В тази тема ще разгледаме основните свойства на непрекъснатите функции, дефинирани върху компактен интервал или компактно множество от комплексни числа.
Теорема. (на Вайерщрас) Нека $K\subseteq\mathbb{F}$ е компакт и $f:K\to\mathbb{R}$ е непрекъсната функция. Тогава съществуват $x,y\in K$, такива, че $f(x)=\inf\{f(t)|t\in K\}$, $f(y)=\sup\{f(t)|t\in K\}$.
Упътване за доказателство. Покажете, чрез допускане на противното, отчитане на компактността и непрекъснатостта, че функцията е ограничена. Съгласно принципа за непрекъснатост, нейното множество от стойности има точна горна и точна долна граница. Да се отчете дефиницията на точни горна или долна граница, компактността и непрекъснатостта.
Забележка. Теоремата на Вайерщрас е основна теорема за съществуване и е една от най-важните теореми за непрекъснати реални функции. Според нея, всяка непрекъсната върху компакт функция, достига точна горна и точна долна граници на множеството си от стойности.
Упражнения
- Покажете, че всички предположения от теоремата на Вайерщрас са съществени. Упътване. Разгледайте $f(x)=\frac{1}{x}$, за $x\in(0,1)$ или $f(x)=x$ за $x\in\mathbb{R}$ или $f(x)=x\text{sign }{[x(1-x)]}$, за $x\in[0,1]$.
- Нека $K\subseteq\mathbb{F}$ е компакт, а $f:K\to\mathbb{F}$ е непрекъсната. Покажете, че $f(K)$ е компакт. Забележка. По същество това твърдение е една друга (по-обща) формулировка на теоремата на Вайерщрас, която е валидна във всяко множество, в което е дефинирано понятието сходяща редица.
- Нека $K\subseteq\mathbb{F}$ е компакт. Покажете, че ако $f:K\to f(K)$ е непрекъсната и обратима, то и обратната функция $f^{-1}:f(K)\to K$ на $f$ е непрекъсната. Забележка. Предположението, че $K$ е компакт е съществено. Без него твърдението не е вярно. Например функцията $f(x)=\begin{cases}x-1, x\in[0,1]\\ x-2, x\in(2,3]\end{cases}$ е непрекъсната и обратима, обаче обратната функция $g(x)=\begin{cases}x+1, x\in[-1,0]\\ x+2, x\in(0,1]\end{cases}$ има прекъсване в точката $0$. Причината за това е, че дефиниционното множество $[0,1]\cup(2,3]$ не е компакт. Доказателство. Нека $y\in f(K)$ и $\{y_n\}_{n=1}^{\infty}\subset f(K)$ е произволна редица за която $y_n\to y$. Трябва да докажем, че $f^{-1}(y_n)\to f^{-1}(y)$. Нека $x_n=f^{-1}(y_n), n\in\mathbb{N}$. Тъй като $K$ е компакт, редицата $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}\subset K$ има сходяща подредица $\{x_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}$, с граница $x\in K$. Тъй като $f$ е непрекъсната в $K$ имаме, че $f(x_{n_k})\to f(x)$. От друга страна $f(x_{n_k})=f(f^{-1}(y_{n_k}))=y_{n_k}$ и следователно $y_{n_k}\to f(x)$. Tъй като $\{y_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}$ е подредица на сходящата редица $\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty}$, имаме $y_{n_k}\to y$. Следователно $f(x)=y$, откъдето $x=f^{-1}(y)$. Така установихме, че $x_n\to f^{-1}(y)$, което означава, че $f^{-1}(y)$ е точка на сгъстяване за редицата $\{f^{-1}(y_n)\}_{n=1}^{\infty}$. Остана да докажем, че тази точка на сгъстяване е единствена. Ако допуснем, че редицата $\{f^{-1}(y_n)\}_{n=1}^{\infty}$ (или иначе казано $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$) има точка сгъстяване $z\in K$ и $z\neq f^{-1}(y)$, то съществува подредица $\{x_{m_k}\}_{k=1}^{\infty}$, такава че $x_{m_k}\to z$. Тогава $f(x_{m_k})\to f(z)$, т. е. $y_{m_k}\to f(z)$, и тъй като $y_{m_k}\to y$, получаваме $f(z)=y$, което е противоречие с $z\neq f^{-1}(y)$.