Важни примери на множества с операции, които ще разгледаме са групите, пръстените и полетата.

Групи

Mножество $G$ с бинарна операция $$ (т. е. двойката $(G,)$) се нарича група, ако
1) $*$ е асоциативна,
2) съществува неутрален елемент относно $*$ ,
3) за всеки елемент на $G$ съществува обратен елемент относно $*$.
Групата $G$ се нарича комутативна (или абелева), ако операцията в $G$ е комутативна. Съгласно Твърдение setoper, във всяка група, неутралният елемент е единствен и всеки елемент има единствен обратен елемент.
Нека $(G,*_G)$ и $(H,*_H)$ са групи. Казваме, че изображението $f:G\to H$ е хомоморфизъм, ако за всички $a,b\in G$ е вярно $f(a*_G b)=f(a)*_Hf(b)$. Казваме, че хомоморфизмът на групи $f$ е изоморфизъм, ако $f$ е биекция. Ако между две групи има изоморфизъм, казваме, че те са изоморфни, или че те съвпадат с точност до изоморфизъм. От алгебрична гледна точка изоморфните групи са неразличими.

Пример 5.1. Mножеството $G=\{a,b\}$, с операция $*:G\times G\to G$, дефинирана с равенствата $a*a=a, a*b=b*a=b, b*b=a$ е комутативна група.
Доказателство. Oт определението имаме, че операцията $*$ е комутативна. Тя е асоциативна, понеже за всички $ x,y,z\in G$ е вярно, че $(x*y)*z=x*(y*z)$. В действителност, ако например $x=a,y=b,z=a$, то отчитайнки дефиницията на $*$, получаваме $(a*b)*a=b*a=a*b=a*(b*a)$. Аналогично се проверява горното съотношение, със заместване на $x,y,z$ с кой да е от елементите $a,b$. Проверете! В $G$ има неутрален елемент относно операцията $*$. Наистина такъв елемент се явява елементът $a$, тъй като за всички $x\in G$ е вярно, че $x*a=x$. Всеки елемент на $G$ има обратен елемент. Наистина, $a^{-1}=a$, понеже $a*a=a$ и $b^{-1}=b$, понеже $b*b=a$.

Пример 5.2. Нека $M\neq\emptyset$ е произволно множество и $G=\{f:M\to M| f$ е биекция$\}$. Нека $:G\times G\to G$ се задава с $f*g=f\circ g$, т. е. операцията $*$ в $G$ е композицията на изображения. Тогава $G$ e група, която не е абелева.
Доказателство. Операцията $*$ е асоциативна и не е комутативна, тъй като за всички $f,g,h\in G$ е вярно $$(f*g)*h=(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f*(g*h)$$ и $$f*g=f\circ g\neq g\circ f=g*f$$ (вж. Упражнение asockomp). Неутрален елемент относно композицията на изображения е идентитетът $\text{id}_M:M\to M$, понеже той е биекция и за всички $ f\in G$ е вярно, $f\circ \text{id }_M=f$ и $\text{id }_M\circ f=f$ (вж. Упражнение idcomp). Обратният елемент на всеки елемент $f$ на $G$, относно $*$, е изображението $f^{-1}$, което е биекция
и $f\circ f^{-1}=\text{id }_M$ и $f^{-1}\circ f=\text{id }_M$ (вж. Tвърдение identM).

Упражнения

5.1. Нека $G$ е група с операция $*$. Покажете, че за произволни $a,b\in G$ съществува единствен елемент $x\in G$ такъв, че
a) $a*x=b$,
б) $x*a=b$.
5.2. Нека $G$ е група с операция $*$ и неутрален елемент $e$. Покажете, че
a) $e^{-1}=e$,
б) за произволни $a,b\in G$ е вярно $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$.
5.3. Нека $G$ и $H$ са групи с операции $G$ и $_H$ и $f:G\to H$ е хомоморфизъм. Проверете, че ако $e_G$ и $e_H$ са неутралните елементи относно $_G$ и $\cdot _H$, то $f(e_G)=e_H$ и $f(a)^{-1}=f(a^{-1})$ за всеки елемент $a\in G$.

