Примитивна на локално точна форма по крива

В настоящата тема ще дефинираме понятието примитивна на локално точна форма по непрекъсната крива, което ще ни позволи да разширим определението на интеграл по произволна непрекъсната крива за локално точни форми.

Теорема. Нека $\omega$ е локално точна форма в отворено множество $D\subseteq\mathbb{R}^2$ и $\gamma:[a,b]\to D$ е непрекъсната крива. Тогава съществува непрекъсната функция $F:[a,b]\to\mathbb{C}$ със следното свойство. За всяко $t\in[a,b]$ съществуват отворен в $[a,b]$ интервал $I_t$, и кръг $K_t$, в който формата $\omega$ има примитивна $\Phi_t$, такива че $\gamma(I_t)\subset K_t$ и $F(s)=\Phi_t(\gamma(s))$ за всяко $s\in I_t$. При това, ако $G$ е друга функция със същите свойства, то съществува $c\in\mathbb{C}$, такова че $F-G=c$.

Забележка. Функцията $F$ с посоченото свойство се нарича примитивна на $\omega$ по кривата $\gamma$. Грубо казано това е непрекъсната функция, която в околност на всяка точка от дефиниционния си интервал се представя като рестрикция на някоя примитивна на формата, върху дъга от кривата.

Доказателство. Тъй като $[a,b]$ е компакт и $\gamma$ е непрекъсната, виждаме, че $\gamma([a,b])$ е компакт. От друга страна, тъй като $\omega$ е локално точна, за всяко $t\in[a,b]$ съществува околност $U_t\subset D$ на точката $\gamma(t)$ в която $\omega$ има примитивна. Следователно $\{U_t| t\in[a,b]\}$ е отворено покритие на $\gamma([a,b])$, от което може да се избере крайно подпокритие $\{U_{t_j}| j\in\{1,\ldots,n\}\}$. Нека $U=\cup_{j=1}^nU_{t_j}$ и $\varepsilon=dist(\gamma,\partial U)$. Тогава за всяко $t\in[a,b]$ формата $\omega$ има примитивна в $K(\gamma(t),\varepsilon)$. Тъй като $[a,b]$ е компакт, и $\gamma$ е непрекъсната, виждаме, че $\gamma$ е равномерно непрекъсната. Следователно съществува $\delta>0$, такова че при $|p-q|<\delta$ е изпълнено $|\gamma(p)-\gamma(q)|<\varepsilon$. Нека $a=t_0<t_1<\ldots<t_m=b$ е разделяне на интервала $[a,b]$, такова че $t_j-t_{j-1}<\delta$ за всяко $j\in\{1,\ldots,m\}$. Тогава при $t\in[t_{j-1},t_j]$, $j\in\{1,\ldots,m\}$ е изпълнено $|\gamma(t)-\gamma(t_j)|<\varepsilon$, $|\gamma(t)-\gamma(t_{j-1})|<\varepsilon$ и $\omega$ има примитивна в кръга $K_{j}=K(\gamma(t_j),\varepsilon)$, $j\in\{0,\ldots,m\}$. От горните неравенства имаме, че $\gamma([t_{j-1},t_j])\subset K_{j-1}\cap K_{j}$ за $j\in\{1,\ldots,m\}$. Понеже $ K_{j-1}\cap K_{j}$ е област, всеки две примитивни на $\omega$ върху $K_{j-1}\cap K_{j}$ се отличават с константа. Следователно, ако $F_{j-1}$ е примитивна на $\omega$ в $K_{j-1}$, то съществува примитивна $F_{j}$ в $K_{j}$ на $\omega$, такава че $F_j=F_{j-1}$ в $K_{j-1}\cap K_j$. Дефинираме $F:[a,b]\to\mathbb{C}$ с $F(t)=F_{j-1}(\gamma(t))= F_{j}(\gamma(t))$ при $t\in[t_{j-1},t_j]$, $j\in\{1,\ldots,m\}$. Тогава $F$ е непрекъсната функция. За да получим твърдението от теоремата, за $t\in(t_{j-1},t_j)$, дефинираме $I_t=(t_{j-1},t_j)$, $K_t=K_j$ и $\Phi_t=F_j$, ($j\in\{1,\ldots,m\}$). Ако $t=t_j, j\in\{0,\ldots,m\}$ дефинираме $I_t$ да бъде кой да е интервал за който $\gamma(I_t)\subset K_{j-1}\cap K_j$ (такъв съществува, тъй като $\gamma$ е непрекъснато изображение), $K_t=K_j$ и $\Phi_t=F_j$. Ако $G$ е друга функция със свойствата на $F$, то за всяко $t\in[a,b]$ имаме $F(s)=\Phi_t(\gamma(s))$, при $s\in I_t$ и $G(s)=\Psi_t(\gamma(s))$, при $s\in J_t$. Тогава съществува $c_t\in\mathbb{C}$, такова че $F(s)=\Phi_t(\gamma(s))=\Psi_t(\gamma(s))+c_t=G(s)+c_t$ при $s\in I_t\cap J_t$. Следователно $F-G$ е непрекъсната локално постоянна функция в $[a,b]$. Следователно тя е глобално постоянна (вж. 10. на тази тема) , т. е. съществува $c\in\mathbb{C}$, такова че $F-G=c$. С това теоремата е доказана.

