За всяко $z\in\mathbb{F}$ дефинираме $\cosh z=\frac{e^z+e^{-z}}{2}$, $\sinh z=\frac{e^z-e^{-z}}{2}$ (косинус и синус хиперболичен от $z$). Функциите $z\mapsto\sinh z$ и $z\mapsto\cosh z$ се наричат хиперболичен синус и хиперболичен косинус (хиперболични функции). Хиперболичните функции имат аналогични свойства на тригонометричните и за комплексни стойности на аргумента има връзка между тях (вж. тъждествата от предпоследния ред в упражнение 1). По-нататък ще дадем геометрична интерпретация на тези функции.
Упражнения
- Докажете следните тъждества: $$\\ \cosh^2z-\sinh^2z=1 \\\sinh(z + w) = \sinh z \cosh w + \cosh z \sinh w \\ \cosh(z+w) = \cosh z \cosh w + \sinh z \sinh w \\ \cosh (-z) = \cosh z,\quad \sinh(-z) = -\sinh z \\ \cosh z + \sinh z = e^z \\ \cosh(z+2\pi i)=\cosh z, \quad \sinh(z+2\pi i)=\sinh z, \\ \cosh iz=\cos z,\quad \sinh iz=i\sin z, \\
\cosh z=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{2k}}{(2k)!}, \quad \sinh z=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}$$ - Покажете, че ако $z\in\mathbb{R}$ то $\cosh z, \sinh z\in\mathbb{R}$.
- Намерете всички стойности на $z\in\mathbb{C}$, за които $\cosh z=0, \sinh z=0$.
- Намерете всички стойности на $y\in\mathbb{R}$, за които $\sinh y=x$, където $x\in\mathbb{R}$.
- Намерете всички стойности на $y\in\mathbb{R}$, за които $\cosh y=x$, където $x\in[1,+\infty)$.
- Дефинираме $\tanh z=\frac{\sinh z}{\cosh z}$ за $z\notin \frac{i\pi}{2}+\pi i\mathbb{Z}$ (тангенс хиперболичен от $z$) и $\coth z=\frac{\cosh z}{\sinh z}$ за $z\notin\pi i\mathbb{Z}$ (котангенс хиперболичен от $z$). За всички допустими стойности на $z, w\in\mathbb{F}$, докажете следните тъждества: $$\tanh(-z)=-\tanh z, \coth(-z)=-\coth z, \\ \tanh(z\pm w)=\frac{\tanh z\pm \tanh w}{1\pm \tanh z\tanh w}, \\ \coth(z\pm w)=\frac{\coth z\coth w\pm 1}{\coth w\pm\coth z} \\ \left(\frac{1}{\cosh z}\right)^2+(\tanh z)^2=1, \\ (\coth z)^2 -\left(\frac{1}{\sinh z}\right)^2=1.$$