Решения на ОДУ
Ще се интересуваме от уравнения от вида $$y’=f(x,y),\quad x’=f(x,y)$$ или $$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,$$ където $f, P,Q$ са непрекъснати функции в някое отворено множество $D\subseteq\mathbb{R}^2$, което се нарича дефиниционно множество на уравнението. Да отбележим, че първите две уравнения (между които няма принципна разлика), представляват съотношения между функции, докато третото е съотношение между диференциали (диференциални форми) т. е. обектите, които се срещат при изучаването на криволинейните интеграли от втори род.
Определение 1. Решение на уравнение от вида $y’=f(x,y)$ се нарича всяка диференцируема функция $\varphi:(a,b)\to\mathbb{R}$ такава, че $(x,\varphi(x))\in D$ и $\varphi'(x)=f(x,\varphi(x))$ за всяко $x\in(a,b)$. Графиката на всяко решение на уравнението се нарича интегрална крива.
За да дефинираме решение на уравнение от вида $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ да напомним, че гладка крива в равнината се дефинира като клас от еквивалентни гладки параметризации, а гладка параметризация се нарича непрекъснато диференцируемо изображение $\gamma:I\to \mathbb{R}^2$, дефинирано в отворен интервал $I\subseteq\mathbb{R}$, чиято производна $\gamma’$ не се анулира в никоя точка от $I$. Две гладки параметризации $\gamma_1:I_1\to\mathbb{R}^2$ и $\gamma_2:I_2\to\mathbb{R}^2$ се наричат еквивалентни, ако съществува дифеоморфизъм (т. е. биективно диференцируемо изображение, чието обратно изображение е също диференцируемо) $\varphi:I_1\to I_2$, такъв че $\gamma_2\circ\varphi=\gamma_1$, т. е. едната параметризация се получава от другата чрез биективна гладка смяна на параметъра.
Ако не налагаме допълнително условие за знака на $\varphi’$, то тогава всички еквивалентни параметризации образуват само един клас на еквивалентност, т. е. в този случай кривата е неориентирана.
Определение 2. Решение (или интегрална крива) на уравнението $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$, се нарича гладка крива, която се представя с параметризация $\varphi(t)=(\varphi_1(t),\varphi_2(t)), t\in I$, такава че $\varphi(I)\subset D$ ($D\subseteq\mathbb{R}^2$ е дефиниционното множество на уравнението) и $P(\varphi_1,\varphi_2)d\varphi_1+ Q(\varphi_1,\varphi_2)d\varphi_2=0$, т. е. $P(\varphi_1(t),\varphi_2(t))\varphi’_1(t)+Q(\varphi_1(t),\varphi_2(t))\varphi’_2(t)=0$, за всяко $t\in I$ (тъй като $P(\varphi_1(t),\varphi_2(t))d\varphi_1(t)+Q(\varphi_1(t),\varphi_2(t))d\varphi_2(t)= [P(\varphi_1(t),\varphi_2(t))\varphi’_1(t)+Q(\varphi_1(t),\varphi_2(t))\varphi’_2(t)]dt$).
Забележка. Геометрично погледнато съотношението $P(\varphi_1,\varphi_2)d\varphi_1+ Q(\varphi_1,\varphi_2)d\varphi_2=0$ показва, че всяко решение е крива, която има допирателна във всяка точка, и допирателния вектор в точката $(\varphi’_1(t), \varphi’_2(t))$ е ортогонален (относно стандартното скаларно произведение в $\mathbb{R}^2$) на вектора $(P(\varphi_1(t), \varphi_2(t)), Q(\varphi_1(t), \varphi_2(t)))$ за всяко $t\in I$. Лесно се проверява, че определението за решение на уравнението $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ не зависи от параметризацията. (Проверете!)
Забележка. Да забележим, че уравнението $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ е по-общо от уравнението $y’=f(x,y)$ или $x’=f(x,y)$, тъй като решенията на последното са диференцируеми функции, които задават гладки криви с графиките си (всяка функция $g(x), x\in I$ задава крива, като класa от еквивалентни параметризации на параметризацията $\varphi(t)=(t,g(t)), t\in I$), докато решенията на уравнението $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ са гладки криви, които могат да не са графики на функции. При това диференциалната форма $P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ може да има особени точки в $D$, т. е. точки, в които $P$ и $Q$ се анулират едновременно. За множеството от особени точки на формата нищо не може да се каже, без допълнителни предположения за функциите $P, Q$. Ако това множество съдържа гладки криви, то всяка от тях е решение на $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$, което се нарича особено решение на уравнението. Както ще се убедим в следващата тема, през една особена точка на формата, може да минават повече от една интегрални криви на уравнението, а може изобщо да не минават такива криви.