Понятието примитивна на локално точна форма по непрекъсната крива ни позволява да дефинираме интеграл от локално точна форма по произволна непрекъсната крива, без никакви предположения за диференцируемост. Действително, ако $\gamma:[a,b]\to D$ определя непрекъсната крива в областта $D\subseteq\mathbb{C}$ и $f$ е примитивна на локално точната форма $\omega$ по $\gamma$, дефинираме $\int_{\gamma}\omega=f(b)-f(a)$. Определението е коректно, тъй като то не зависи от избора на примитивната на $\omega$ по $\gamma$ (всеки две такива примитивни се отличават с константа) и ако $\gamma$ определя частично гладка крива, т. е. съществува разбиване на интервала $a=t_0<t_1<\ldots<t_n=b$, такова че за всяко $j\in{1,\ldots,n}$ пътят $\gamma_j=\gamma|_{[t_{j-1},t_j]}$ е гладък, то $$\int_{\gamma}\omega=\sum_{j=1}^{n}\int_{\gamma_j}\omega=\sum_{j=1}^{n}f(t_j)-f(t_{j-1})=f(b)-f(a),$$ т. е. стойността на интеграла може да се получи по същия начин, когато $\gamma$ определя частично гладка крива.

Оттук можем да получим, че ако $\gamma$ е затворена непрекъсната крива в $\mathbb{C}\setminus\{0\}$, то $$\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma} \frac{dz}{z} \in \mathbb{Z}.$$ Действително, тъй като формата $\omega=\frac{dz}{z}$ е локално точна, тя има примитивна $F$ по $\gamma$. Следователно $\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma} \frac{dz}{z}=\frac{F(b)-F(a)}{2\pi i}$. Тъй като $F(b)=G(\gamma(b))$ и $F(a)=H(\gamma(a))$, където $G$ и $H$ са непрекъснати клонове на $\log$ около точката $p=\gamma(a)=\gamma(b)$ ($\gamma$ е затворена), виждаме че съществува $k\in\mathbb{Z}$, такова че $G(p)-H(p)=2k\pi i$. (вж. тази тема).
Следователно $$\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma} \frac{dz}{z}=\frac{F(b)-F(a)}{2\pi i}=\frac{G(p)-H(p)}{2\pi i}=\frac{2k\pi i}{2\pi i}=k\in\mathbb{Z},$$ което искахме да докажем.
Както ще се убедим в следващите теми, този интеграл има важно приложение в теорията.

Упражнения

  1. Нека $\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}\setminus{0}$ е непрекъсната крива, не непременно затворена. Пресметнете $\text{Im}\left(\int_{\gamma}\frac{dz}{z}\right)$.
    Отговор: $\int_{\gamma}\frac{-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy$.
    Забележка. Това число се нарича изменение на аргумента на точката $\gamma(t)$, когато $t$ описва $[a,b]$ и измерва именно разликата между между аргументите на числата $\gamma(a)$ и $\gamma(b)$, когато точката $\gamma(t)$ описва $\gamma([a,b])$, от точката $\gamma(a)$ до точката $\gamma(b)$, когато $t$ се изменя от $a$ до $b$.
  2. Пресметнете изменението на аргумента на точката $\gamma(t)$, когато $t\in[0,t_0]$, ако $\gamma(t)$ е точка от логаритмичната спирала, зададена с уравнението $r=ae^{kt}$, където $a,k\in(0,+\infty)$ са дадени числа.
  3. Пресметнете изменението на аргумента на точка, движеща се по архимедова спирала, зададена в полярни координати с уравнението $r(t)=at$, от точката $r=a$ до точката $r=ab$, където $b>0$.

назад