frac{P_1}{Q_1}$ и $f_2=\frac{P_2}{Q_2}$ съвпадат в сечението на дефиниционните си множества, тогава и само тогава, когато $P_1Q_2=P_2Q_1$ в това множество. Сума и произведение на рационални функции е отново рационална функция. Действително, ако $f_1=\frac{P_1}{Q_1}$, $f_2=\frac{P_2}{Q_2}$, то $$f_1+f_2=\frac{P_1}{Q_1}+\frac{P_2}{Q_2}=\frac{P_1Q_2+P_2Q_1}{Q_1Q_2}$$ и $$f_1f_2=\frac{P_1P_2}{Q_1Q_2}.$$
Проверява, че по отношение на тези операции множеството от всички рационални функции е поле. От теоремите за непрекъснатост и диференцируемост (вж. Лекция 5), виждаме, че всяка рационална функция е непрекъсната функция в дефиниционното си множество, има производна навсякъде, където е дефинирана, и производната на рационална функция е отново рационала функция, със същото дефиниционно множество, както изходната функция.
Забележка. Тъй като пръстенът от полиноми с комплексни коефициенти е комутативен и има единица, може да се дефинира полето му от частни. Тогава всяка рационална функция е елемент на полето от частни на пръстена от полиноми с комплексни коефициенти.
Експонента, степени и логаритми от реални числа
Функцията експонента, която дефинирахме в Тема 3 ни позволява да получим удобни дефиниции за степените и логаритмите на реални числа. Да напомним, че $\exp:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ дефинирахме, като сумата на абсолютно сходящ ред т. е. $\exp z=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{k-1}}{(k-1)!}$ (вж. Тема 3). Основното свойство на експонентата, което получихме чрез умножение на редове е $\exp(z+w)=\exp z\exp w,$ за всички $z,w\in \mathbb{C}$ (Твърдение 4 от Тема 3). От това свойство следва, че $\exp z\neq 0$ за всяко $z\in\mathbb{C}$. Да забележим, че тъй като $\mathbb{C}$ и $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ са групи по отношение на събирането и умножението на комплексни числа съответно, основното свойство на експонентата показва, че тя е хомоморфизъм на групи. Функцията $\exp$ е диференцируема навсякъде и съвпада с производната си (Твърдение 11 от Тема 5). Също така $\exp 1=e,$ където $e=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(k-1)!}$ е Неперовото число. Непосредствено се вижда, че експонентата приема само положителни стойности върху $\mathbb{R}$ и е строго монотонна непрекъсната функция. По известна теорема от реалния анализ, за всяко $x>0$ съществува единствено $y\in\mathbb{R}$, такова че $\exp y=x$. Това число $y$ се означава с $\ln x$ и се нарича естествен логаритъм на $x$. Така $\exp(\ln x)=x$ и в частност $\exp(\ln e)=e$. Тъй като $\exp 1=e$, получаваме $\ln e=1$. За $a>0$ и $x\in\mathbb{R}$ дефинираме $a^x=\exp(x\ln a).$ Тогава $e^x=\exp(x\ln e)=\exp x$ за всяко $x\in\mathbb{R}$. За всяко $a\in(0,1)\cup(1,+\infty)$ и всяко $x>0$ дефинираме $\log_ax=\frac{\ln x}{\ln a}$. Числото $\log_ax$ наричаме логаритъм на $x$ при основа $a$. Тъй като $\ln e=1$, виждаме, че $\log_ex=\ln x$. Оттук можем да получим всички добре известни свойства на степенуването и логаритмуването на реални числа.
Упражнение 1. Проверете, че $\exp\overline{z}=\overline{\exp z}$.
Упражнение 2. Покажете, че за всички $x,y\in\mathbb{R}$, $a, b\in(0,+\infty)$ е вярно
a) $a^{x+y}=a^xa^y$, б) $(ab)^{x}=a^{x}b^{x}$, в) $(a^x)^{y}=(a^{y})^{x}=a^{xy}$, г) $a^{-x}=\frac{1}{a^{x}}$.
Упражнение 3. Покажете, че за всички $x, y\in\mathbb{R}$, ако $x<y$, то
а) $a^x>a^y$ при $a\in(0,1)$, б) $a^x<a^y$ при $a\in(1,+\infty)$.
