След въвеждането на основните понятия и означения, сме в състояние да формулираме основното твърдение, което ще приемем за аксиома, и което ще бъде отправната точка, от която ще развием теорията на диференциалното и интегрално смятане.
Аксиома. Съществува единствено (с точност до изоморфизъм) наредено поле, в което всяко непразно ограничено отгоре подмножество има точна горна граница.
Това поле ще означаваме с $\mathbb{R}$, а елементите му ще наричаме реални числа. Съществуването на такова поле може да се усанови по различни начини, изхождайки от аксиоми на теория на множествата (една част от които фигурират неявно тук), или изхождайки от аксиоми на множеството на естествените числа (за формулирането на които също са необходими теоретико-множествени сведения). Tози въпрос излиза извън целта на курса и не се разглежда подробно в настоящият текст.
Подробно изказана, горната аксиома гласи, че съществува множество $\mathbb{R}$, в което са зададени две операции $+$, $\cdot$ и релация $<$, които имат следните свойства:
1) за всички $a,b\in\mathbb{R}$ е вярно $a+b=b+a$,
2) за всички $a,b,c\in\mathbb{R}$ е вярно $(a+b)+c=a+(b+c)$,
3) съществува елемент $0\in\mathbb{R}$, такъв че за всички $a\in\mathbb{R}$ е вярно $a+0=a$,
4) за всеки елемент $a\in\mathbb{R}$ съществува елемент $-a\in\mathbb{R}$, такъв че $a+(-a)=0$,
5) за всички $a,b\in\mathbb{R}$ е вярно $a\cdot b=b\cdot a$,
6) за всички $a,b,c\in\mathbb{R}$ е вярно $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$,
7) съществува елемент $1\in\mathbb{R}\setminus{0}$, такъв че за всички $a\in\mathbb{R}$ е вярно $a\cdot 1=a$,
8) за всеки елемент $a\in\mathbb{R}\setminus{0}$, съществува елемент $a^{-1}\in\mathbb{R}$, такъв че $a\cdot a^{-1}=1$,
9) за всички $a,b,c\in\mathbb{R}$ е вярно $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$,
10) за всички $a,b\in\mathbb{R}$ е вярно или $a<b$ или $a=b$ или $b<a$,
11) за всички $a,b,c\in\mathbb{R}$, ако $a<b$ и $b<c$, то $a<c$,
12) за всички $a,b,c\in\mathbb{R}$, ако $a<b$, то $a+c<b+c$,
13) за всички $a,b,c\in\mathbb{R}$, ако $a<b$ и $0<c$, то $a\cdot c<b\cdot c$,
14) за всяко непразно ограничено отгоре множество $M\subseteq\mathbb{R}$, съществува $\sup M\in\mathbb{R}$.
Забележка. Тъй като за всяко множество $M$ имаме, че $\emptyset\subseteq M$, ако $M$ е наредено, то всеки негов елемент се явява, както горна, така и долна граница за $\emptyset$, т. е. $\emptyset$ е ограничено множество. Това показва, че $\emptyset$ не притежава нито точна горна, нито точна долна граница.
Забележка. Свойство 14) се нарича Принцип за непрекъснатост на реалните числа. В следаващите теми ще видим, че съществуват наредени полета, в които принципът за непрекъснатост не е валиден. Наредено поле, в което е изпълнен принципът за непрекъснатост се нарича непрекъснато наредено поле. Тъй като $\emptyset$ е ограничено, но не притежава нито точна горна, нито точна долна граница, във формулировката на принципa за непрекъснатост се споменават само непразните ограничени подмножества. Ще отбележим още, че принципът за непрекъснатост би могъл да се формулира и за ограничени отдолу множества (Всяко непразно ограничено отдолу подмножество в $\mathbb{R}$ има точна долна граница в $\mathbb{R}$.), или направо за ограничени множества (Всяко непразно ограничено подмножество в $\mathbb{R}$ има точна горна и точна долна граница в $\mathbb{R}$.). Всяка една от тези формулировки влече верността на останалите две.
