Стереографска проекция и разширена комплексна равнина

Нека $\mathbb{S}^2=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3|x_1^2+x_2^2+x_3^2=1\}$, $\alpha=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3|x_3=0\}$ и $\varphi:\mathbb{S}^2\setminus\{(0,0,1)\}\to\alpha$ се дефинира по следния начин. Ако $(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{S}^2\setminus\{(0,0,1)\}$, то $\varphi(x_1,x_2,x_3)$ e точката на пресичане на правата $g$ през точките $(0,0,1)$ и $(x_1,x_2,x_3)$ и равнината $\alpha$. Ще отбележим, че в това определение точката $(0,0,1)$ може да се замени с коя да е друга точка от $\mathbb{S}^2$, а равнината $\alpha$, с коя да е равнина през центъра $(0,0,0)$. Може дори да се вземе коя да е друга сфера в $\mathbb{R}^3$ и произволна равнина, не съдържаща фиксирана точка от сферата. Причината да изберем горната постановка е, че от една страна тя е традиционна, а от друга страна, за удобство в изчисленията. Така дефинираното изображение $\varphi$ се нарича стереографска проекция. Да опишем това изображение в координати. Правата $g$ има векторно-параметрично уравнение $(y_1,y_2,y_3)=(0,0,1)+t((x_1,x_2,x_3)-(0,0,1))=(tx_1,tx_2,1+t(x_3-1))$, $t\in\mathbb{R}$. Сечението на тази права с $\alpha$ се определя за онези стойности на $t$, за които координатите на точките от $g$ са координати на точки от $\alpha$, т. е. удовлетворяват уравнението, определящо $\alpha$. Тогава търсим всички $t$, за които $1+t(x_3-1)=0$. Оттук получаваме $t=\frac{1}{1-x_3}$, откъдето $$\varphi(x_1,x_2,x_3)=\left(\frac{x_1}{1-x_3},\frac{x_2}{1-x_3},0\right).$$
Непосредствено се вижда, че $\varphi$ е биекция и $\varphi^{-1}:\alpha\to\mathbb{S}^2 \setminus\{(0,0,1)\} $ се определя като на всяка точка $(y_1,y_2,0)\in\alpha$ съпоставим точката на пресичане на правата $g$ през $(y_1,y_2,0)$ и $(0,0,1)$ с $\mathbb{S}^2 \setminus\{(0,0,1)\}$. Както по-горе виждаме, че (Проверете!) $$\varphi^{-1}(y_1,y_2,0)=\left(\frac{2y_1}{1+y_1^2+y_2^2}, \frac{2y_2}{1+y_1^2+y_2^2}, \frac{y_1^2+y_2^2-1}{1+y_1^2+y_2^2} \right).$$ Изображенията $\varphi$ и $\varphi^{-1}$ са непрекъснати в дефиниционните си множества, тъй като координатите им са непрекъснати функции в дефиниционните си множества. Следователно те са хомеоморфизми (напомняме, че хомеоморфизъм се нарича непрекъснато биективно изображение, чието обратно изображение е също непрекъснато). Проверява се, че
a) за всяко $\varepsilon>0$ съществува $\delta>0$, такова че при $|(x_1,x_2,x_3-1)|<\delta$ и $(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{S}^2\setminus\{(0,0,1)\}$ е изпълнено $|\varphi(x_1,x_2,x_3)|\geq\varepsilon$,
б) за всяко $\varepsilon>0$, съществува $\delta>0$, такова че при $|(y_1,y_2,0)|>\delta$ е изпълнено $|\varphi^{-1}(y_1,y_2,0)-(0,0,1)|<\varepsilon$. Действително,
а) $$|\varphi(x_1,x_2,x_3)|^2=\frac{x_1^2+x_2^2}{(1-x_3)^2}=\frac{1-x_3^2}{(1-x_3)^2}=\frac{1+x_3}{1-x_3}\to+\infty,$$ при $(x_1,x_2,x_3)\to(0,0,1)$ и $ (x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{S}^2\setminus\{(0,0,1)\}$,
б) $$|\varphi^{-1}(y_1,y_2,0)-(0,0,1)|^2=\left|\left(\frac{2y_1}{1+y_1^2+y_2^2}, \frac{2y_2}{1+y_1^2+y_2^2}, \frac{-2}{1+y_1^2+y_2^2}\right)\right|^2=\frac{4y_1^2+4y_2^2+4}{(1+ y_1^2+y_2^2)^2}=\frac{4}{1+y_1^2+y_2^2}\to 0,$$ при $y_1,y_2\to\infty$.