Упражнение 4. Покажете, че за всички $x,y\in(0,+\infty), a\in(0,1)\cup(1,+\infty)$ е вярно
а) $a^{\log_ax}=x$, б) $\log_a xy=\log_a x+\log_a y$, в) $\log_ax^c=c\log_a x, c\in\mathbb{R}$, г) $\log_ax=\frac{\log_bx}{\log_ba}, b\in(0,1)\cup(1,+\infty)$ (формула за смяна на основата), д) $\log_{a^c}x^c=\log_ax, c\in\mathbb{R}$.
Упражнение 5. Покажете, че за всички $x, y\in(0,+\infty)$, ако $x<y$, то
а) $\log_ax>\log_ay$ при $a\in(0,1)$, б) $\log_ax<\log_ay$ при $a\in(1,+\infty)$.
Тригонометрични функции
Определение 3. Функциите $\cos:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ и $\sin:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ дефинирани с $$\cos z=\frac{\exp(iz)+\exp(-iz)}{2},\quad \sin z=\frac{\exp(iz)-\exp(-iz)}{2i},\quad z\in\mathbb{C}$$ се наричат косинус и синус, съответно (тригонометрични функции).
Твърдение 1. Тригонометричните функции $\sin$ и $\cos$ имат следните свойства.
1) $\cos z+i\sin z=\exp(iz)$ (формула на Ойлер)
2) $\sin^2z+\cos^2z=1,\quad \cos(-z)=\cos z,\quad \sin(-z)=-\sin (z)$,
3) $\cos(z+w)=\cos z\cos w-\sin z\sin w$, $\sin(z+w)=\sin z\cos w+\cos z\sin w,\quad z,w\in\mathbb{C}$,
4) $(\sin z)’=\cos z$, $(\cos z)’=-\sin z$,
5) $\sin z=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{z^{2k-1}}{(2k-1)!}$, $\cos z=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{z^{2k-2}}{(2k-2)!}$,
6) Ако $z\in\mathbb{R}$, то $\sin z\in\mathbb{R}$, $\cos z\in\mathbb{R}$ и $|\sin z|\leq 1$, $|\cos z|\leq 1$.
Доказателство. 1) $$\cos z+i\sin z=\frac{\exp(iz)+\exp(-iz)}{2}+i\frac{\exp(iz)-\exp(-iz)}{2i}=\exp(iz),$$
2) $$\sin^2z+\cos^2z=\left[\frac{\exp(iz)-\exp(-iz)}{2i}\right]^2+\left[\frac{\exp(iz)+\exp(-iz)}{2}\right]^2=$$
$$=-\frac{\exp(2iz)-2\exp(iz)\exp(-iz)+\exp(-2iz)}{4}+\frac{\exp(2iz)+2\exp(iz)\exp(-iz)+\exp(-2iz)}{4}=$$
$$=\frac{4\exp(iz)\exp(-iz)}{4}=1,$$$$\cos(-z)=\frac{\exp(i(-z))+\exp(-i(-z))}{2}=\frac{\exp(-iz)+\exp(iz)}{2}=\cos z,$$
$$\sin(-z)=\frac{\exp(i(-z))-\exp(-i(-z))}{2i}=\frac{\exp(-iz)-\exp(iz)}{2i}=-\frac{\exp(iz)-\exp(-iz)}{2i}=-\sin z.$$
3) $$\cos z\cos w-\sin z\sin w=\frac{\exp(iz)+\exp(-iz)}{2}\cdot\frac{\exp(iw)+\exp(-iw)}{2}-\frac{\exp(iz)-\exp(-iz)}{2i}\cdot\frac{\exp(iw)-\exp(-iw)}{2i}=$$$$=\frac{\exp(i(z+w))+\exp(i(z-w))+\exp(-i(z-w))+\exp(-i(z+w))}{4}+$$$$+\frac{\exp(i(z+w))-\exp(i(z-w))-\exp(-i(z-w))+\exp(-i(z+w))}{4}=$$$$=\frac{2\exp(i(z+w))+2\exp(-i(z+w))}{4}=\cos (z+w),$$
Аналогично се доказва тъждестввото за $\sin(z+w)$.