Упражнения
- Да се формулира отрицанието на твърдението: а) $M\subseteq\mathbb{R}$ е ограничено отгоре (отдолу), б) $M\subseteq\mathbb{R}$ е ограничено.
- Нека $M\subseteq\mathbb{R}$ е непразно, ограничено отгоре (отдолу) множество. Покажете, че множеството $-M=\{x\in\mathbb{R}|-x\in M\}$ е ограничено отдолу (отгоре) и $\inf(-M)=-\sup M$, ($\sup(-M)=-\inf M$).
- Нека $M, N\subseteq\mathbb{R}$ са непразни, ограничени отгоре (отдолу) множества. Покажете, че множеството $M+N=\{x+y\in\mathbb{R}|(x,y)\in M\times N\}$ е ограничено отгоре (отдолу) и $\sup(M+N)=\sup M+\sup N$, ($\inf(M+N)=\inf M+\inf N$).
Интервали
Интервалите са често срещани подмножества на $\mathbb{R}$, за които са въведени специални имена и означения.
Ако $a,b\in\mathbb{R}$ и $a<b$, множеството $\{x\in\mathbb{R}|a<x \textit{ и } x<b\}$ се нарича отворен интервал и се означава с $(a,b)$. Множеството $\{x\in\mathbb{R}|a\leq x \textit{ и } x\leq b]\}$ се нарича затворен интервал и се означава с $[a,b]$. Множеството $\{x\in\mathbb{R}|a\leq x \textit{ и } x<b\}$ се нарича полуотворен отдясно (полузатворен отляво) интервал и се означава с $[a,b)$. Множеството $\{x\in\mathbb{R}|a< x \textit{ и } x\leq b\}$ се нарича полуотворен отляво (полузатворен отдясно) интервал и се означава с $(a,b]$. Множествата $\{x\in\mathbb{R}|x>a\}$, $\{x\in\mathbb{R}|x<a\}$, $\{x\in\mathbb{R}|x\geq a\}$ и $\{x\in\mathbb{R}|x\leq a\}$ се наричат безкрайни интервали и се означават съответно с $(a,+\infty)$, $(-\infty,a)$, $[a,+\infty)$ и $(-\infty,a]$. Ще отбележим, че интервалите са множества, които могат да се дефинират в произволно наредено поле.
Упражнения
- В кои случаи обединение и сечение на два интервала е интервал?
- Ако $x\in\mathbb{R}$, числото $\max\{x,-x\}$ се нарича абсолютна стойност на $x$ (или модул) и се означава с $|x|$. Проверете, че: a) $|x|\geq 0$ и $|x|=0$, тогава и само тогава, когато $x=0$, б) $|x|=x$ при $x\geq 0$ и $|x|=-x$ при $x\leq 0$, в) $|-x|=|x|$, г) $|xy|=|x||y|$, д) $|x+y|\leq |x|+|y|$ (неравенство на триъгълника), е) $|x-a|<\varepsilon$ тогава и само тогава, когато $x\in(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$, ж) $|x-a|\geq\varepsilon$, тогава и само тогава, когато $x\in(-\infty,a-\varepsilon]\cup[a+\varepsilon,+\infty)$.
- Нека $\text{sign }:\mathbb{R}\setminus\{0\}\mapsto\{1,-1\}$ се определя с $\text{sign }(x)=x|x|^{-1}$. Проверете, че $\text{sign }$ е хомоморфизъм на групи.
- Нека $M, N\subseteq(0,+\infty)$ са непразни, ограничени отгоре (отдолу) множества. Покажете, че множеството $M.N=\{x.y\in\mathbb{R}|(x,y)\in M\times N\}$ е ограничено отгоре (отдолу) и $\sup(M.N)=\sup M.\sup N$, ($\inf(M.N)=\inf M.\inf N$).
Забележка. Важно е да се разберат и запомнят определението и твърденията от 2), тъй като те ще се използват многократно по-нататък.