В тази тема ще дефинираме затворени и компактни множества в $\mathbb{F}$, където $\mathbb{F}$, както обикновено, означава кое да е от полетата $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.
Затворени множества в $\mathbb{F}$
Казваме, че $U\subseteq\mathbb{F}$ е затворено множество в $\mathbb{F}$, ако $\mathbb{F}\setminus U$ е отворено в $\mathbb{F}$. За всяко множество $U\subseteq\mathbb{F}$, множеството $U\cup\partial U$ е затворено множество, което се нарича затворена обвивка на $U$ и се означава с $\overline{U}$.
Упражнения
- Покажете, че ако $a,b\in\mathbb{R}$ и $a\leq b$, то $[a, b]$ е затворено множество в $\mathbb{R}$.
Да се посочат примери на затворени множества в $\mathbb{R}$, които не са затворени интервали. - Покажете, че $\mathbb{N}$ е затворено множество в $\mathbb{F}$.
- Покажете, че за всяко множество $U\subseteq\mathbb{F}$
а) $\partial U$ е затворено в $\mathbb{F}$,
б) множеството $U\cup\partial U$ е затворено множество в $\mathbb{F}$,
в) $U$ е затворено в $\mathbb{F}$, тогава и само тогава, когато съвпада със затворената си обвивка т. е $U=\overline{U}$. - Покажете, че
1) $\emptyset$ и $\mathbb{F}$ са затворени в $\mathbb{F}$,
2) Ако $U,V\subseteq\mathbb{F}$ са затворени в $\mathbb{F}$, то $U\cup V$ е затворено в $\mathbb{F}$,
3) Ако $A$ е съвкупност от затворени множества в $\mathbb{F}$, то $\cap A$ е затворено в $\mathbb{F}$,
4) за всеки две точки $a,b\in\mathbb{F}$, такива че $a\neq b$ съществуват затворени множества $U,V\subseteq\mathbb{F}$, такива че $a\in U, b\in V$ и $U\cap V=\emptyset$.
Забележка. Тези свойства на затворените множества следват от тези на отворените множества и законите на Де Морган. Да се зададе някаква съвкупност от подмножества на дадено множество $X$ е еквивалентно на това да зададем допълненията им. Това е така, тъй като всяко множество $Y\subseteq X$, може да се отъждестви с характеристичната му функция $\chi_Y(x)=\begin{cases}1,x\in Y\\ 0,x\notin Y\end{cases}$. Разменяйки местата на 0 и 1 в горната функция, получаваме характеристичната функция на $X\setminus Y$. - Покажете, че едно множество е отворено, ако допълнението му е затворено.
Забележка. Това показва, че затворените множества в $\mathbb{F}$ също задават топологията на $\mathbb{F}$. - Покажете, че $U\subseteq\mathbb{}$ е затворено множество в $\mathbb{F}$, тогава и само тогава, когато за всяка сходяща редица $\{a_k\}_{k=1}^{\infty}\subseteq U$, е вярно че $\lim a_k\in U$.
Забележка. Това показва, че затворените множества са тези, които съдържат границите на всички свои сходящи редици. - Дайте пример на подмножество на $\mathbb{F}$, което е нито отворено нито затворено.
Забележка. Повечето подмножества на $\mathbb{F}$ са нито отворени, нито затворени. Отворените и затворените множества са, така да се каже, благородни множества и имат фиксирани свойства. Причината да разглеждаме подмножествата на $\mathbb{F}$ е, че по-нататък ще се интересуваме от функции, дефинирани върху подмножества на $\mathbb{F}$, тъй като не е достатъчно да се разглеждат само функции дефинирани върху цялото $\mathbb{F}$. Свойствата на функциите зависят от множествата, върху които са дефинирани. Изобщо, свойствата на функциите, дефинирани върху отворени или затворени множества, силно се различават.
