Рационални числа

Ако $p,q\in\mathbb{R}$ и $q\neq 0$, числото $pq^{-1}$ означаваме с $\frac{p}{q}$ (четем $p$ върху $q$) и наричаме частно с числител $p$ и знаменател $q$. Рационално число се нарича всяко реално число $\frac{p}{q}$, където $p,q\in\mathbb{Z}$ и $q\neq 0$. Рационалното число $\frac{p}{q}$ наричаме обикновена дроб} (или отношение на $p$ и $q$). Множеството на рационалните числа означаваме с $\mathbb{Q}$. Така по определение $$\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}\in\mathbb{R}\Big|p,q\in\mathbb{Z}\textit{ и } q\neq 0\right\}.$$ Очевидно $\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.

  1. Проверете, че ако $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ и $b,d\neq 0$, то $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$ и $\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$. Забележка. Оттук виждаме, в частност, че сумата и произведението на две рационални числа са рационални и се пресмятат по посочените формули.
  2. Проверете, че $\mathbb{Q}$ е наредено поле по отношение на операциите в $\mathbb{R}$.
  3. Покажете, че всяко рационално число може да се представи като отношение на две цели числа, поне едно от които е нечетно.
  4. За всяко $n\in\mathbb{N}$ произведението $1.2.3.\ldots.n=\prod_{k=1}^nk$ означаваме с $n!$ (четем $n$ факториел). По определение $0!=1$. Ако $\alpha\in\mathbb{R}$ и $n\in\mathbb{N}$, числото $\frac{\alpha(\alpha-1)\ldots (\alpha-n+1)}{n!}$ означаваме с $\binom{\alpha}{n}$ (четем $\alpha$ над $n$) и наричаме биномен коефициент. По определение $\binom{\alpha}{0}=1$. Проверете, че: а) ако $\alpha\in\mathbb{N}\cup\{0\}$ и $n\leq\alpha$, то $\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha!}{n!(\alpha-n)!}$, б) ако $k, n\in\mathbb{N}$, то $\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}$ (триъгълник на Паскал), в) ако $x\in\mathbb{R}$ и $n\in\mathbb{N}$, то $(1+x)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k$ (бином на Нютон), г) ако $x,y\in\mathbb{R}$, и $n\in\mathbb{N}$, то $(x+y)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^ky^{n-k}$, д) пресметнете $\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}$ и $\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}$, е) ако $x\in\mathbb{R}$ и $n\in\mathbb{N}$, то $1-x^n=(1-x)\sum_{k=0}^{n-1}x^k$, ж) ако $x,y\in\mathbb{R}$ и $n\in\mathbb{N}$, то $y^n-x^n=(y-x)\sum_{k=0}^{n-1}x^ky^{n-k-1}$, з) ако $x\in\mathbb{R}$ и $n\in\mathbb{N}$, то $1-(-x)^n=(1+x)\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^kx^k$.
  5. (Гъстота на рационалните числа) Покажете, че ако $x,y\in\mathbb{R}$ и $x<y$, то съществува $r\in\mathbb{Q}$, такова че $x<r<y$.
  6. Нека $A=\{x\in\mathbb{Q}|x>0, x^2<2\}$, $B=\{x\in\mathbb{Q}|x>0, x^2>2\}$. Покажете, че: а) за всяко $p\in A$, съществува $q\in A$ такова, че $p<q$, б) за всяко $p\in B$, съществува $q\in B$ такова, че $q<p$.
  7. Покажете, чe не съществува $x\in\mathbb{Q}$ такова, че $x^2=2$.
  8. Покажете, че принципът за непрекъснатост не важи в $\mathbb{Q}$.
  9. (Коренуване) Покажете, че за всяко число $n\in\mathbb{N}$ и $x\in [0,+\infty)$, съществува единствено число $y\in[0,+\infty)$, такова че $y^n=x$. Това число $y$ означаваме с $\sqrt[n]{x}$, т. е. по оределение $(\sqrt[n]{x})^n=x$.
  10. (Правила за коренуване) Покажете, че за всички $n,m\in\mathbb{N}, p\in\mathbb{Z}, a,b\in(0,+\infty)$ е вярно: а) $\sqrt[n]{a.b}=\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}$, б) $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[mn]{a}$, в) $\sqrt[n]{\frac{1}{a}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a}}$, г) $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$, д) $\sqrt[n]{a^p}=(\sqrt[n]{a})^p$, е) $\sqrt[nq]{a^{pq}}=\sqrt[n]{a^p}$, $q\in\mathbb{N}$.
  11. За всяко $a\in(-\infty,0)$ и всяко нечетно $n\in\mathbb{N}$, дефинираме $\sqrt[n]{a}=-\sqrt[n]{-a}$. Покажете, че за всички нечетни $n,m\in\mathbb{N}, p\in\mathbb{Z}$ и $a, b\in(-\infty,0)$ са валидни твърденията от 10.
  12. Покажете, че за всяко $a\in\mathbb{R}$: а) ако $n\in\mathbb{N}$ и $p\in\mathbb{Z}$ е четно, то $\sqrt[n]{a^p}=(\sqrt[n]{|a|})^p$, б) ако $n\in\mathbb{N}$ e нечетно и $p\in\mathbb{Z}$, то $\sqrt[n]{a^p}=(\sqrt[n]{a})^p$ ($a\neq 0$ при $p\leq 0$).

назад