В настоящата тема ще дефинираме най-важната функция в математиката, а именно експоненциалната функция. Проверява (например с критерия на Даламбер), че за всяко $z\in\mathbb{F}$ редът $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{k!}$ е абсолютно сходящ и при $z=1$, сумата му съвпада с неперовото число $e=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}$. Проверява се, чрез умножение на редове, че ако $n\in\mathbb{N}$, то $e^n=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{n^k}{k!}$. Затова сумата на реда $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{k!}$ означаваме с $e^z$. Функцията $\mathbb{C}\ni z\mapsto e^z\in\mathbb{C}$ се нарича експоненциална функция (експонента) и се означава с $\exp$. От теоремата за умножение на редове имаме, че ако $z,w\in\mathbb{F}$, то $e^{z+w}=e^z\cdot e^w$ (основно свойство на експонентата) (вж. 2 и 3 на тази тема). Основното свойство на експонентата показва, че тя е хомоморфизъм на групи. Целта на следващите упражнения е да установим някои допълнителни свойства на експонентата.
Упражнения
- Покажете че за всички $z\in\mathbb{F}$ е изпълнено $e^z\neq 0$.
- Покажете, че $\overline{e^z}=e^{\overline{z}}$,
- Покажете, че ако $f:\{1,\ldots,n\}\to\mathbb{F}$, то $e^{\sum_{k=1}^nf(k)}=\prod_{k=1}^ne^{f(k)}$.
- Покажете, че функцията $z\mapsto e^z$ е непрекъсната в $\mathbb{F}$.
- Покажете, че за всички $x\in\mathbb{R}$ е вярно $e^x>0$.
- Покажете, че за всички $x,y\in\mathbb{R}$, ако $x<y$, то $e^x<e^y$.Забележка. Твърденията от горните упражнения показват, че експонентата е функция, която никъде не се анулира, и върху $\mathbb{R}$ e положителна и строго растяща.
- Покажете, че за всяко реално $y>0$, съществува $x\in\mathbb{R}$ такова, че а) $e^x>y$, б) $e^x<y$. Доказателство. а) За всички $x\in\mathbb{R}$ имаме $e^x>x$. За всяко $y>0$, съществува $b>y$. Тогава $e^{b}>b>y$. б) От а) имаме, че за всяко $y>0$ съществува $a>0$, такова че $e^a>\frac{1}{y}$, оттук $e^{-a}<y$.
- Покажете, че за всяко реално $y>0$, съществува единствено $x\in\mathbb{R}$ такова, че $e^x=y$. Доказателство. От 7. имаме, че за всяко $y>0$ съществуват числа $a,b\in\mathbb{R}$ такива, че $e^a<y<e^b$. При това $a<b$ (защо?). За функцията $f(x)=e^x-y$ разглеждана в интерала $[a,b]$ имаме, че е непрекъсната (защо?) и $f(b)f(a)<0$. Твърдението следва от теоремата на Болцано-Вайерщрас (вж. 1 на тази тема). Забележка. Тази задача показва, че експоненциалната функция, върху $\mathbb{R}$, приема всички положителни стойности. По-нататък ще се убедим, че върху $\mathbb{C}$ тя приема всички ненулеви комплексни стойности.