Аргумент на комплексно число. Формула на Моавър

В настоящата тема ще припомним някои факти от курса по диференциално интегрално смятане, за функциите експонента, синус и косинус и ще припомним какво представлява и как се получав представянето на всяко ненулево комплексно число в тригонометричен вид. Ще направим и някои забележки от алгебрична гледна точка.

Директно се проверява (например с критерия на Даламбер), че степенният ред $\sum_{k=0}^\infty\frac{z^k}{k!}$ е абсолютно сходящ за всяко $z\in\mathbb{C}$ и следователно е сходящ. От свойствата на степенните редове имаме, че сумата на този ред е функция, която има производни от произволен ред в $\mathbb{C}$. Напомняме, че по определение $e=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}$ (Неперово число) и $e^z=\sum_{k=0}^\infty\frac{z^k}{k!}$, като функцията $z\mapsto e^z$ наричаме експонента или експоненциална функция. Чрез диференциране на реда определящ експонентата виждаме, че $(e^z)’=e^z$. От абсолютната сходимост и теоремата за умножение на редове получаваме основното свойство на експонентата $e^{z+w}=e^{z}.e^{w}$. С допускане на противното директно се вижда, че $e^z\neq 0$ за всяко $z\in\mathbb{C}$. От алгебрична гледна точка, тъй като $\mathbb{C}$ и $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ са групи по отношение на събирането и умножението на комплексни числа съответно, основното свойство на експонентата показва, че тя е хомоморфизъм на групи. Непосредствено се вижда, че експонентата приема само положителни стойности върху $\mathbb{R}$ и е строго монотонна непрекъсната функция. Тогава за всяко $x>0$ съществува единствено $y\in\mathbb{R}$, такова че $e^y=x$. Това число $y$ е прието да се означава с $\ln (x)$ и да се нарича естествен логаритъм на $x$.  Тогава $e^{\ln x}=x$ за всяко $x>0$. Оттук $\ln 1=0$ и $\ln e=1$. По този начин уравнението $e^y=x$ определя една функция, която на всяко положително реално число $x$ съпоставя единсвеното решение на уравнението. Това е обратната функция на експонентата.

