Задача на Коши
В настоящата тема ще разгледаме т. нар. задача на Коши за уравнения от вида $y’=f(x,y)$ и $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$, където $f, P, Q$ са непрекъснати функции в дадена област $D\subseteq\mathbb{R}^2$. Задачата на Коши за тези уравнения се състои в следното. Ако $(a,b)\in D$ е дадена точка, да се определят всички решения на уравнението $y’=f(x,y)$, за които $y(a)=b$, или всички решения на уравнението $Pdx+Qdy=0$, които минават през точката $(a,b)$. Геометрично погледнато, търсим всички интегрални криви на съответните уравнения, които минават през точката $(a,b)$. Съотношението $y(a)=b$ и точката $(a,b)$ се наричат начално условие или начални данни на задачата на Коши за уравненията $y’=f(x,y)$ или $Pdx+Qdy=0$ съответно. Въпросите за съществуване и единственост на решение на задачата на Коши $y’=f(x,y), y(a)=b$ (които са сравнително нетривиални) ще разгледаме в следващите теми, а тук ще обърнем внимание на задачата на Коши $Pdx+Qdy=0, (a,b)\in D$, в най-важния за практическите пресмятания случай.
Основният случай, в който можем да намерим интегрални криви на уравнението $Pdx+Qdy=0$ е когато $\omega=Pdx+Qdy$ е точен диференциал в $D$. Това по определение означава, че съществува непрекъснато-диференцируема функция $F:D\to\mathbb{R}$, такава че $dF=\omega$. В този случай казваме, че уравнението $\omega=0$ е от пълен диференциал, или че е точно диференциално уравнение. Тогава интегралните криви на уравнението се определят от уравнението $F(x,y)=c$, където $c\in\mathbb{R}$ е параметър. т. е. от множествата на ниво на функцията $F$. По-точно, в сила е следната теорема.
Твърдение 1. Нека $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ е точно диференциално уравнение, в околност $U$ на неособената точка $(a,b)\in\mathbb{R}^2$. Тогава задачата на Коши $Pdx+Qdy=0$, $(a,b)$ има единствено решение в $U$, което удовлетворява уравнението $F(x,y)=F(a,b)$, където $F$ е примитивна на $Pdx+Qdy$ в $U$.
Доказателство. Тъй като $(a,b)$ е неособена точка, имаме $P(a,b)\neq 0$ или $Q(a,b)\neq 0$. Нека предположим, че $Q(a,b)\neq 0$ (разсъжденията в случая $P(a,b)\neq 0$ са идентични) и да разгледаме уравнението $F(x,y)=F(a,b)$ в $U$. Тъй като $F_y=Q$ е непрекъсната и $F_y(a,b)=Q(a,b)\neq 0$, от теоремата за неявните функции следва, че съществува отворен интервал $I\subseteq\mathbb{R}$ съдържащ $a$ и единствена непрекъснато-диференцируема функция $\varphi:I\to\mathbb{R}$, такава че $\varphi(a)=b$, $(x,\varphi(x))\in U$, $F(x,\varphi(x))=F(a,b)$ и $\varphi'(x)=-\frac{F_x(x,\varphi(x))}{ F_y(x,\varphi(x))}$ за всяко $x\in I$. Тогава кривата определена от параметризацията $\gamma(t)=(t,\varphi(t)), t\in I$ е гладка и е решение на задачата на Коши в $U$. Наистина, $\gamma(a)=(a,b)$ и $P(t,\varphi(t))t’+Q(t,\varphi(t))\varphi'(t)=F_x(t,\varphi(t))+F_y(t,\varphi(t))\left(-\frac{F_x(t,\varphi(t))}{ F_y(t,\varphi(t))}\right)=0$ за всяко $t\in I$. Нека $\alpha(t)=(\theta(t),\psi(t))$, $t\in J$ е параметризация на някое произволно решение на задачата на Коши. Тогава съществува $t_0\in J$, такова че $\alpha(t_0)=(a,b)$ и $0=P(\theta(t),\psi(t))\theta'(t)+Q(\theta(t),\psi(t))\psi'(t)=F_x (\theta(t),\psi(t))\theta'(t) +F_y(\theta(t),\psi(t))\psi'(t)=\frac{d}{dt}[F(\theta(t),\psi(t))]$ за всяко $t\in J$. Следователно $ F(\theta(t),\psi(t))= F(\theta(t_0),\psi(t_0))=F(a,b)$ за всяко $t\in J$. Да забележим, че $\theta'(t_0)\neq 0$, (иначе и $\psi'(t_0)=0)$, Тогава от теоремата за обратната функция, съществува околност $I_0$ на $t_0$, такава, че върху околността $J_0=\theta(I_0)$ на $\theta(t_0)=a$ е определена обратната функция $\theta^{-1}$, при което $0=F(\theta(\theta^{-1}(x)),\psi(\theta^{-1}(x)))=F(x,\psi(\theta^{-1}(x)))$ за всяко $x\in J_0$. Тъй като уравнението $F(x,y)=F(a,b)$ определя единствена неявна функция дефинирана в околност на $a$, виждаме, че за всяко $x\in I\cap J_0$ имаме $\psi(\theta^{-1}(x))=\varphi(x)$. Следователно параметризациите $\gamma$ и $\alpha$ са еквивалентни в околност на $a$, т. е. те определят една и съща гладка крива, която е решение на задачата на Коши.