Пръстени

Нека $R$ и $+$, $\cdot$ са бинарни операции в $R$. Тройката $(R,+,\cdot)$ се нарича пръстен (за краткост само $R$), ако са изпълнени следните аксиоми:
1) $R$ е комутативна група, относно операцията $+$,
2) операцията $\cdot$ е асоциативна,
3) за всички $ a,b,c\in R$ е вярно $a\cdot(b+c)=a\cdot b+b\cdot c$ и $ (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c $ (дистрибутивни закони)
Пръстенът $R$ се нарича
а) пръстен с единица, ако съществува неутрален елемент относно операцията $\cdot$ (който се нарича единица)
б) комутативен, ако операцията $\cdot$ е комутативна.
Операциите $+$ и $\cdot$ се наричат съответно събиране и умножение в пръстена $R$. Съгласно Твърдение setoper, във всеки пръстен неутралният елемент относно $+$ е единствен и всеки елемент има единствен обратен елемент относно $+$. Също така, във всеки пръстен с единица, неутралният елемент относно умножението е единствен и всеки обратим елемент относно умножението има единствен обратен. В пръстен, неутралният елемент относно събирането се означава с $0$, а обратният елемент на $a$ относно $+$ се означава с $-a$. В пръстен с единица, неутралният елемент относно умножението се означава с $1$. За всеки елемент $a\in R$, eлементът $a\cdot a$ се означава с $a^2$ и се нарича квадрат на $a$.
Забележка. Ако пръстенът $R$ е комутативен, то в аксиома 3 остава само един дистрибутивен закон. В този курс ще се занимаваме само с комутативни пръстени.

За удобство вместо $a+(-b)$ записваме $a-b$.

Когато искаме да подчертаем, че говорим за операции и неутрални елементи относно тези операции, в пръстен $R$, използваме означенията $+_R$, $*_R$, $0_R$, $1_R$.

Твърдение 5.1. Нека $(R,+,\cdot )$ е пръстен. Тогава за всички $a\in R$ е вярно $0\cdot a=0$ и $a\cdot 0=0$.
Доказателство. Използваме аксиоми 1), 2), 3). За произволен елемент $a\in R$ имаме
$a^2=a\cdot a=(0+a)\cdot a=0\cdot a+a^2$. Тогава $$0=a^2+(-a^2)=(0\cdot a+a^2)+(-a^2)=$$$$=0\cdot a+(a^2+(-a^2))
=0\cdot a+0=0\cdot a.$$

Твърдение 5.2. Нека $(R,+,\cdot )$ е пръстен с единица. Тогава
а) за всеки елемент $a\in R$ е вярно $-a=(-1)\cdot a=a\cdot (-1)$,
б) $(-1)^2=1$,
в) за всеки два елемента $a, b\in R$ е вярно $(-a)\cdot b=a\cdot (-b)=-(a\cdot b)$.
Доказателство. Използваме аксиоми 1), 2), 3).
a) От една страна $0=a+(-a)$, а от друга страна $$a+(-1)\cdot a=1\cdot a+(-1)\cdot a=(1+(-1))\cdot a=0\cdot a=0$$ и $$a+a\cdot (-1)=a\cdot 1+a\cdot (-1)=a\cdot (1+(-1))=a\cdot 0=0,$$ предвид Твърдение ring. Следователно $-a$, $(-1)\cdot a$ и $a\cdot (-1)$ са обратни на $a$ относно $+$. Тъй като $R$ е група относно $+$ и обратния елемент на всеки елемент е единствен (вж. Твърдение setoper), получаваме $-a=(-1)\cdot a=a\cdot (-1)$.
б) От а) за $a=-1$ имаме $(-1)^2=(-1)\cdot (-1)=-(-1)=1$.

Сега ще видим по какви начини от даден пръстен можем да получим нови пръстени. За целта ще разгледаме две абстракнти конструкции.