Следващото твърдение показва, че когато уравнението $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ има вида $dy-f(x,y)dx=0$, решенията му са винаги графики на функции, при това тези функции са решения и на уравнението $y’=f(x,y)$. Това твърдение се прилага често при практическите пресмятания.
Твърдение. Диференциалното уравнение $y’=f(x,y)$ и уравнението $dy-f(x,y)dx=0$ имат едно и също множество от решения.
Доказателство. Ако $y=g(x), x\in I$ е решение на уравнението $y’=f(x,y)$, т. е. $g'(x)=f(x,g(x)),x\in I$, то за параметризацията $\varphi(t)=(t,g(t)),t\in I$ имаме $dg(t)-f(t,g(t))dt=[g'(t)-f(t,g(t))dt=0$, т. е. $\varphi$ е решение на уравнението $dy-f(x,y)dx=0$. Ако кривата определена от $\varphi(t)=(\varphi_1(t),\varphi_2(t)), t\in I$, е решение на уравнението $dy-f(x,y)dx=0$, то $\varphi’_2(t)-f(\varphi_1(t),\varphi_2(t))\varphi’_1(t)=0, t\in I$. Функцията $\varphi’_1(t)$ не се анулира в никоя точка $t\in I$, (иначе ще получим, че $\varphi’_2(t)=0$, а това на свой ред води до $\varphi'(t)=0$, което е противоречие с гладкостта на кривата определена от $\varphi$) и следователно от теоремата за обратните функции $\varphi_1:I\to\varphi_1(I)=J$ е дифеоморфизъм. Тогава параметризацията $\psi(t)=(t,\varphi_2(\varphi_1^{-1}(t))), t\in J$ е гладка и е еквивалентна на $\varphi$. Следователно тя задава същата крива, както $\varphi$, която е решение на уравнението $dy-f(x,y)dx=0$. Тъй като $d[\varphi_2(\varphi_1^{-1}(t))] -f(t, \varphi_2(\varphi_1^{-1}(t)))dt=[(\varphi_2\circ\varphi_1^{-1})'(t)-f(t,\varphi_2\circ\varphi_1^{-1}(t))]dt$, виждаме, че щом кривата определена от $\psi$ е решение на $dy-f(x,y)dx=0$, то функцията $y=\varphi_2\circ\varphi_1^{-1}$ е решение на уравнението $y’=f(x,y)$ в интервала $J$.
Забележка. Лесно се проверява, че ако формата $P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ се умножи с непрекъсната, неанулираща се функция $h$, то уравненията $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ и $h(x,y)P(x,y)dx+h(x,y)Q(x,y)dy =0$ имат едно и също множество от решения. Тогава от доказаното твърдение виждаме, че в околност на всяка неособена точка $(a,b)$ уравнението $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ е еквивалентно на уравнението $y’=-\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}$ или $x’=-\frac{Q(x,y)}{P(x,y)}$ в зависимост от това дали $Q(a,b)\neq 0$ или $P(a,b)\neq 0$.
Забележка. Възниква въпросът, може ли на произволно уравнение от вида $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ с дефиниционно множество $D\subseteq\mathbb{R}^2$ да се съпостави диференциално уравнение от вида $y’=f(x,y)$ (или $x’=f(x,y)$), така че двете уравнения да имат едни и същи решения в $D$? Отговорът в общият случай е отрицателен, както се вижда от уравнението $xdx+ydy=0$, разглеждано в областта $D=\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$. Решенията на това уравнение са всички криви с уравнения $x^2+y^2=c$, където $c>0$ е произволна реална константа. От друга страна, за никоя стойност на $c>0$, кривата $x^2+y^2=c$, която представлява една окръжност, не може да бъде решение на уравнение от вида $y’=f(x,y)$ или $x’=f(x,y)$, тъй като допирателните прави към решенията на последните две уравнения, в произволна точка от дефиниционните им множества, никога не са вертикални или хоризонтални, съответно, докато окръжността $x^2+y^2=c$ има както вертикални, така и хоризонтални допирателни.