Забележка. В твърдение 1 видяхме, че в околност на неособена точка на диференциала $Pdx+Qdy$, теоремата за неявната функция показва, че всяко множество на ниво на примитивната $F$ е графика на гладка функция, която определя единствена интегрална крива на уравнението. В околност на особена точка на $Pdx+Qdy$ обаче, някои множества на ниво на $F$ могат да бъдат обединение на повече от една интегрална крива на уравнението или да не съдържат интегрални криви на уравнението. При това някои от множествата на ниво могат да се състоят изцяло от особени точки и да съдържат решения на уравнението.
Да илюстрираме казаното с няколко примера.
Пример 1. Уравнението $y’=-\frac{x}{y}$ е еквивалентно на $dy+\frac{x}{y}dx=0$, което от своя страна е еквивалентно на $ydy+xdx=0$, в отвореното множество $U=\mathbb{R}^2\setminus\{(t,0)|t\in\mathbb{R}\}$ (тъй като последното уравнение се получава след умножение с непрекъсната, неанулираща се функция). Формата $xdx+ydy$ е точна в $\mathbb{R}^2$, тъй като $xdx+ydy=dF$, където $F(x,y)=\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)$. За всяко $c>0$, множеството на ниво на функцията $F$ e окръжността зададена с уравнението $x^2+y^2=2c$. Тя може да се параметризира с изображението $$[0,2\pi]\ni t\mapsto \gamma_c(t)=(\sqrt{2c}\cos t, \sqrt{2c}\sin t).$$ Непосредствено се проверява, че кривата определена от $\gamma_c$ е решение на уравнението. Наистина $$\sqrt{2c}\cos td(\sqrt{2c}\cos t)+\sqrt{2c}\sin td(\sqrt{2c}\sin t)=$$$$=(-\sqrt{2c}\cos t\sqrt{2c}\sin t+\sqrt{2c}\sin t\sqrt{2c}\cos t)dt=0$$ т. е. $\gamma_c$ определя интегрална крива на уравнението $xdx+ydy=0$. Да забележим, че $\gamma_c$ не е определя интегрална крива на $y’=-\frac{x}{y}$, тъй като интегралните криви на това уравнение са от вида $t\mapsto (t,y(t))$, т. е. те са графики на функции. От друга страна, уравненията $y’=-\frac{x}{y}$ и $xdx+ydy=0$ са еквивалентни в $U$, т. е. те имат едни и същи решения в $U$. Тъй като формата $xdx+ydy$ няма особени точки в $U$, интегралните криви на уравнението $y’=-\frac{x}{y}$ се определят като графики на неявни функции от сеченията на множествата на ниво на $F$ с $U$, т. е. от $\{(x,y)\in U|x^2+y^2=2c\}$. В случая, уравненията на множествата на ниво могат да бъдат решени относно $y$ в $U$. Последното обстоятелство позволява да посочим интегралните криви на $y’=-\frac{x}{y}$ в явен вид (това за повечето уравнения не е възможно). Това са кривите определени от параметризациите $t\mapsto(t,y_c(t))$, където $y_c(x)=\pm\sqrt{2c-x^2}, |x|<2c$ (горни и долни полуокръжности). Така виждаме, че макар интегралните криви на $y’=-\frac{x}{y}$ и $xdx+ydy=0$ да се определят от едно и също уравнение $x^2+y^2=2c$, те са различни и съвпадат само в $U$, където уравненията са еквивалентни. Да отбележим, че $(0,0)$ е особена точка за формата $xdx+ydy$ и множеството на ниво на примитивната $F(x,y)=\frac{1}{2}(x^2+y^2)$, се задава с уравнението $F(x,y)=F(0,0)$ или $x^2+y^2=0$. Тъй като това множество се състои само от точката $(0,0)$, то не съдържа гладки криви и следователно задачата на Коши за уравнението $xdx+ydy=0$ с началоно условие $(0,0)$ няма решение. Така виждаме, че през особена точка на формата може да не минават интегрални криви на уравнението.