Твърдение 5.3. Нека $M\neq\emptyset$ е произволно множество и $(R,+_R,*_R)$ е комутативен пръстен с единица. Тогава множеството $R^M$ от функции дефинирани в $M$ и приемащи стойности в $R$ е комутативен пръстен с единица, относно операциите $+:R^M\times R^M\to R^M$ и $\cdot:R^M\times R^M\to R^M$, зададени с $(f+g)(x)=f(x)+_Rg(x)$ и $(f\cdot g)(x)=f(x)*_R g(x)$.
Доказателство. Нека $f,g,h\in R^M$ и $*$ означава коя да е от операциите $+$, $\cdot$, а $\diamond$ означава, коя да е от операциите $+_R$, $*_R$, съответно. Тогава
$$(fg)(x)=f(x)\diamond g(x)=g(x)\diamond f(x)=(gf)(x),$$ тъй като $\diamond$ е комутативна и
$$((fg)h)(x)=(fg)(x)\diamond h(x)=(f(x)\diamond g(x))\diamond h(x)=$$$$=f(x)\diamond (g(x)\diamond h(x))=f(x)\diamond (gh)(x)=(f(gh))(x),$$ тъй като $\diamond$ е асоциативна. Следователно $fg=gf$ и $(fg)h=f(gh)$, т. е. събирането и умножението в $R^M$ са комутативни и асоциативни. Неутралните елементи относно $+$ и $\cdot$ в $R^M$ са съответно функциите $\nu:M\to R$ и $\mu:M\to R$, зададени съответно с $\nu(x)=0_R$ и $\mu(x)=1_R$, за всяко $x\in M$. Обратния елемент на функцията $f\in R^M$, относно $+$ е функцията $-f\in R^M$, за която $(-f)(x)=-f(x)$, за всяко $x\in M$. Остана само да проверим дистрибутивния закон в $R^M$. Имаме $$(f\cdot(g+h))(x)=f(x)_R(g+h)(x)=f(x)_R(g(x)+_Rh(x))=$$$$=f(x)_Rg(x)+_Rf(x)_Rh(x)=(f\cdot g)(x)+_R(f\cdot h)(x)=(f\cdot g+f\cdot h)(x),$$ тъй като е в сила дистрибутивния закон в $R$. Следователно $f\cdot(g+h)=f\cdot g+f\cdot h$ и $(R^M,+,\cdot)$ е комутатувен пръстен с единица.

Подпръстен, идеал, факторпръстен

Казваме, че множеството $I\subset R$ е подпръстен на пръстена $R$, ако $I$ е пръстен относно операциите в $R$. Иначе казано ако за всички $x,y\in I$ е вярно $x+y\in I$ и $x\cdot y\in I$. Казваме, че $I\subset R$ е идеал в пръстена $R$, ако за всички $x,y\in I$, $r\in R$ е вярно $x-y\in I$, $rx\in I$ и $xr\in I$. Ясно е, че всеки идеал в $R$ е подпръстен, и че $R$ и ${0}$ са идеали (наричат се тривиални идеали). В последствие ще дадем примери за нетривиални идеали на пръстен (вж. Упражнение nZ).

По дадени пръстен и идеал, можем да образуваме нов пръстен, който се нарича факторпръстен, по следния начин.

Твърдение 5.4. Нека $(R,+_R,_R)$ е пръстен, $I\subset R$ е идеал и $$E=\{(x,y)\in R^2|x-y\in I\}.$$ Тогава $E$ е релация на еквивалентност в $R$ и фактормножеството $R/E$ е пръстен по отношение на операцииите $+:(R/E)^2\to R/E$, $\cdot:(R/E)^2\to R/E$, зададени с $[x]+[y]=[x+_Ry]$ и $[x]\cdot[y]=[x_Ry]$.
Доказателство. За удобство ще пропуснем индекса $R$ в операциите $+_R$ и $*_R$.Имаме, че $(x,x)\in E$, тъй като $x-x=0_R\in I$. Също така, ако $(x,y)\in R$, то $y-x=-(x-y)\in I$, т. е. $(y,x)\in E$. Накрая, ако $(x,y)\in E$ и $(y,z)\in E$, то $x-y\in I$ и $y-z\in I$, откъдето $x-z=(x-y)-(y-z)\in I$, т. е. $(x,z)\in E$. Следователно $E$ е еквивалентност.