Компактни множества
Нека $(X,\tau)$ е топологично пространство и $A\subseteq X$. Казваме, че $\sigma\subseteq\tau$ е отворено покритие на $A$, ако $A\subseteq\cup\sigma$. Казваме, че $A$ е компактно, ако за всяко отворено покритие $\sigma$ на $A$, съществуват число $n\in\mathbb{N}$ и отворени множества $\sigma_1,\ldots,\sigma_n\in\sigma$, такива че $A\subseteq \cup_{k=1}^n\sigma_k$. С други думи, $A$ е компактно, ако от всяко отворено покритие на $A$, може да се избере крайно подпокритие.
Теорема. (на Хайне-Борел) За произволно множество $K\subseteq\mathbb{C}$ следните условия са еквивалентни:
- $K$ е компактно,
- за всяка редица $(z_n)_{n=1}^{\infty}\subset K$ съществува сходяща подредица $(z_{n_k})_{k=1}^{\infty}$ такава, че $\lim\limits_{k\to\infty}z_{n_k}\in K$,
- $K$ е затворено и ограничено .
Оттук следва, че компактността на едно множество в $\mathbb{F}$ се характеризира със затвореност и ограниченост, което показва, че бихме могли да дефинираме компактните множества, и като затворени и ограничени множества. Ще отбележим, че в произволно топологично пространство, затворените и ограничени множества не са длъжни да са компактни. И тъй, за затворени и компактни множества имаме различни еквивалентни описания.
Следващата теорема е обобщение на теоремата на Кантор за вложените интервали.
Теорема. (на Кантор за вложените компакти) Нека $(K_j)_{j\in\mathbb{N}}$ е редица от компакти в $\mathbb{C}$, за която $K_{j+1}\subset K_j$, за всяко $j\in\mathbb{N}$ и $\text{diam }K_j\to 0$ при $j\to\infty$. Тогава съществува $a\in \mathbb{C}$, такова че $\bigcap_{j\in\mathbb{N}}K_j=\{a\}$.
Доказателство. Нека $z_j\in K_j$, $j\in\mathbb{N}$. Тогава за всяко $p\in\mathbb{N}$ имаме $z_{j+p}\in K_j$. Тъй като $\text{diam }K_j\to 0$ при $j\to\infty$, за всяко $\varepsilon>0$, съществува $m\in\mathbb{N}$, такова че при $j>m$ имаме $\text{diam }K_j<\varepsilon$. Следователно при $j>m$ и $p\in\mathbb{N}$ имаме $|z_{j+p}-z_j|\leq \text{diam } K_j<\varepsilon$, което показва, че редицата $(z_j)_{j\in\mathbb{N}}$ е фундаментална. Тъй като в $\mathbb{C}$ всяка фундаментална редица е сходяща, съществува $a\in\mathbb{C}$, такова че $z_j\to a$. От друга страна, за всички $j\in\mathbb{N}$, редицата $(z_{p+j})_{p\in\mathbb{N}}\subset K_j$ е сходяща с граница $a$. Тъй като всеки компакт $K_j$ е затворено множество, той съдържа границите на всички свои сходящи редици. Следователно $a\in \bigcap_{j\in\mathbb{N}}K_j$. Ако $b\in\bigcap_{j\in\mathbb{N}}K_j$, то за всяко $j\in\mathbb{N}$ имаме $|a-b|\leq\text{diam }K_j$. В частност при $j>m$ имаме $|a-b|\leq\text{diam }K_j<\varepsilon$, откъдето $a=b$. Следователно $\bigcap_{j\in\mathbb{N}}K_j=\{a\}$.
Упражнения
- Проверете, че следните множества са компактни $\emptyset, \{a\}$, $\overline{B(a,r)}$, където $a\in\mathbb{C}$, $r>0$.
- Покажете, че всяко компактно множество е затворено. Вярно ли е обратното и защо?
- Покажете, че всяко компактно множество е ограничено.
- Покажете, че ако едно множество $U\subseteq\mathbb{F}$ е затворено и ограничено, то е компактно.