Поле на комплексните числа

Комплексно число се нарича наредена двойка реални числа. Като множество, комплексните числа представляват $\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$. В $\mathbb{R}^2$ са определени операции събираране и умножение с реално число, като $(a,b)+(b,d)=(a+c,b+d)$, $\lambda(a,b)=(\lambda a,\lambda b)$. Проверява се, че по отношение на тези операции $\mathbb{R}^2$ е реално векторно пространство с размерност 2, т. е. равнина. Проверява се, че функцията $((a,b),(c,d))\mapsto ac+bd$ задава скаларно произведение върху $\mathbb{R}^2$, (то се нарича стандартно скаларно произведение). Така, от геометрична гледна точка, едно комплексно число е точка от една Евклидова равнина (равнината $\mathbb{R}^2$ със стандартното скаларно произведение). Следователно можем да онагледяваме комплексните числа. Ако в $\mathbb{R}^2$ въведем операция умножение на наредени двойки като $(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd, ad+bc)$, то се проверява, че по отношение на събирането и умножението $\mathbb{R}^2$ е поле (т. е. комутативен пръстен с единица, всеки ненулев елемент на който е обратим). Това поле се означава с $\mathbb{C}$. Лесно се проверява, че $(0,1)^2=(-1,0)$ и $(0,b)=(0,1)(b,0)$. Тогава $(a,b)=(a,0)+(0,1)\cdot(b,0)$. В $\mathbb{C}$ се въвежда още една операция, която се нарича комплексно спрягане: $\overline{(a,b)}=(a,-b)$. Очевидно $\overline{(a,b)}=(a,b)$ тогава и само тогава, когато $b=0$. Проверява се, че комплексното спрягане е биективна, адитивна, мултипликативна и инволютивна операция т. е. тя е автоморфизъм на полето $\mathbb{C}$. Геометрично комплексното спрягане представлява ортогонална симетрия относно векторната права определена от вектора $e_1=(1,0)$ (реалната ос). Проверява се, че множеството $M=\{(a,0)\in\mathbb{R}^2|a\in\mathbb{R}\}$ е поле (което е подполе на $\mathbb{C}$) и изображението $\mathbb{R}\ni a\mapsto (a,0)\in M$ е биективен хомоморфизъм (т. е. изоморфизъм) на полета. Предвид този факт, можем да не различаваме елементите на $\mathbb{R}$ и $M$. Вземайки предвид тази забележка и полагайки $i=(0,1)$, получаваме че $i^2=-1$, при което всяко комплексно число $(a,b)$ се записва във вида $a+ib$ (вместо $(a,0)+(0,1)\cdot(b,0)$) и този запис  се нарича алгебричен вид на $(a,b)$. Ако $z=a+ib$, то числата $a,b$ се наричат съответно реална и имагинерна част на $z$ се означават с $\text{re } z$ и $\text{im } z$ съответно. Тогава $z=\text{re } z+i\text{im } z$,  $\overline{z}=\text{re } z-i\text{im } z$ и $\text{re } z=\frac{z+\overline{z}}{2}$ и $\text{im } z=\frac{z-\overline{z}}{2i}$. Модул на комплексното число $z\in\mathbb{C}$, наричаме числото $|z|=\sqrt{z\overline{z}}\in[0,+\infty)$. Лесно се проверява, че $|z|=\sqrt{(\text{re } z)^2+(\text{im } z)^2}$, което показва, че $|z|$ е дължината на вектора $(\text{re } z,\text{im } z)\in\mathbb{R}^2$, по отношение на стандартното скаларно произведение в $\mathbb{R}^2$. Също така може да се види, че за всеки две комплексни числа $z,w$ е в сила неравнеството на триъгълника $|z+w|\leq|z|+|w|$, което ще прилагаме постоянно по-нататък.

Специално отбелязваме, че ако $a\in\mathbb{R}$, то от $i^2=-1$ следва, че уравнението $z^2+a^2=0$ има две комплексно спрегнати решения, тъй като $z^2+a^2=z^2-i^2a^2=(z-ia)(z+ia)$. Следователно в полето на комплексните числа, можем да коренуваме отрицателни реални числа и в частност да решаваме всички квадратни уравнения. Както ще се убедим по-нататък, в полето на комплексните числа всеки полином с комплексни коефициенти има комплексен корен. Този факт се нарича основна теорема на алгебрата. Трябва обаче добре да запомним, че в полето на комплексните числа не може да се дефинира наредба, която да е съгласувана със събирането и умножението, както е в полето на реалните числа, т. е. комплексните числа не могат да се сравняват, т. е. не можем да пишем неравенства между тях. Наистина, ако допуснем, че това не е така, то или $i>0$, или $i<0$, или $i=0$. Последното не е изпълнено, тъй като $i^2=-1\neq 0$. Ако $i<0$, то $i.i>0.0$, т. е. $-1>0$, което е противоречие. Ако $i>0$, то $i.i>0.0$, т. е. $-1>0$, което отново е противоречие.

 Упражнения

  1. Проверете, че $\mathbb{R}^2$ е поле по отношение на операциите $(a,b)+(b,d)=(a+c,b+d)$, $(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd, ad+bc)$ .
  2. Проверете, че $(0,1)^2=(-1,0)$ и $(0,b)=(0,1)(b,0)$.
  3. Проверете, че множеството $M=\{(a,0)\in\mathbb{R}^2|a\in\mathbb{R}\}$ е поле, и че изображението $\mathbb{R}\ni a\mapsto (a,0)\in M$ е изоморфизъм на полета.
  4. Проверете, че $\overline{z}=z$ тогава и само тогава, когато $z\in\mathbb{R}$.
  5. Проверете, че $\text{re } z=\frac{z+\overline{z}}{2}$ и $\text{im } z=\frac{z-\overline{z}}{2i}$.
  6. Запишете в алгебричен вид комплексните числа $(2-i)i, \quad \frac{1}{1-i}, \quad$$ \frac{1+i}{1-i\sqrt{3}},\quad \frac{1-3i}{1+3i}-\frac{1+3i}{1-3i}, \quad$$ \frac{(1+2i)^2-(1-i)^3}{(3+2i)^3-(2+i)^3},\quad \left(\frac{i^{35}+2}{i^{19}+1}\right)^2, \quad$$\frac{\sqrt{1+x^2}+ix}{x-i\sqrt{1+x^2}}, x\in\mathbb{R}$.
  7. Покажете, че $\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$, $\overline{zw}=\overline{z}.\overline{w}$, $z\overline{z}\geq 0$.
  8.  Покажете, че $|z|=\sqrt{(\text{re } z)^2+(\text{im } z)^2}$, $|\overline{z}|=|z|$, $|zw|=|z||w|$, $|z+w|^2=|z|^2+2\text{re } z\overline{w}+|w|^2$, $\text{re } z\leq|z|$, $\text{im } z\leq |z|$, $|z+w|\leq|z|+|w|$.
  9. Решете уравненията $\overline{z}=z^3,\quad |z|-z=1-2i,\quad z^2=i$.
  10. Покажете, че $\{z\in\mathbb{C}||z|=1\}$ е група по отношение на умножението на комплексни числа.

назад