Операциите в $R/E$ са дефинирани коректно, тъй като, ако $[x]=[a]$, $[y]=[b]$, то $x-a\in I$, $y-a\in I$ и понеже $I$ е идеал имаме $$x+y-(a+b)=(x-a)+(y-b)\in I,$$ и $$x*y-a*b=(x-a)*y+a*y-a*b=(x-a)*y+a*(y-b)\in I,$$ т. е. $[x+y]=[a+b]$ и $[x*y]=[a*b]$. Това, че операциите в $R/E$ удовлетворяват аксиомите за пръстен, следва непосредствено от дефинициите им и от това, че $R$ е пръстен. Проверката оставяме за упражнение на читателя.

Фактормножеството $R/E$, заедно с въведените по-горе операции се означава с $R/I$ и се нарича факторпръстен на пръстена $R$ по идеала $I$. Директно се вижда, че ако $R$ е комутативен пръстен с единица и $I\subset R$ е идеал, то и $R/I$ е комутативен пръстен с единица.
Забележка. Ако $I$ е подпръстен, който не е идеал, то операцията произведение в $R/E$ може да не е коректно дефинирана. В доказателството, че $[x.y]=[a.b]$, щом $[x]=[a]$ и $[y]=[b]$ съществено използвахме, че $I$ е идеал, за да заключим, че $(x-a).y+a.(y-b)\in I$.

Нека $R$ и $S$ са пръстени със събиране и умножение $+_{R}$, $*_{R}$ и $+_{S}$, $*_{S}$, съответно. Казваме, че изображението $f:R\to S$ е хомоморфизъм на пръстени, ако за всички $a, b\in R$ е вярно $f(a+_{R} b)=f(a)+_{S}f(b)$ и $f(a_{R}b)=f(a)_{_S}f(b)$. Казваме, че хомоморфизмът $f$ на пръстените $R$ и $S$ е изоморфизъм, ако $f$ е биекция. Когато съществува изоморфизъм между два пръстена казваме, че те са изоморфни, и както в случая на групи, изоморфните пръстени са неразличими.

Упражнения

5.4. Нека $R$ и $S$ са пръстени и $f:R\to S$ е хомоморфизъм. Докажете, че $f(R)$ е подпръстен на $S$, а $f^{-1}({0})$ е идеал в $R$.
5.5. Нека $R$ е пръстен и $I\subset R$ е идеал. Докажете, че изображението $f:R\to R/I$, зададено с $f(x)=[x]$ е хомоморфизъм на пръстени.
5.6. Нека $R$ и $S$ са пръстени и $f:R\to S$ е хомоморфизъм. Докажете, че пръстените $f(R)$ и $R/f^{-1}({0})$ са изоморфни (теорема за хомоморфизмите).

Множество на целите числа

Множеството на целите числа е разширение на множеството на естествените числа, при което уравнението $a+x=b$, където $a,b$ са известни естествени числа, а $x$ неизвестно, винаги има решение, което е цяло число. При това в множеството на целите числа могат да се дефинират бинарни операции събиране и умножение, по отношение на които то става комутативен пръстен с единица, в който може да се въведе пълна наредба, съгласувана с наредбата на естествените числа и с операциите събиране и умножение. В настоящия параграф ще дефинираме това множество и ще получим споменатите му свойства.

Нека $E=\{(x,y)\in\mathbb{N}^2\times\mathbb{N}^2|$ съществуват $a,b,c,d\in\mathbb{N}$ такива, че $x=(a,b), y=(c,d)$ и $a+d=b+c \}$. Тогава $E$ е релация на еквивалентност в $\mathbb{N}^2$ (Проверете!). Можеството на целите числа дефинираме, като фактормножеството $\mathbb{N}^2/E$ и го означаваме с $\mathbb{Z}$. В $\mathbb{Z}$ въвеждаме бинарни операции събиране $+:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ и умножение $\cdot:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$, по следния начин. Нека $x,y\in \mathbb{Z}$ и $x=[(a,b)]$, $y=[(c,d)]$. Тогава по определение $x+y=[(a+c,b+d)]$ и $x\cdot y=[(a\cdot c+b\cdot d, a\cdot d+b\cdot c)]$.
За да се убедим, че така дефинираните операции са коректно дефинирани, ще докажем следните твърдения.

Твърдение 5.5. Нека $a,b,p,q\in\mathbb{N}$, $b\leq a$ и $[(a,b)]=[(p,q)]$. Тогава $q\leq p$ и $a-b=p-q$.
Доказателство. От Твърдение narprop имаме $$a+q=(b+(a-b))+q=b+p.$$ Следователно $b+((a-b)+q)=b+p$, откъдето $(a-b)+q=p$, т. е. $q\leq p$ и $p-q=a-b$.