4)Тъй като $\sin$ и $\cos$ са линейни комбинации на експоненти, виждаме, че те имат производни в $\mathbb{C}$, т. е. те са цели функции. В частност $$(\cos z)’=\frac{i\exp(iz)-i\exp(-iz)}{2}=\frac{-\exp(iz)+\exp(-iz)}{2i}=-\sin z$$ и $$(\sin z)’=\frac{i\exp(iz)+i\exp(-iz)}{2i}=\cos z.$$
5) За всяко $n\in\mathbb{N}$ имаме $$\frac{1}{2i}\left[\sum_{k=1}^{4n}\frac{(iz)^{{k-1}}}{(k-1)!}-\sum_{k=1}^{4n}\frac{(-iz)^{{k-1}}}{(k-1)!}\right]=\frac{1}{2i}\sum_{k=1}^{4n}\frac{(iz)^{{k-1}}}{(k-1)!}-\frac{(-iz)^{{k-1}}}{(k-1)!}=$$$$=\frac{1}{2i}\sum_{s=1}^n\frac{(iz)^{{4s-4}}}{(4s-4)!}+\frac{(iz)^{{4s-3}}}{(4s-3)!}+\frac{(iz)^{{4s-2}}}{(4s-2)!}+\frac{(iz)^{{4s-1}}}{(4s-1)!}-\frac{(-iz)^{{4s-4}}}{(4s-4)!}-\frac{(-iz)^{{4s-3}}}{(4s-3)!}-\frac{(-iz)^{{4s-2}}}{(4s-2)!}-\frac{(-iz)^{{4s-1}}}{(4s-1)!}=$$
$$=\frac{1}{2i}\sum_{s=1}^n2i\frac{z^{{4s-3}}}{(4s-3)!}-2i\frac{z^{{4s-1}}}{(4s-1)!}=\sum_{s=1}^n\frac{z^{{4s-3}}}{(4s-3)!}-\frac{z^{{4s-1}}}{(4s-1)!}=\sum_{p=1}^{2n}(-1)^p\frac{z^{{2p-1}}}{(2p-1)!}.$$
Оттук получаваме $$\sin z=\frac{\exp(iz)-\exp(-iz)}{2i}=\frac{1}{2i}\left[\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{4n}\frac{(iz)^{{k-1}}}{(k-1)!}-\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{4n}\frac{(-iz)^{{k-1}}}{(k-1)!}\right]=$$$$=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2i}\left[\sum_{k=1}^{4n}\frac{(iz)^{{k-1}}}{(k-1)!}-\sum_{k=1}^{4n}\frac{(-iz)^{{k-1}}}{(k-1)!}\right]=\lim_{n\to\infty}\sum_{p=1}^{2n}(-1)^p\frac{z^{{2p-1}}}{(2p-1)!}=\sum_{p=1}^{\infty}(-1)^p\frac{z^{{2p-1}}}{(2p-1)!}.$$ Последното равенство е валидно, тъй като редът отдясно е сходящ. Аналогично се доказва тъждеството за $\cos$.
6) Използваме, че $\overline{\exp z}=\exp\overline{z}$. Тогава $$\overline{\cos z}=\overline{\frac{\exp(iz)+\exp(-iz)}{2}}=\frac{\overline{\exp(iz)}+\overline{\exp(-iz)}}{2}=\frac{\exp\overline{iz}+\exp\overline{-iz}}{2}=\frac{\exp(-i\overline{z})+\exp(i\overline{z})}{2}=\cos\overline{z}.$$ Оттук виждаме, че ако $z\in\mathbb{R}$, то $z=\overline{z}$, при което $\overline{\cos z}=\cos z$, т. е. $\cos z\in\mathbb{R}$. Аналогично $\sin z\in\mathbb{R}$ за всяко $z\in\mathbb{R}$. Тогава за всяко $z\in\mathbb{R}$, от 1) имаме $|\exp iz|=|\cos z+i\sin z|=\sqrt{\sin^2z+\cos^2z}=1$. Следователно, ако $z\in\mathbb{R}$, то $$|\cos z|=\left|\frac{\exp(iz)+\exp(-iz)}{2}\right|\leq\frac{|\exp(iz)|+|\exp(-iz)|}{2}=\frac{1+1}{2}=1.$$ Аналогично се проверява, че $|\sin z|\leq 1$ при $z\in\mathbb{R}$.
Упражнение 6. Докажете тъждествата.
$\sin z+\sin w=2\sin\frac{z+w}{2}\cos\frac{z-w}{2}$, $\cos z+\cos w=2\cos\frac{z+w}{2}\cos\frac{z-w}{2}$, $\cos z-\cos w=-2\sin\frac{z+w}{2}\sin\frac{z-w}{2}$, $\sin z\sin w=\frac{1}{2}[\cos(z-w)-\cos(z+w)]$, $\cos z\cos w=\frac{1}{2}[\cos(z-w)+\cos(z+w)]$, $\sin z\cos w=\frac{1}{2}[\sin(z+w)+\sin(z-w)]$.