Напомняме, че за всяко $z\in\mathbb{C}$ сме дефинирали $\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$ и $\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$. Функциите $z\mapsto \sin z$ и $z\mapsto\cos z$ наричаме съответно синус и косинус. Тъй като те са линейни комбинации на експоненти, виждаме, че те имат производни от произволен ред. В частност $(\cos z)’=-\sin z$ и $(\sin z)’=\cos z$. Използвайки определението на експонентата можем да видим, че синус и косинус са суми на степенни редове. От определенията директно получаваме формулата $e^{iz}=\cos z+i\sin z$, която се нарича формула на Ойлер. При това, от основното свойство на експонентата и определенията следват следните формули $$\sin^2z+\cos^2z=1,\quad \cos(-z)=\cos z,\quad \sin(-z)=-\sin (z),$$ $$\cos(z+w)=\cos z\cos w-\sin z\sin w,\quad \sin(z+w)=\sin z\cos w+\cos z\sin w,\quad z,w\in\mathbb{C}.$$ Също така $\cos 0=1$, $\sin 0=0$. Лесно се проверява, че синус и косинус приемат реални стойности върху $\mathbb{R}$ и са ограничени по модул от $1$. Проверява се, че $\cos 2<0$ (вж. упражненията). Оттук и непрекъснатостта на $\cos$ в интервала $[0,2]$ следва, че множеството $\{x\in[0,2]|\cos x=0\}$ е непразно и ограничено отдолу множество от реални числа, което според принципа за непрекъснатост в $\mathbb{R}$ има точна долна граница. Тогава можем да дефинираме $\pi=2\inf\{x\in[0,2]|\cos x=0\}$, при което $\cos\frac{\pi}{2}=0$. Тъй като $\cos 0>0$ и $\cos (-x)=\cos x$, виждаме, че $\cos x>0$ при $-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$. От друга страна $(\sin x)’=\cos x$, което показва, че $\sin$ е строго растяща в интервала $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$. Оттук и  непрекъснатостта на $\sin$ в $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$, виждаме, че $0=\sin 0<\sin\frac{\pi}{2}$. Следователно $\sin\frac{\pi}{2}=\sqrt{1-\cos^2\frac{\pi}{2}}=1$. Оттук и формулите за синус и косинус на сума получаваме $\cos \pi=\cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)=\cos\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}-\sin\frac{\pi}{2}\sin\frac{\pi}{2}=-1$ и $\sin\pi=\sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)=\sin\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}+\cos\frac{\pi}{2}\sin\frac{\pi}{2}=0$. По същият начин $\cos 2\pi=\cos(\pi+\pi)=\cos\pi\cos\pi-\sin\pi\sin\pi=1$, $\sin 2\pi=\sin(\pi+\pi)=\sin\pi\cos\pi+\cos\pi\sin\pi=0$. Оттук получаваме $\cos(z+2\pi)=\cos z\cos 2\pi-\sin z\sin 2\pi=\cos z$ и $\sin(z+2\pi)=\sin z\cos 2\pi+\cos z\sin 2\pi=\sin z$. Това показва, че функциите $\sin$ и $\cos$ са периодични с период $2\pi$. Оттук и формулата на Ойлер веднага получаваме, че $1=\cos 2\pi+i\sin 2\pi=e^{2\pi i}$, откъдето $e^{z+2\pi i}=e^z.e^{2\pi i}=e^z$, което показва, че експонентата е периодична с период $2\pi i$. Тъй като $\sin 0=\sin\pi=0$ и $\cos 0=1$ от периодичността виждаме, че при $z\in\pi\mathbb{Z}$ имаме $\sin z=0$, а при $z\in 2\pi\mathbb{Z}$, имаме $\cos z=1$. Тъй като $\sin\left(z+\frac{\pi}{2}\right)=\sin z\cos\frac{\pi}{2}+\cos z\sin\frac{\pi}{2}=\cos z$, и $\cos x>0$ за $x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$, виждаме, че при $x\in(0,\pi)$ имаме $\sin x>0$ (тъй като $x+\frac{\pi}{2}\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ тогава и само тогава, когато $x\in(0,\pi)$). Оттук и факта, че $\sin(-z)=-\sin z$ получаваме, че $\sin x<0$ при $x\in (-\pi,0)$. Следователно $\sin x\neq 0$ за $x\in(-\pi,0)\cup(0,\pi)$. От периодичността получаваме, че за всяко $k\in\mathbb{Z}$ имаме $\sin x<0$ при $x\in ((2k-1)\pi,2k\pi)$ и $\sin x>0$ при $x\in(2k\pi,(2k+1)\pi)$. Следователно $\sin x=0$, тогава и само тогава, когато $x\in \pi \mathbb{Z}$. Oттук виждаме, че $\cos x=1$ тогава и само тогава, когато $z\in 2\pi\mathbb{Z}$ (тъй като $\cos x=\pm\sqrt{1-\sin^2x}<1$ при $x\notin 2\pi\mathbb{Z}$. Оттук получаваме, че $e^z=1$, тогава и само тогава, когато $z\in 2\pi i\mathbb{Z}$. Наистина ако $z\in 2\pi i\mathbb{Z}$, то съществува $k\in\mathbb{Z}$, такова че $z=2k\pi i$, откъдето $e^z=e^{2k\pi i}=\cos(2k\pi)+i\sin(2k\pi)=1$. Обратно, ако $z=x+iy$ където $x,y\in\mathbb{R}$ и $e^z=1$, то $|e^z|=1$, откъдето $1=|e^{x+iy}|=|e^x(\cos y+i\sin y)|=e^x$, което води до $x=0$. Следователно $z=iy$ и $e^z=1$ означава, че $e^{iy}=1$, т. е. $\cos y+i\sin y=1$, откъдето $\cos y=1$ и $\sin y=0$. Следователно $y\in 2\pi\mathbb{Z}$, т. е. $z\in 2\pi i\mathbb{Z}$.

Забележка. Алгебричната интерпретация на твърдението, че $e^z=1$, тогава и само тогава, когато $z\in 2\pi i\mathbb{Z}$, е, че ядрото на хомоморфизмът на групи $\mathbb{C}\ni z\mapsto e^z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ е $2\pi i\mathbb{Z}$.

По-горе видяхме, че експонентата на всяко комплексно число е ненулево комплексно число. По-долу ще се убедим, че е вярно и обратното, т. е. всяко ненулево комплексно число се представя като експонента на някое друго комплексно число. При това този факт има интересна геометрична интерпретация и позволява геометрично тълкуване на алгебричните действия с комплексни числа.

Теорема. Ако $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ и $|z|=1$, то съществува единствено $\theta\in(-\pi,\pi]$, такова че $z=e^{i\theta}$.

