Уравнение на Коши-Риман. Холоморфни функции

Функция на комплексна променлива (или комплексна функция) се нарича изображение от подмножество на $\mathbb{C}$ в $\mathbb{C}$. Такива функции сме разглеждали още в курса по диференциално смятане. Тъй като изображението $\mathbb{C}\ni x+iy\mapsto (x,y)\in\mathbb{R}^2$ е биекция (и даже изоморфизъм на реални векторни пространства), всяка функция на комплексна променлива може да се интерпретира като изображение от подмножетсво на $\mathbb{R}^2$ в $\mathbb{C}$, като изображение от подмножество на $\mathbb{C}$ в $\mathbb{R}^2$, или като изображение от подмножество $\mathbb{R}^2$ в $\mathbb{R}^2$. Това означава, че една функция на комплексна променлива може да се разглежда, както като комплексно значна функция на две реални променливи, така и като двойка реално-значни функции на една комплексна променлива, а също и като двойка реалнозначни функции на две реални променливи. Например ако $z=x+iy$, където $x,y\in\mathbb{R}$, то $z^2=(x+iy)^2 =x^2-y^2+i2xy$ и тогава функцията $\mathbb{C}\ni z\mapsto z^2\in\mathbb{C}$ може да се разглежда като функцията $\mathbb{R}^2\ni(x,y)\mapsto x^2-y^2+i2xy \in\mathbb{C}$, или като двойката функции $\mathbb{C}\ni z\mapsto\left(\frac{z+\overline{z}}{2}\right)^2-\left(\frac{z-\overline{z}}{2i}\right)^2\in\mathbb{R}$ и $\mathbb{C}\ni z\mapsto 2\frac{z+\overline{z}}{2}\frac{z-\overline{z}}{2i}\in\mathbb{R}$, или като двойката функции $\mathbb{R}^2\ni (x,y)\mapsto x^2-y^2\in\mathbb{R}$ и $\mathbb{R}^2\ni (x,y)\mapsto 2xy$. Тези разглеждания показват, че има сериозна връзка между комплексния анализ на функции на една променлива и реалния анализ на функции на две реални променливи. По-нататък ще интерпретираме комплексните функции, като изображения от подмножества на $\mathbb{R}^2$ в $\mathbb{R}^2$, и като изображения от подмножества на $\mathbb{R}^2$ в $\mathbb{C}$, когато правим връзка с геометрията и анализа на функциите на две реални променливи. Да напомним, че при диференцирането на функции на една променлива няма разлика дали променливата е реална или комплексна. Определението за диференцируемост и правилата за пресмятане на производни са едни и същи в двата случая. От друга страна, има разлика между понятията за диференцируемост на функция на една комплексна променлива и същата функция, разглеждана като функция на две реални променливи, и именно тази разлика ще анализираме в настоящата тема.

Границите $$\lim\limits_{\substack{t\to 0 \ t\in\mathbb{R}}}\frac{f(a+t)-f(a)}{t},\quad\lim\limits_{\substack{t\to 0 \ t\in\mathbb{R}}}\frac{f(a+it)-f(a)}{t}$$ се наричат частни производни на $f$ в точката $a$ и се означават с $f’_x(a)$ и $f’_y(a)$ (или $\frac{\partial f}{\partial x}(a)$ and $\frac{\partial f}{\partial y}(a)$) съответно. Казваме, че $f$ е $\mathbb{R}$-диференцируема в точката $a$ ако $f$ е диференцируема като функция на две реални променливи в точката $a$, което по определение означава, че $$\lim\limits_{\substack{h\to 0, k\to 0 \\h,k\in\mathbb{R}}}\frac{f(a+h+ik)-f(a)-f’_x(a)h-f’_y(a)k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0.$$ Очевидно е, че ако $f$ няма частни прозиводни в точката $a$, то тя не е $\mathbb{R}$-диференцируема в точката $a$. От друга страна $f$ може да има частни производни в точката $а$, но даже да не е непрекъсната в тази точка. Например
$$f(z)=\begin{cases}\frac{z}{\overline{z}}-\frac{\overline{z}}{z}, z\neq 0 \\ 0, z=0\end{cases}.$$ Доказва се (прилагайки теоремата на Лагранж за крайните нараствания), че ако частните производни на една функция съществуват в околност на дадена точка и са непрекъснати в тази точка, то функцията е реално диференцируема в точката. От друга страна, една функция може да бъде диференцируема в дадена точка без да има непрекъснати частни производни в точката. Например $$f(z)=\begin{cases}|z|^2\sin\frac{1}{|z|^2}, z\neq 0\\ 0, z=0\end{cases}.$$