Упражнение 7. Докажете, че функциите $\sin$ и $\cos$ са неограничени в $\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$.
Твърдение 2. $\cos 2<0$.
Доказателство. От Твърдение 1, 5) имаме $$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots=1-\frac{x^2}{2!}\left(1-\frac{x^2}{4\cdot 3}\right)-\frac{x^6}{6!}\left(1-\frac{x^2}{8\cdot 7}\right)+\cdots=$$$$=1-\frac{x^2}{2!}\left(1-\frac{x^2}{4\cdot 3}\right)-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{4k+2}}{(4k+2)!}\left(1-\frac{x^2}{(4k+4)(4k+3)}\right).$$ Следователно $\cos 2=1-2.\frac{2}{3}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^{4k+2}}{(4k+2)!}\left(1-\frac{1}{(k+1)(4k+3)}\right)<0$.
Твърдение 3. Множеството $\{x\in[0,2]|\cos x=0\}$ е непразно и ограничено отдолу.
Доказателство. Очевидно $\{x\in[0,2]|\cos x=0\}$ е ограничено отдолу, тъй като то се съдържа в $[0,2]$. Да се убедим, че $\{x\in[0,2]|\cos x=0\}\neq \emptyset$. Функцията $\cos$ е непрекъсната, тъй като тя е линейна комбинация на експоненти. В частност тя е непрекъсната в $\mathbb{R}$ и приема реални стойности (Твърдение 1, 6)). Тъй като $\cos 0 =1>0$ и $\cos 2<0$ (Твърдение 2)), по известна теорема от реалния анализ, съществува $x_0\in(0,2)$, такова че $\cos x_0=0$, т. е. $\{x\in[0,2]|\cos x=0\}\neq \emptyset$.
Предвид Твърдение 3 и принципа за непрекъснатост на реалните числа, можем да дадем следното определение за Лудолфовото число $\pi$.
Определение 4. $\pi=2\inf\{x\in[0,2]|\cos x=0\}$.
Забележка. Геометричното свойство на $\pi$, че то съвпада с отношението на дължината на една окръжност към нейния диаметър може да се получи след пресмятане дължината на окръжността с помощта на определен интеграл.
Твърдение 4. $\cos\frac{\pi}{2}=0$, $\sin\frac{\pi}{2}=1$, $\cos\pi=-1$, $\sin\pi=0$, $\cos 2\pi=1$, $\sin 2\pi=0$.
Доказателство. От Определение 4 имаме, че за всяко $k\in\mathbb{N}$ съществува $x_k\in\mathbb{R}$, такова че $\cos x_k=0$ и $\frac{\pi}{2}\leq x_k<\frac{\pi}{2}+\frac{1}{k}$. Тогава $\lim\limits_{k\to\infty}x_k=\frac{\pi}{2}$, а от непрекъснатостта на $\cos$ имаме $\lim\limits_{k\to\infty}\cos x_k=\cos\frac{\pi}{2}$. От друга страна $\cos x_k=0$ за всяко $k\in\mathbb{N}$ и тъй като всяка сходяща редица има единствена граница, получаваме $\cos\frac{\pi}{2}=0$.
Тъй като $\cos 0=1>0$, от Определение 4 имаме, че $\cos x>0$ за всяко $x\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$. Следователно $(\sin z)’=\cos z>0$ при $z\in(0,\frac{\pi}{2})$, т. е. функцията $\sin$ е растяща в $(0,\frac{\pi}{2})$, непрекъсната в $[0,\frac{\pi}{2}]$ и следователно $0=\sin 0<\sin\frac{\pi}{2}$. Следователно $\sin\frac{\pi}{2}=\sqrt{1-\cos^2\frac{\pi}{2}}=1$.
От Твърдение 1, 3) имаме
$$\cos\pi=\cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)=\cos\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}-\sin\frac{\pi}{2}\sin\frac{\pi}{2}=0.0-1.1=-1,$$$$\sin\pi=\sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)=\sin\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}+\cos\frac{\pi}{2}\sin\frac{\pi}{2}=1.0+0.1=0,$$$$\cos 2\pi=\cos\pi\cos\pi-\sin\pi\sin\pi=(-1)(-1)-0.0=1,$$
$$\sin 2\pi=\sin\pi\cos\pi+\cos\pi\sin\pi=0(-1)+(-1).0=0.$$
Твърдение 5. За всяко $z\in\mathbb{C}$ имаме
$\cos(z\pm\frac{\pi}{2})=\mp\sin z$, $\sin(z\pm\frac{\pi}{2})=\pm\cos z$, $\cos(z\pm\pi)=-\cos z$, $\sin(z\pm\pi)=-\sin z$, $\cos(z\pm 2\pi)=\cos z$, $\sin(z\pm 2\pi)=\sin z$, $z\in\mathbb{C}$ (периодичност на $\sin$ и $\cos$).