Доказателство. Нека $z=x+iy$, където $x,y\in\mathbb{R}$. От $|z|=1$ имаме $x^2+y^2=1$, което показва, че $x,y\in[-1,1]$. Нека $x\in[-1,1]$ и $y\in[0,1]$. Тогава $y=\sqrt{1-x^2}$. Тъй като функцията $\cos$ е непрекъсната и строго намаляваща в $[0,\pi]$, за всяко $x\in[-1,1]$, съществува единствено $\theta\in[0,\pi]$, такова че $\cos\theta=x$. Тъй като  $\theta\in[0,\pi]$ имаме че $\sin\theta\geq 0$ и $\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{1-x^2}=y$. Аналогично, ако $x\in[-1,1]$ и $y\in[-1,0]$, то $y=-\sqrt{1-x^2}$ и от непрекъснатостта и строгата монотонност на $\cos$ в $[-\pi, 0]$, съществува единствено $\theta\in[-\pi,0]$, такова че $\cos\theta=x$, при което $\sin\theta=-\sqrt{1-\cos^2\theta}=-\sqrt{1-x^2}=y$. Следователно $z=x+iy=\cos\theta+i\sin\theta=e^{i\theta}$, което искахме да докажем.

Забележка. Тъй като за всяко $x\in\mathbb{R}$ имаме $|e^{ix}|=1$, виждаме, че $e^{ix}$ е точка от единичната окръжност $C(0,1)$. От формулата на Ойлер $e^{ix}=\cos x+i\sin x$, виждаме, че първата и втората координата на тази точка са $\cos x$ и $\sin x$ съответно. Тогава горната теорема има следната геометрична интерпретация. Всяка точка от единичната окръжност е комплексно число от вида $e^{ix}$, където $x\in(-\pi,\pi]$. При това, както лесно може да се провери, числото $x$ е дъжината на дъгата от единичната окръжност с начало $1$ и край $e^{ix}$, определена с $\gamma(t)=e^{it}$, където $t\in [0,x]$ ако $x>0$ и
$t\in [x,0]$ ако $x<0$ . Ако $u$ е въртенето в $\mathbb{R}^2$ (т. е. ортогонален оператор с детерминанта 1), което преобразува вектора $(1,0)$ във вектора $(\cos x,\sin x)$, то $x$ е мярката на ъгълът съответстващ на това въртене. От тази интерпетация можем да получим и геометричните свойства на функциите синус и косинус, като отношения на страни в правоъгълен триъгълник. Наистина за $x\in(0,\frac{\pi}{2})$ да вземем триъгълника с върхове $0,\cos x, e^{ix}$. Тогава по отношение на ъгъла при върха $0$ (който има мярка $x$), отсечките $[\cos x,e^{ix}]$, $[0,\cos x]$, $[0,e^{ix}]$ са съответно срещулежащ катет, прилежащ катет и хипотенуза. Пресмятайки частното от дължините на срещулежащият катет и хипотенузата получаваме $\sin x$, а пресмятайки частното от дължините на прилежащият катет и хипотенузата, получаваме $\cos x$.

Аргумент на комплексно число и представяне в тригонометричен вид

Тъй като множеството $C(0,1)=\{z\in\mathbb{C}||z|=1\}$ е група по отношение на умножението на комплексни числа, горната теорема показва, че хомоморфизмът  $\mathbb{R}\ni x\mapsto e^{ix}\in C(0,1)$ е сюрективен. Тъй като ядрото на този хомоморфизъм е $2\pi\mathbb{Z}$, от теоремата за хомоморфизмите имаме, че той индуцира изоморфизъм $\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}\to C(0,1)$. За всяко $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$, прообразът на $\frac{z}{|z|}\in C(0,1)$ при този изоморфизъм се нарича аргумент на $z$ и се означава с $\text{Arg }z$. По определение $\text{Arg }z\in\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$ и ако $\text{Arg }z=t+2\pi\mathbb{Z}$, то $\frac{z}{|z|}=e^{it}$, откъдето $z=|z|e^{it}$. Това равенство се нарича експоненциално представяне на $z$ или представяне на $z$ в експоненциален (показателен) вид. Оттук между другото виждаме, че $z=e^{\ln|z|+it}$, т. е. ненулевото комплексно число $z$ се представя като експонента на комплексното число $\ln|z|+it$, където $t$ е кой да е представител на $\text{Arg }z$. Прилагайки формулата на Ойлер, от експоненциалното представяне получаваме равенството $z=|z|(\cos t+i\sin t)$, което се нарича тригонометрично представяне на $z$, или представяне на $z$ в тригонометричен вид. Често представителите на $\text{Arg }z$ се наричат аргументи на $z$, а представителят на $\text{Arg } z$ от интервала $(-\pi,\pi]$  се нарича главен аргумент на $z$ и се означава с $\arg z$. Тогава $\text{Arg }z=\arg z+2\pi\mathbb{Z}$.