Твърдение 5.6. Нека $[(a,b)]=[(p,q)]$ и $[(c,d)]=[(t,s)]$. Тогава
a) $[(a,b)]+[(c,d)]=[(p,q)]+[(t,s)]$
б) $[(a,b)]\cdot[(c,d)]=[(p,q)]\cdot[(t,s)]$
Доказателство. a) По дефиниция $a+q=b+p$ и $c+s=d+t$, откъдето $$a+q+c+s=b+p+d+t,$$ което показва, че $[(a+c,b+d)]=[(c+t,d+s)]$.
б) Нека $a\geq b$ и $c\geq d$. Тъй като $a+0=b+(a-b)$ (вж. Твърдение narprop) имаме $[(a,b)]=[(a-b,0)]$. Аналогично $[(c,d)]=[(c-d,0)]$. Тогава $$[(a,b)]\cdot[(c,d)]=[(a\cdot c+b\cdot d,a\cdot d+b\cdot c)].$$ От друга страна, от Твърдение pregrupminus имаме $$(a-b)\cdot(c-d)=(a\cdot c+b\cdot d)-(a\cdot d+b\cdot c),$$ и следователно от Твърдение distrminus получаваме $$a\cdot c+b\cdot d+0=a\cdot d+b\cdot c+(a-b)\cdot(c-d)=$$$$=(a\cdot d+b\cdot c)+((a\cdot c+b\cdot d)-(a\cdot d+b\cdot c))=a\cdot c+b\cdot d,$$ което показва, че $[(a,b)]\cdot[(c,d)]=[(a-b)\cdot(c-d),0]$. От друга страна, от Твърдение znaknacqlo имаме $a-b=p-q$ и $c-d=t-s$. Следователно $(a-b)\cdot(c-d)=(p-q)\cdot(t-s)$ и $$[(a,b)]\cdot[(c,d)]=[(a-b)\cdot(c-d),0]=[(p-q)\cdot(t-s),0]=[(p,q)]\cdot[(t,s)].$$

Множеството на естествените числа може да се вложи, като подмножество на целите числа. Действително, непосредствено се проверява (проверете), че изображението $\varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{Z}$, за което $\varphi(n)=[(n,0)]$ инективно и удовлетворява свойствата $$\varphi(n+m)=\varphi(n)+\varphi(m),\quad \varphi(n\cdot m)=\varphi(n)\cdot\varphi(m).$$ По този начин естественото число $n$ се отъждествява с цялото число $[(n,0)]$.