Доказателство. Предвид Твърдение 1, 2), 3), и Твърдение 4 имаме
$\cos(z\pm\frac{\pi}{2})=\cos z\cos(\pm\frac{\pi}{2})-\sin z\sin(\pm\frac{\pi}{2})=\mp\sin z$,
$\cos (z\pm\pi)=\cos z\cos(\pm\pi)-\sin z\sin(\pm\pi)=-\cos z$,
$\cos (z\pm 2\pi)=\cos z\cos (\pm 2\pi)-\sin z\sin(\pm2\pi)=\cos z$.
Аналогично се проверяват съответните тъждества за $\sin$.
Твърдение 6. $\cos x>0$ за всяко $x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$, $\cos x<0$ за всяко $x\in(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}).$
$\sin x>0$ за всяко $x\in(0,\pi)$, $\sin x<0$ за всяко $x\in(-\pi,0)$.
Доказателство. Тъй като $\cos 0=1>0$, от Определение 4 имаме, че $\cos x>0$ за всяко $x\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$. Оттук и от $\cos(-x)=\cos x$ (Твърдение 1, 2)) следва, че $\cos x>0$, при $x\in(-\frac{\pi}{2},0)$. Следователно $\cos x>0$ при $x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$. От $\cos x>0$ при $x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ и $\cos x=-\cos(x-\pi)$ следва, че $\cos x<0$, при $x\in(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2})$. От $\cos x>0$ при $x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ и $\sin x=-\cos(x+\frac{\pi}{2})$ (Твърдение 5) виждаме, че $\sin x<0$ при $x\in(-\pi,0)$. Oт $\sin x<0$ при $x\in(-\pi,0)$ и $\sin(-x)=-\sin x$ следва, че $\sin x>0$ при $x\in (0,\pi)$.
Твърдение 7. $$\left\{x\in\mathbb{R}|\sin x>0\right\}=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(2k\pi,(2k+1)\pi\right)$$
$$\{x\in\mathbb{R}|\sin x<0\}=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}((2k-1)\pi,2k\pi)$$
$$\{x\in\mathbb{R}|\cos x>0\}=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)$$
$$\{x\in\mathbb{R}|\cos x<0\}=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi\right)$$
Доказателство. Следва от Твърдение 6 и периодичността на $\sin$ и $\cos$ (Твърдение 5).
Твърдение 8. $\{x\in\mathbb{R}|\sin x=0\}=\pi\mathbb{Z}=\{k\pi|k\in\mathbb{Z}\}$,
$\{x\in\mathbb{R}|\cos x=0\}=\frac{\pi}{2}+\pi\mathbb{Z}=\{\frac{\pi}{2}+k\pi|k\in\mathbb{Z}\}$.
Доказателство. От Твърдения 4 и 5 виждаме, че $\pi\mathbb{Z}\subset\{x\in\mathbb{R}|\sin x=0\}$. От Tвърдение 7 имаме $\{x\in\mathbb{R}|\sin x=0\}\subset\pi\mathbb{Z}$. Аналогично $\{x\in\mathbb{R}|\cos x=0\}=\frac{\pi}{2}+\pi\mathbb{Z}$.
Определение 2. Функциите $\tan:\mathbb{C}\setminus(\frac{\pi}{2}+\pi\mathbb{Z})\to\mathbb{C}$, $\cot:\mathbb{C}\setminus\pi\mathbb{Z}\to\mathbb{C}$ дефинирани съответно с $\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}$ и $\cot z=\frac{\cos z}{\sin z}$ се наричат тангенс и котангенс съответно.
Упражнение 8. Изразете $\tan$ и $\cot$ чрез експоненти и покажете, че имат период $\pi$.
Упражнение 9. За съответните допустими стойности докажете тъждествата
$\tan(z+w)=\frac{\tan z+\tan w}{1-\tan z\tan w}$, $\cot(z+w)=\frac{\cot z\cot w-1}{\cot w-\cot z}$, $\tan z+\tan w=\frac{\sin(z+w)}{\cos z\cos w}$, $\cot z+\cot w=\frac{\sin(z+w)}{\sin z\sin w}$.