Ако $f$ е диференцируема в точката $a$, то от съществуването на границата $\lim\limits_{z\to 0}\frac{f(a+z)-f(a)}{z}$ следва съществуването и равенството на границите $\lim\limits_{\substack{t\to 0 , t\in\mathbb{R}}}\frac{f(a+t)-f(a)}{t}$ и $\lim\limits_{\substack{t\to 0, t\in\mathbb{R}}}\frac{f(a+it)-f(a)}{it}$, което показва че функцията има частни производни в точката $a$ и $f’_x(a)=-if’_y(a)=f'(a)$. От първото равенство получаваме съотношението $$f’_x(a)+if’_y(a)=0,$$ което се нарича уравнение на Коши-Риман, а от второто получаваме $f’_x(a)=f'(a)$ и $f’_y(a)=if'(a)$. От тези равенства виждаме, че за всички ненулеви $h,k\in\mathbb{R}$ имаме $$\left|\frac{f(a+h+ik)-f(a)-f’_x(a)h-f’_y(a)k}{\sqrt{h^2+k^2}}\right|=\left|\frac{f(a+h+ik)-f(a)-f'(a)(h+ik)}{\sqrt{h^2+k^2}}\right|=$$$$=\left|\frac{f(a+h+ik)-f(a)-f'(a)(h+ik)}{h+ik}\frac{h+ik}{\sqrt{h^2+k^2}}\right|=$$$$=\left|\left[\frac{f(a+h+ik)-f(a)}{h+ik}-f'(a)\right]\frac{h+ik}{|h+ik|}\right|$$$$=\left|\frac{f(a+h+ik)-f(a)}{h+ik}-f'(a)\right|\left|\frac{h+ik}{|h+ik|}\right|=\left|\frac{f(a+h+ik)-f(a)}{h+ik}-f'(a)\right|.$$ Тъй като свойствата $h,k\to 0$, $h+ik\to 0$, $|h+ik|\to 0$ са еквивалентни, от равенството между първия и последния израз виждаме, че $f$ е диференцируема в точката $a$, тогава и само тогава, когато $f$ е $\mathbb{R}$- диференцируема в $a$ и удовлетворява уравнението на Коши-Риман в точката $a$.

В терминологията на комплексния анализ, диференцируемите функции (в точка или множество) често се наричат комплексно диференцируеми. Казваме, че една функция на комплексна променлива е холоморфна в дадена точка, ако тя е комплексно диференцируема в някоя околност на точката. Казваме, че функцията е холоморфна в дадено множество, ако тя е холоморфна във всяка точка на това множество. Очевидно комплексната диференцируемост в отворено множество влече холоморфност на функцията в множеството. Също така, ако една функция е холоморфна в някоя точка, то тя е холоморфна в отворена околност на точката. От определението и правилата за диференциране следва, че сумата и произведението на две холоморфни функции в точка е отново холоморфна функция в точкта. Същото важи и за холоморфните функции, дефинирани в отворено множество на $\mathbb{C}$. Оттук получаваме, че за всяко отворено множество, холоморфните функции в това отворено множество, образуват комутативен пръстен с единица. По-нататък, че се убедим, че този пръстен е без делители на нулата, тогава и само тогава, когато отвореното множество е област.

Упражнения

  1. Посочете пример на реално диференцируема функция, която не е комплексно диференцируема и пример на функция, която удовлетворява уравнението на Коши-Риман, но не е комплексно диференцируема.
  2. Нека $f$ е комплексно диференцируема в точката $a\in\mathbb{C}$ и $u=\text{re }f$, $v=\text{im }f$. Какви съотношения между функциите $u,v$ се получават от уравнението на Коши-Риман?

назад