Твърдение 5.7. Множеството $\mathbb{Z}$ е комутативен пръствен с единица по отношение на дефинираните по-горе операции събиране и умножение.
Доказателство. Да се убедим първо, че $\mathbb{Z}$ е комутативна група. Нека $x,y,z\in\mathbb{Z}$ и $x=[(a,b)]$, $y=[(c,d)]$, $z=[(p,q)]$. Tогава от асиоциативността на операцията $+$ в $\mathbb{N}$ (вж. Твърдение sumprop) имаме $$(x+y)+z=([(a,b)]+[(c,d)])+[(p,q)]=[(a+c,b+d)]+[(p,q)]=$$$$=[((a+c)+p,(b+d)+q)]=[(a+(c+p),b+(d+q))]=$$$$=[(a,b)]+[(c+p,d+q)]=[(a,b)]+([(c,d)]+[(p,q)])=x+(y+z),$$ което показва, че операцията $+$ в $\mathbb{Z}$ е асоциативна. По аналогичен начин, от комутативността на операцията $+$ в $\mathbb{N}$, получаваме комутативност на операцията $+$ в $\mathbb{Z}$.
Нека $\nu=[(0,0)]$, тогава $$x+\nu=[(a,b)]+[(0,0)]=[(a+0,b+0)]=[(a,b)]=x,$$ т. е. $\nu\in\mathbb{Z}$ е неутрален елемент относно операцията $+$.
Нека $-x=[(b,a)]$. Тогава $x+(-x)=[(a,b)]+[(b,a)]=[(a+b,b+a)]$. От комутативността на $+$ в $\mathbb{N}$ имаме $a+b=b+a$, от дефиницията на релацията $E$ в $\mathbb{N}^2$ имаме $[(a+b,b+a)]=[(0,0)]$. Следователно $x+(-x)=\nu$, което показва, че $[(b,a)]$ е обратен елемент на $[(a,b)]$ относно операцията $+$ в $\mathbb{Z}$. Следователно $\mathbb{Z}$ е комутативна група относно операцията $+$. От комутативността и асоциативността на операциите $+$ и $\cdot$ в $\mathbb{N}$ можем да получим комутативност и асоциативност на операцията $\cdot$ в $\mathbb{Z}$. Действително $x\cdot y=[(a,b)]\cdot[(c,d)]=[(a\cdot c+b\cdot d, a\cdot d+b\cdot c)]$. От друга страна $y\cdot x=[(c,d)]\cdot[(a,b)]=[(c\cdot a+d\cdot b,c\cdot b+d\cdot a)]$. Следователно $x\cdot y=y\cdot x$, т. е. операцията $\cdot$ е комутативна. Да установим асоциативност на тази операция. По определение $$x\cdot(y\cdot z)=[(a,b)]\cdot[(c\cdot p+d\cdot q, c\cdot q+d\cdot p)]=$$$$=[(a\cdot(c\cdot p+d\cdot q)+b\cdot(c\cdot q+d\cdot p),a\cdot(c\cdot q+d\cdot p)+b\cdot(c\cdot p+d\cdot q))]=$$$$=[(acp+adq+bcq+bdp,acq+adp+bcp+bdq)]$$ и
$$(x\cdot y)\cdot z=[(a\cdot c+b\cdot d, a\cdot d+b\cdot c)]\cdot[(p,q)]=$$$$=[((a\cdot c+b\cdot d)p+(a\cdot d+b\cdot c)q,(a\cdot c+b\cdot d)q+(a\cdot d+b\cdot c)p )]=$$$$=[(acp+bdp+adq+bcq,acq+bdq+adp+bcp)].$$ Оттук и от Твърдение sumprop получаваме $x\cdot(y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z$, т. е. операциятя $\cdot$ е асоциативна.
Нека $\mu=[(1,0)]$. Тогава $$\mu\cdot x=[(1,0)]\cdot[(a,b)]=[(1\cdot a+0\cdot b,1\cdot b+0\cdot a)]=[(a,b)]=x,$$ което показва, че $\mu$ е неутрален елемент относно операцията $\cdot$. Следователно $\mathbb{Z}$ е комутативен пръстен с единица.

Елементите $\nu,\mu\in\mathbb{Z}$ означаваме с $0$ и $1$ съответно.

Упражнения

5.7 Нека $n\in\mathbb{Z}$. Докажете, че множеството $n\mathbb{Z}=\{nk\in\mathbb{Z}|k\in\mathbb{Z}\}$ е подпръстен, който е идеал в пръстена $\mathbb{Z}$. При кои стойности на $n$ в пръстенa $n\mathbb{Z}$ има единица? При кои стойности на $n$ идеалът $n\mathbb{Z}$ е нетривиален?

Наредба в множеството на целите числа

В пръстена $\mathbb{Z}$ може да се дефинира линейна наредба $\leq_{\mathbb{Z}}$, съгласувана с наредбата в $\mathbb{N}$ и с операциите събиране и умножение.
Твърдение 5.8. Нека $\leq_{\mathbb{Z}}=\{(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}|$ съществуват $a, b, c, d\in\mathbb{N}$, такива че $x=[(a,b)], y=[(c,d)], a+d\leq_{\mathbb{N}}b+c\}.$ Тогава $\leq_{\mathbb{Z}}$ е линейна наредба.
Забележка. За удобство наредбата $\leq_{\mathbb{Z}}$ ще означаваме с $\leq$.
Доказателство.

Следващото твърдение е обобщение на Твърдение narprop за цели числа.