Пример 2. За уравнението $xdx-ydy=0$ имаме $xdx-ydy=dF$, където $F(x,y)=\frac{1}{2}(x^2-y^2)$. Следователно множествата на ниво на функцията $F$ се определят от уравненията $x^2-y^2=2c$, където $c\in\mathbb{R}$. При $c\neq 0$, тези множества са равнораменни хиперболи с по два клона, всеки от които може да се параметризира. При $c>0$ уравнението $x^2-y^2=2c$ е хипербола с ляв и десен клон, които се параметризират с $$\mathbb{R}\ni t\mapsto (-\sqrt{2c}\cosh t,\sqrt{2c}\sinh t) \quad \text{и}\quad \mathbb{R}\ni t\mapsto (\sqrt{2c}\cosh t,\sqrt{2c}\sinh t)$$ съответно. Аналогично, при $c<0$, уравнението $x^2-y^2=2c$ е хипербола с горен и долен клон, които се параметризират с $$\mathbb{R}\ni t\mapsto (-\sqrt{-2c}\sinh t,\sqrt{-2c}\cosh t)\quad\text{и}\quad \mathbb{R}\ni t\mapsto (\sqrt{-2c}\sinh t,\sqrt{-2c}\cosh t)$$ съответно. При $c=0$, множеството на ниво на $F$ се определя от уравнението $x^2-y^2=(x-y)(x+y)=0$, което представлява обединение на две пресичащи се в точката $(0,0)$ прави $y=x$ и $y=-x$. Tези прави могат да се параметризират с $\mathbb{R}\ni t\mapsto(t,t)\in\mathbb{R}^2$ и $\mathbb{R}\ni t\mapsto(t,-t)\in\mathbb{R}^2$ съответно. Непосредствено се проверява, че кривите определени от всички тези параметризации са интегрални криви на уравнението $xdx-ydy=0$ (Проверете!). Да забележим, че за всяко $c\in\mathbb{R}$, всяка точка от съответното множество на ниво на $F$ има околност в равнината, такава че сечението на тази околност с множеството на ниво е крайно обединение на интегрални криви на уравнението $xdx-ydy=0$. Наистина, това е тривиално при $c\neq 0$, тъй като крайното обединение всъщност се състои само от една интегрална крива на уравнението (част от клон на някоя хипербола). При $c=0$ обаче, за съответното множество на ниво, (което се определя от уравнението $x^2-y^2=0$), съществува особена точка, а именно $(0,0)$, около която уравнението което го определя, не може да се реши еднозначно нито относно $y$, нито относно $x$, тъй като частните производни на $F$ се анулират в $(0,0)$, т. е. не можем да приложим теоремата за неявната функция. Тази точка е особена и за формата $xdx-ydy$ и за всяка нейна равнинна околност, сечението й с множеството на ниво на примитивната е обединение на две интегрални криви на уравнението (частите от правите около точката на пресичане).
Пример 3. Уравнението $(x^3-xy^2)dx-(y^3-yx^2)dy=0$ е точно уравнение, което има решения състоящи се от особени точки. Наистина, особените точки на формата $(x^3-xy^2)dx-(y^3-yx^2)dy$ се определят от уравненията $x^3-xy^2=0$, $yx^2-y^3=0$. От тях получаваме, че множеството от особени точки на формата се състои от правите зададени с уравнения $y=\pm x$. От друга страна, тъй като $$(x^3-xy^2)dx+(y^3-yx^2)dy=x(x^2-y^2)dx+y(y^2-x^2)dy=$$$$=(x^2-y^2)(xdx-ydy)=\frac{1}{2}(x^2-y^2)d(x^2-y^2)=dF,$$ където $F(x,y)=\frac{1}{4}(x^2-y^2)^2$, виждаме, че всички решения на уравнението се определят от множествата на ниво $F(x,y)=c$, където $c\geq 0$. Множеството на ниво $F(x,y)=0$ се състои от правите $y=\pm x$, които са решения на уравнението и всички точки от тях са особени.
Точните диференциални уравнения, както и въпросът за намиране на примитивна на точен диференциал, ще разгледаме по-подробно в следващите теми. Преди това ще обърнем внимание на няколко прости частни случаи, които традиционно се разглеждат при изучаването на диференциални уравнения, а именно уравненията с разделящи се променливи, хомогенните диференциални уравнения и уравненията на Бернули.