Нека $U\subseteq\mathbb{F}$ и $a\in\mathbb{F}$. Казваме, че:
a) $a$ е изолирана точка на $U$, ако $a\in U$ и съществува $r>0$, такова че $U\cap B_r(a)=\{a\}$,
б) $а$ е точка на сгъстяване за $U$, ако съществува редица $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\subset U$, за която $a_n\neq a$ за всички $n\in\mathbb{N}$ и $a_n\to a$,
в) $\infty$ е точка на сгъстяване за $U$, ако съществува редица $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\subset U$, за която $a_n\to\infty$,
г) $+\infty$ ($-\infty$) е точка на сгъстяване за $U\subseteq\mathbb{R}$, ако съществува редица $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\subset U$, за която $a_n\to+\infty$ ($a_n\to-\infty$).
- Покажете, че $a\in U$ е точка на сгъстяване за $U$ тогава и само тогава, когато тя не е изолирана точка на $U$. Забележка. Оттук виждаме, че всички точки от $U$, които не са изолирани, са точки на сгъстяване за $U$ и че други точки от $U$, които не са точки на сгъстяване няма. От друга страна, $U$ може да има и други точки на сгъстяване, които не са от $U$. Например, за можеството $U=\{w\in\mathbb{C}|w=\frac{1}{z}, z\in\mathbb{C}\}$, точката $0\notin U$ е точка на сгъстяване за $U$, тъй като за редицата $a_n=\frac{1}{n}$ от елементи на $U$ имаме $a_n\neq 0$ за всички $n\in\mathbb{N}$ и $a_n\to 0$. Като друг пример можем да посочим точката $\infty$. Тя е точка на сгъстяване за $\mathbb{F}$, но не е елемент на $\mathbb{F}$. Аналогично $+\infty$ и $-\infty$ са точки на сгъстяване за $\mathbb{R}$, но не са елементи на $\mathbb{R}$. Решение. Нека $a\in U$ е точка на сгъстяване за $U$. Тогава съществува редица $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\subset U$, за която за която $a_n\neq a$ за всички $n\in\mathbb{N}$ и $a_n\to a$. Тогава за всяко $\varepsilon>0$, съществува $m\in\mathbb{N}$, такова че за всички $n>m$ е вярно че $|a_n-a|<\varepsilon$. Оттук виждаме, че за всяко $\varepsilon>0$ е вярно че $U\cap B_{\varepsilon}(a)\setminus\{a\}\neq\emptyset$. Ако допуснем, че $a$ е изолирана, то съществува $\delta>0$ такова, че $U\cap B_{\delta}(a)=\{a\}$. Тогава $U\cap B_{\delta}(a)\setminus\{a\}=\emptyset$, което е противоречие. Обратно, ако $a\in U$ не е изолирана, то за всяко $k\in\mathbb{N}$, съществува $a_k\in U\cap B_{\frac{1}{k}}(a)$, такова че $a_k\neq a$. Тогава $|a_k-a|<\frac{1}{k}$ за всички $k\in\mathbb{N}$, т. е. $a_n\to a$, което показва, че $a$ е точка на сгъстяване за $U$.
- Покажете, че $a\in\mathbb{F}$ е точка на сгъстяване за $U\subseteq\mathbb{F}$, тогава и само тогава, когато за всяко $r>0$ е вярно че $U\cap B_r(a)\setminus\{a\}\neq\emptyset$. Забележка. Геометрично погледнато това означава, че във всяко кълбо (кръг или симетричен интервал) с център в точката $a$, и радиус $r>0$, съществуват точки от $U$ различни от $a.$ Решение. Ако $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\subset U$ е редица, за която $a_n\neq a$, за всички $n\in\mathbb{N}$ и $a_n\to a$, то за всяко $\varepsilon>0$ е вярно че $U\cap B_{\varepsilon}(a)\setminus\{a\}\neq\emptyset$. Обратно, ако за всяко $r>0$ е вярно че $U\cap B_r(a)\setminus\{a\}\neq\emptyset$, то за всяко $k\in\mathbb{N}$, имаме че съществува $a_k\in U\cap B_{\frac{1}{k}}(a)\setminus\{a\}$. Нека $\varepsilon>0$ e произволнo. От принципа на Архимед имаме, че съществува число $m\in\mathbb{N}$, такова че $\frac{1}{m}<\varepsilon$. Тогава за всички $k>m$ имаме $|a_k-a|<\frac{1}{k}<\frac{1}{m}<\varepsilon$, т. е. $a_n\to a$.
- Покажете, че $\infty$ е точка на сгъстяване за $U\subseteq\mathbb{F}$, тогава и само тогава, когато $U$ е неограничено.
- Покажете, че $+\infty$ ($-\infty$) е точка на сгъстяване за $U\subseteq\mathbb{R}$, тогава и само тогава, когато $U$ е неограничено отгоре (отдолу).