В предната тема дефинирахме и описахме някои основни свойста на непрекъснатите функции, които важат както за комплексни функции на комплексен аргумент, така и за реални функции на реален аргумент. От друга страна, непрекъснатите функции на реален аргумент, които приемат реални стойности имат някои специфични свойства, които произтичат от наредбата на реалните числа, и които нямат аналог при комплексните функции. Такива именно свойства ще разгледаме в тази тема.
Теорема. Ако $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ е непрекъсната в $[a,b]$ и $f(a)f(b)<0$, то съществува $c\in(a,b)$ такова, че $f(c)=0$. (теорема на Болцано-Вайерщрас)
Това твърдение играе основна роля при дефинирането на голяма част от елементарните функции.
Упражнения
- Покажете, че ако $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ е непрекъсната в $[a,b]$ и $c,d\in f([a,b])$ като $c<d$, то за всяко $y\in [c,d]$, съществува $x\in[a,b]$ такова, че $f(x)=y$.
Монотонни непрекъснати функции
Казваме, че една функция $f:М\to\mathbb{R}$, където $M\subseteq\mathbb{R}$ е растяща (намаляваща) в интервала $(a,b)\subseteq M$, ако за всички $x,y\in (a,b)$, за които $x<y$ е вярно, че $f(x)\leq f(y)$, ($f(x)\geq f(y)$). Ако последните неравенства са строги, казваме че функцията е строго растяща (намаляваща) в $(a,b)$. Казваме, че $f$ е монотонна (строго монотонна), ако тя е растяща или намаляваща (строго растяща или строго намаляваща) в дефиниционното си множество.
Упражнения
- Покажете, че композиция на монотонни функции е монотонна функция.
- Покажете, че ако $M\subseteq{R}$ и $f:M\to f(M)\subseteq\mathbb{R}$ е строго монотонна функция, то тя е обратима и обратната функция има същата монотонност.
- Покажете, че ако $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ е непрекъсната монотонна функция, то $f([a,b])=[c,d]$, където $c=\min{f(a),f(b)}, d=\max{f(a),f(b)}$. Доказателство. Тъй като $f$ е монотонна в $[a,b]$, имаме че $f([a,b])\subseteq[c,d]$, където $c=\min{f(a),f(b)}, d=\max{f(a),f(b)}$. Тъй като $f$ е непрекъсната и $f(a)\in f([a,b])$ и $f(b)\in f([a,b])$, твърдението следва от задача 1 на предния параграф.
- Покажете, че всяка непрекъсната и строго монотонна функция $f:[a,b]\to f([a,b])$ има непрекъсната обратна функция със същата монотоннност. Доказателство. От задача 2. имаме, че $f$ е обратима и обратната функция е със същата монотонност. Тъй, като $f$ е дефинирана върху компакта $[a,b]$, от задача 3 на тази тема получаваме, че обратната функция е непрекъсната.