И така, дефинираната по-горе стереографска проекция е хомеоморфизъм между единичната сфера без северния полюс $\mathbb{S}^2\setminus\{(0,0,1)\}$ и хоризонталната равнина $\alpha$, която можем да отъждествим с множеството на комплексните числа посредством хомеоморфизмът $\alpha\ni(y_1,y_2,0)\mapsto y_1+iy_2\in\mathbb{C}$. Тогава получаваме хомеоморфизъм $\varphi:\mathbb{S}^2\setminus\{(0,0,1)\}\to\mathbb{C}$, дефиниран с $\varphi(x_1,x_2,x_3)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}$. При това, на точките от сферата, произволно близки до северния полюс, съответстват комплексни числа с произволно голям модул и обратно. Разширената комплексна равнина се дефинира, като към множеството на комплексните числа се добави един абстрактен елемент, който е прието да се нарича безкрайна точка и да се означава със символа $\infty$, и за който единственото изискване е, да не е комплексно число, т. е. $\infty\notin\mathbb{C}$. Съответното множество $\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ (което наричаме разширена комплексна равнина) ще означаваме с $\overline{\mathbb{C}}$. В това множество може да се въведе топология $\tau$ по следния начин: $U\in\tau$ тогава и само тогава, когато $U\subset\mathbb{C}$ е отворено или съществува компакт $K\subset\mathbb{C}$, такъв че $U=(\mathbb{C}\setminus K)\cup\{\infty\}$.

Дефинирайки $\psi:\mathbb{S}^2\to\overline{\mathbb{C}}$ с $\psi(x_1,x_2,x_3)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}$, при $(x_1,x_2,x_3)\neq(0,0,1)$ и $\psi(0,0,1)=\infty$, получаваме хомеоморфизъм между единичната сфера и разширената комплексна равнина. Оттук виждаме, че тъй като $\mathbb{S}^2$ е компкат (затворено и ограничено множество в $\mathbb{R}^3$), $\overline{\mathbb{C}}$ е също компакт.

Упражнения

  1. Докажате, че всяка права в $\mathbb{C}$ е множество от вида $\{z\in\mathbb{C}|\Re(Az)=r\}$, където $A\in\mathbb{C}\setminus{0}$ и $r\in\mathbb{R}$. Какъв е геометричният смисъл на числата $\overline{A}$ и $i\overline{A}$?
  2. Нека $\mathbb{S}^2$ и $\alpha$ са дефинирани както по-горе, а $\psi:\mathbb{S}^2\setminus\{(0,0,-1)\}\to\alpha$ се дефинира по следния начин: ако $(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{S}^2\setminus\{(0,0,-1)\}$, то $\psi(x_1,x_2,x_3)$ e точката на пресичане на правата $g$ през точките $(0,0,-1)$ и $(x_1,x_2,x_3)$ и равнината $\alpha$.
    Покажете, че $\psi$ е хомеоморфизъм.
  3. Окръжност върху сфера се нарича сечение на сферата с равнина, чието разстояние до центъра на сферата е по-малко от радиуса. В частност, окръжност върху единичната сфера $\mathbb{S}^2=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3|x_1^2+x_2^2+x_3^2=1\}$ е множество от вида $$C=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3|x_1^2+x_2^2+x_3^2=1,a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+a_4=0\},$$ където $a_1,a_2,a_3,a_4\in\mathbb{R}$ и $a_1^2+a_2^2+a_3^2>a_4^2$.
    Нека $\psi:\mathbb{S}^2\to\overline{\mathbb{C}}$ се дефинира с $\psi(x_1,x_2,x_3)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}$, при $(x_1,x_2,x_3)\neq(0,0,1)$ и $\psi(0,0,1)=\infty$.
    Докажете, че:
    a) ако $C=\{z\in\mathbb{C}||z-a|=r\}$, където $a\in\mathbb{C}$ и $r>0$, то $\psi^{-1}(C)$ е окръжност върху $\mathbb{S}^2$, такава че $(0,0,1)\notin \psi^{-1}(C)$,
    б) ако $C=\{z\in\mathbb{C}|\Re(Az)=b\}\cup\{\infty\}$, където $A\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ и $b\in\mathbb{R}$, то $\psi^{-1}(C)$ е окръжност върху $\mathbb{S}^2$, такава че $(0,0,1)\in \psi^{-1}(C)$.
    Забележка. Оттук можем да забележим, че образът чрез $\psi$ на окръжност върху единичната сфера, която не минава през северния полюс, е окръжност в комплексната равнина, а образът на окръжност върху сферата, която минава през северния полюс, е права в комплексната равнина с добавена безкрайна точка. По тази причина е прието окръжностите и правите с добавена безкрайна точка да се наричат окръжности в разширената комплексна равнина.
  4. Проверете, че дефинираната по-горе система $\tau$ от подмножества на $\overline{\mathbb{C}}$ е топология.
  5. Докажете, че всяка редица в $\overline{\mathbb{C}} $ има точка на сгъстяване.

назад