Твърдение. Нека $m,n\in\mathbb{Z}$. Тогава следните условия са еквивалентни
а) $m\leq n$
б) за всяко $k\in\mathbb{Z}$ е вярно $m+k\leq n+k$.
в) за всяко $k\in\mathbb{Z}$, $0\leq k$ е вярно $m\cdot k\leq n\cdot k$.
г) съществува единствено $p\in \mathbb{Z}$, такова че $0\leq p$, $n=m+p$.
Доказателство. Нека $m=[(a,b)]$, $n=[(c,d)]$ и $k=[(p,q)]$. Тогава по определение $m+k=[(a+p,b+q)]$, $n+k=[(c+p,d+q)]$, $m\cdot k=[(ap+bq,aq+bp)]$, $n\cdot k=[(cp+dq,cq+dp)]$.
а) $\leftrightarrow$ б) По определение $m\leq n$, точно когато $a+d\leq b+c$. От Твърдение narprop имаме $(a+p)+(d+q)=(a+d)+(p+q)\leq (b+c)+(p+q)=(b+q)+(c+p)$, което еквивалентно на $m+k\leq n+k$.
а) $\leftrightarrow$ в) От $0\leq k$ имаме $q\leq p$, а от Твърдения narprop и distrminus имаме $$(ap+bq)+(cq+dp)=(a+d)p+(b+c)q=(a+d)(q+(p-q))+(b+c)q=(a+d)q+(a+d)(p-q)+(b+c)q\leq$$$$\leq (a+d)q+(b+c)(p-q)+(b+c)q=(a+d)q+(b+c)(q+(p-q))=(a+d)q+(b+c)p=(aq+bp)+(cp+dq),$$ което е еквивалентно на $m\cdot k\leq n\cdot k$.
а) $\leftrightarrow$ г) От $m\leq n$, a) и Твърдение celitesaprysten имаме $0=m+(-m)\leq n+(-m)=n-m$ и $n=m+(-m)+n=m+p$, където $p=m-n$. Обратно, ако съществува $p\in\mathbb{Z}$, за което $0\leq p$ и $n=m+p$, то от a) имаме $m=0+m\leq p+m=n$.

Целите числа $x$, за които $0<x$ ще наричаме положителни, а тези за които $x<0$ – отрицателни. Целите числа $x$, за които $0\leq x$ ще наричаме неотрицателни, а тези за които $x\leq 0$ – неположителни.

Забележка. С разширяването на множеството на $\mathbb{N}$ до $\mathbb{Z}$ получихме множество, в което уравнението $a+x=b$ винаги има решение за всички $a,b\in\mathbb{Z}$. От друга страна, за разлика от $\mathbb{N}$, множеството $\mathbb{Z}$ е неограничено отдолу. Така свойството ограниченост отдолу на $\mathbb{N}$ се губи при разширяването му до $\mathbb{Z}$.

Упражнения

5.8. Докажете, че съществуват единствени числа $q, r\in\mathbb{Z}$, такива че $n=qm+r$ и $0\leq r<m$ (теорема за деление с частно и остатък за цели числа).
Доказателство. При $n\geq 0$ и $n<m$, или $n<0$ и $-n<m$, избираме $q=0$, и $r=n$, или $r=-n$ съответно. При $n\geq 0$ и $m\leq n$ докажете, че множеството $A=\{k\in\mathbb{Z}|km\leq n\}$ е непразно, ограничено отгоре, има най-голям елемент $\alpha$ и изберете $q=\alpha$, $r=n-qm$. При $n<0$ и $m\leq -n$ докажете, че множеството $B=\{k\in\mathbb{Z}|-n\leq km\}$ e непразно, ограничено отдолу, има най-малък елемент $\beta$ и изберете $q=-\beta$, $r=n-qm$ (проверете, че $0\leq r<m$).
5.9. Докажете, че ако $a,b\in\mathbb{Z}$ и $a\cdot b=0$, то $a=0$ или $b=0$.
5.10. Докажете, че ако $a\in\mathbb{Z}$ и $a\geq 0$, то $-a\leq 0$.
5.11. Докажете, че ако $a\in\mathbb{Z}$, то $a^2\geq 0$.
5.12. Докажете, че $\mathbb{Z}$ е изброимо безкрайно.
Упътване. Докажете, че изображението $\varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{Z}$, за което $\varphi(2k+1)=[(k+1,0)]$ и $\varphi(2k)=[(0,k)]$, $k\in\mathbb{N}$ е биекция.

назад