Теорема за единственост на аналитичните функции

В настоящата тема ще видим, че ако една аналитична в област функция се анулира в множество от точки, което има точка на сгъстяване в областта, то функцията е тъждествено нула в цялата област.

Теорема. Нека $D\subseteq\mathbb{F}$ е област, $a\in D$, $f:D\to\mathbb{F}$ е аналитична функция и $\{a_k\}_{k=1}^{\infty}\subset D\setminus\{a\}$ е редица, за която $f(a_k)=0$ за всяко $k\in\mathbb{N}$ и
$a_k\to a$ при $k\to\infty$. Тогава $f(z)=0$ за всяко $z\in D$.

Доказателство. Тъй като $f$ е аналитична, тя съвпада със сумата на някой сходящ степенен ред в някоя околност на точката $a$. Тогава от известно място нататък, елементите на редицата попадат в тази околност и следователно сумата на степенния ред се анулира в редица от точки, която клони към центъра му. От теоремата за единственост на степенните редове (вж. тази тема), следва, че всичките му коефициенти са равни на нула и следователно сумата му е тъждествено нула в околността. Разглеждаме множеството $M=\{a\in D|\text{съществува } \delta>0 \text{ такова че } f(z)=0 \text{ за всички } z\in B(a,\delta)\}$, за което ще докажем, че съвпада с $D$. За целта е достатъчно да докажем, че то е непразно, едновременно отворено и затворено подмножество на свързаното множество $D$ (тъй като единственото непразно едновременно отворено и затворено подмножество на $D$ e самото $D$, вж. на тази тема). Вече доказахме, че $a\in M$, което показва, че$M\neq\emptyset$. Също така, $M$ е отворено по определение, тъй като за всяка точка от $M$ съществува околност, в която $f$ е тъждествено нула и следователно, цялата околност на точката се съдържа в $M$, т. е всяка точка на $M$ е вътрешна. Затвореността на $M$ следва отново от теоремата за единственост на степенните редове, тъй като ако вземем произволна сходяща редица от елементи на $M$ и представим $f$, като сума на степенен ред с център границата на редицата, то ще получим, че сумата на този ред, т. е. $f$, е тъждествено нула в кръга на сходимост на степенния ред. Това показва, че границата на редицата е елемент на $M$ т. е. $M$ е затворено множество.

Забележка. Ако $D$ е отворено множество, което не е област, то твърдението от теоремата за единственост може да не е вярно. Наистина функцията $f$ дефинирана с $f(z)=0$ при $|z|<1$ и $f(z)=1$ при $|z|>1$ е аналитична в отвореното множество $D=\mathbb{C}\setminus C(0,1)$ и се анулира тъждествено в отворения единичен кръг, но очевидно не е тъждествено нула в $D$.

Забележка. Изискването в теоремата за единственост, границата на редицата от точки, в които аналитичната функция се анулира, да е елемент на областта е съществено. Без него твърдението не е вярно. Наистина функцията $f(z)=\sin(z^{-1})$, $z\neq 0$ е аналитична в $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ (като композиция на аналитични функции), $f(\frac{1}{k\pi})=0$ за всяко $k\in\mathbb{N}$ и $\frac{1}{k\pi}\to 0$ при $k\to \infty$. Очевидно обаче $f$ не е тъждествено нула в $\mathbb{C}\setminus\{0\}$. Причината е, че $0$ не е точка от областта $\mathbb{C}\setminus\{0\}$.

Забележка. Нека е дадена аналитична функция $f$ в област $D\subseteq\mathbb{F}$ и нека $G\subseteq\mathbb{F}$ е област съдържаща $D$. Задачата за аналитично продължение се състои в това да се намери аналитична функция $g:G\to\mathbb{F}$, за която $g(z)=f(z)$ за всяко $z\in D$, (такава функция се нарича аналитично продължение на $f$). Като следствие от теоремата за единственост имаме, че ако съществува аналитично продължение на $f$ в областта $G$, то е единствено. Напомняме, че две функции образуват съгласувана система, ако те съвпадат в сечението на дефиниционите си множества. Тогава обединението им е функция с дефиниционно множество обединението на двете дефиниционни множества и е продължение на всяка една от функциите (вж. 9 на тази тема). В частност, обединението на съгласувана система от аналитични функции е аналитична функция, която е аналитично продължение на всяка от тях.

Упражнения

  1. Покажете, че ако една аналитична в дадена област функция е тъждествено нула в някое отворено множество, което се съдържа в областта, то функцията е тъждествено нула в цялата област.
  2. Покажете, че ако производните от всеки ред на две аналитични в дадена област функции съвпадат в някоя точка от областта, то функциите съвпадат в цялата област.
  3. Нека $I\subseteq\mathbb{R}$ е интервал и $f:I\to\mathbb{C}$ е аналитична функция. Покажете, че функцията $f$ има аналитично продължение в област $D\subseteq\mathbb{C}$, съдържаща $I$. Доказателство. Тъй като $f$ е аналитична, за всяко $a\in I$ съществува $\delta(a)>0$, и степенен ред $\sum_{k=0}^{\infty}a_k(a)(x-a)^k$, такива че $f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k(a)(x-a)^k$ при $x\in I_a=(a-\delta(a),a+\delta(a)) $. Дефинираме $g_a(z)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k(a)(z-a)^k$ за $z\in K(a,\delta(a))$ (редът е сходящ поне в този кръг). Тогава $g_a$ е аналитично продължение на $f|_{I_a}$ до $K(a,\delta(a))$. Тъй като $K(a,\delta(a))$ е област, $D=\cup_{a\in I} K(a,\delta(a))$ е също област и системата $G=\{g_a|a\in I\}$ е съгласувана система от аналитични функции. Тогава $\cup G$ е аналитичното продължение на $f$ от $I$ до $D$.

назад