Упражнения

  1. Покажете, че изображението $\mathbb{C}\setminus\{0\}\ni z\mapsto \text{Arg }z\in\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$ е хомоморфизъм на групи, т. е. $\text{Arg } zw=\text{Arg } z+\text{Arg } w$ и $\text{Arg }(z^{-1})=-\text{Arg } z$ за всички $z,w\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$.
  2. Вярно ли е, че:
    а) $\arg zw=\arg z+\arg w$ и $\arg (z^{-1})=-\arg z$?
    б) $e^{i(\arg z+\arg w)}=e^{i\arg zw}$ и $e^{i\arg z^{-1}}=e^{-i\arg z}$?
    Обосновете.

Формула на Моавър

Нека $z\in\mathbb{C}$ и $n\in\mathbb{N}$.  Да потърсим всички $w\in\mathbb{C}$, за които $w^n=z$. Ако $z=0$, то $w=0$. Ако $w=u+iv$, където $u,v\in\mathbb{R}$, то $w^n=(u+iv)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}u^{k}(iv)^{n-k}$. Тогава задачата се свежда до определяне на всички $u,v\in\mathbb{R}$, за които $\text{Re }\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}u^{k}(iv)^{n-k}=\text{Re }z$ и $\text{Im }\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}u^{k}(iv)^{n-k}=\text{Im }z$. При $n\geq 3$ тази нелинейна система практически е нерешима. Оттук виждаме, че пресмятането на реалните и имагинерните части на степените на едно комплексно число е доста усложнено, а намирането на решения на уравнението $w^n=z$ при големи $n$ (т. е. коренуване) е практически неизпълнимо. От друга страна, показателната форма на комплексните числа позволява много лесно да извършваме тези действия. Например ако $z=|z|e^{i\arg z}$, $w=|w|e^{i\arg w}$, то $zw=|z|e^{i\arg z}|w|e^{i\arg w}=|zw|e^{i(\arg z+\arg w)}=|zw|e^{i\arg zw}=|zw|\cos(\arg zw)+i|zw|\sin(\arg zw)$, което е алгебричният вид на $zw$. В частност $z^n=(|z|e^{i\arg z})^n=|z|^ne^{in\arg z}=|z|^n\cos(n\arg z)+i|z|^n\sin (n\arg z)$. Равенството $z^n=|z|^n(\cos (n\arg z)+i\sin (n\arg z))$ се нарича формула на Моавър (за степенуване). Разбира се, $\arg z$ може да се замени с кой да е друг представител на $\text{Arg }z$.

Да намерим сега всички $w\in\mathbb{C}$, за които $w^n=|z|e^{i\arg z}$. За тези числа имаме $(|w|e^{i\arg w})^n=|z|e^{i\arg z}$, т. е. $|w|^ne^{i n\arg w}=|z|e^{i\arg z}$. Оттук $|w|^n=|z|$, т. е. $|w|=\sqrt[n]{|z|}$ и следователно $e^{i n\arg w}=e^{i\arg z}$. Тогава $e^{i(n\arg w-\arg z)}=1$, откъдето $n\arg w-\arg z\in 2\pi\mathbb{Z}$, т. е. $n\arg w\in\text{Arg z}$. Това показва, че съществува $k\in\mathbb{Z}$, такова че $n\arg w=\arg z+2k\pi$, т. е. $\arg w=\frac{\arg z+2k\pi}{n}$. Следователно ако $w^n=z$, то съществува $k\in\mathbb{Z}$, такова че $w=\sqrt[n]{|z|}e^{i\frac{\arg z+2k\pi}{n}}$. От друга страна, непосредствено се вижда, че за всяко $k\in\mathbb{Z}$ имаме $\left(\sqrt[n]{|z|}e^{i\frac{\arg z+2k\pi}{n}}\right)^n=z$, което показва, че $\{w\in\mathbb{C}|w^n=z\}=\{\sqrt[n]{|z|}e^{i\frac{\arg z+2k\pi}{n}}|k\in\mathbb{Z}\}$. Полученото множество от числа е крайно, тъй като за всяко $k\in\mathbb{Z}$, от теоремата за деление на цели числа с частно и остатък имаме, че съществуват $p, q\in\mathbb{Z}$, такива че $k=pn+q$ и $0\leq q<n$, при което $$e^{i\frac{\arg z+2k\pi}{n}}=e^{i\frac{\arg z+2(pn+q)\pi}{n}}=e^{i\frac{\arg z+2q\pi}{n}+2p\pi i}=e^{i\frac{\arg z+2q\pi}{n}}.$$ Следователно $\{w\in\mathbb{C}|w^n=z\}=\{\sqrt[n]{|z|}e^{i\frac{\arg z+2k\pi}{n}}|k\in\{0,1,\ldots, n-1\}\}$.

назад